Старонка змяшчае спіс лімітаў для асноўных функцый, а таксама правілы вылічэння лімітаў.
Калі функцыя f(x) непарыўная ў пункце x0, то яе ліміт пры імкненні x да x0 роўны значэнню функцыі ў гэтым пункце:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0ba6e949a80df8baafdc71b1874c58d3308a9c)
Няхай існуюць ліміты
і
. Тады
- ліміт сумы роўны суме лімітаў
![{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=L_{1}+L_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d2a7ce2f242d36359aa42d2ee8c7eb30266996)
- ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў
![{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=L_{1}-L_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e35b744362cbfe549075e646c3cefe62d72afce)
- ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў
![{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d8693d558a7dfc0f5f0c5900a05dd950f6f7f1)
Няхай
Тады
- ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc38b1a6b6c2e3b6872ae6127850e3578b0d46d)
Няхай
Тады
- ліміт ступені існуе і роўны
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=L_{1}^{L_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3efca4c200bfdc8b0985a52dc04115c9b4f9c023)
Заўвага. Усе гэтыя правілы праўдзяцца і для лімітаў паслядоўнасцей. Паслядоўнасць можна разглядаць як адмысловы выпадак функцыі, якая вызначана толькі для натуральных значэнняў сваёй зменнай. У гэтым выпадку граніцу паслядоўнасці можна вытлумачыць як граніцу такой функцыі пры імкненні зменнай (натуральнага ліку) да бясконцасці.
Калі
і
і існуе ліміт дзелі іх вытворных
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a8af1ff9ec1881a0416a25756c5acf66f3c5b6)
то
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7785840386a94cc10bf59bffa7fe39cc946c43)
![{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {a_{0}x^{k}+a_{1}x^{k-1}+...+a_{k}}{b_{0}x^{r}+b_{1}x^{r-1}+...+b_{r}}}={\begin{cases}\operatorname {sgn}[{a_{0} \over b_{0}}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty ,&k>r,\\{\frac {a_{0}}{b_{0}}},&k=r,\\0,&k<r.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec517c915345b7d1653d60d21b3922ba55d132e1)
Словазлучэнне грунтоўныя ліміты[1][2] (руск.: замечательные пределы) замацавалася ў савецкіх і цяперашніх расійскіх і беларускіх падручніках па матэматычным аналізе як назва двух важных лімітаў, якія маюць шматлікія дастасаванні ў матэматычным аналізе[3].
- Першы грунтоўны ліміт (руск.: первый замечательный предел)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4452ee566aebc88c26bd7add054e9988ba4685)
- Другі грунтоўны ліміт (руск.: второй замечательный предел)
![{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a1a3120ac9a4511b7e90b726a1d8e46e6e2805)
Заўвага 1. Ліміты многіх выразаў з трыганаметрычнымі функцыямі вынікаюць з першага грунтоўнага ліміту.
Заўвага 2. Ліміты выразаў з лагарыфмамі і ступенна-паказнікавых выразаў часта можна атрымаць як вынік другога грунтоўнага ліміту.
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4452ee566aebc88c26bd7add054e9988ba4685)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c95189ed71396d3d935c9ae03476c96505d325a)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{\sin(bx)}}={\frac {a}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15120a61d4fbcfc244e96642b0fcb013816d5887)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} (x)}{x}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c86558c0b5354c4198880f8f230200be4c1d40)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin(x)}{x}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bade899d03d5c861d09c7dfcf795c9d78004bce2)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} (x)}{x}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba447b3efb96eeaa7e847fcbacbdc38c6126f65)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79134eb54f7628d164cbf8fe3ad83de2826c182)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1399f8863c3ada2bee382c3cc703b738a4809ade)
Ступенна-паказнікавыя і лагарыфмічныя выразы[правіць | правіць зыходнік]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e110115a5b8d9febadde7fcb0b9ae650586c3fe)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a32ef3d5fbd5df0406c68a2ad58e415ae641d4)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}={\frac {1}{\ln a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8b026bcccd5034dc9f6531a48ebe43e36be8a3)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38be7d3073e3ee91b5310a8f509dcfc6189916fb)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8918cb559b12c11f6be0588bc57b351f0e4f23ca)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{x}}=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018820f5dea2f93425583d69119215ee2c44322e)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e67d9f7e2588c9b3d418f1107e9ea27b8f330ed)
(формула Уоліса)[4]
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e62a43d0063712cb0874c2145c4766a2bad919c)
У гэтым падраздзеле прыведзены ліміты выразаў, якія ўяўляюць сабою дзелі дзвюх функцый або выразы ўзору «функцыя ў ступені функцыя». Гэтыя ліміты адметныя тым, што яны паказваюць, якая з функцый хутчэй набліжаецца да нуля (ці бясконцасці).
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{\alpha }}{a^{n}}}=0,\qquad (a>1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72947c3c0e4507e63796a1cce13f37c82a83a66f)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n}}{n!}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758fa07394f18701c125814eed6b9ea1bc23cc25)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln n}{n}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc62efc4619c911b7af1dc4d61c19f2108f7c1b)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {(\ln n)^{q}}{n^{\alpha }}}=0,\qquad (\alpha >0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ef66a132970f478dc05049ae556169b0d7c3df)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1,\qquad (a>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c27e5edb8be05b683a5b8c5deb550ed6fc26b4)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8399b997df7368a350c447667a7003822626e1)
![{\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{\alpha }\ln x=0,\qquad (\alpha >0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8261a8a2a8e40943d59709904cfc85cb6243b4)
![{\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{x}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b636156b0a745f33aad9be00981ca80adbc1ea93)
Для любога камплекснага z паказнікавую функцыю можна вызначыць як
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=e^{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6f74ca159bd3dbf1f169034ea1b8fc2c6852c9)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b13be8d235b59a662a94a32a83ee2d26713d653)
- Для любых камплексных z праўдзіцца формула Ойлера-Гауса[5]
![{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{z}}{z(z+1)\dots (z+n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5bfeeee4aff2fe45ac09cc2c98091e8ad644991)
Зноскі
- ↑ Курс вышэйшай матэматыкі : Алгебра і геаметрыя. Аналіз функцый адной зменнай: Падручнік/ В.М.Русак, Л.І.Шлома, В.К.Ахраменка, А.П.Крачкоўскі. - Мінск, 1994. С. 304.
- ↑ Віктар Ахраменка. Курс лекцый па матэматычным аналізе для студэнтаў радыёфізічнага факультэта.
- ↑
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. — Москва: Наука, 1971. — Т. 1.
- ↑ а б
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
- ↑
Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.