Тэарэма Пойнтынга (англ.: Poynting's theorem) — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:
,
Дзе S — вектар Пойнтынга, J — шчыльнасць току і E — электрычнае поле. Шчыльнасць энергіі
(
— электрычная пастаянная,
— магнітная пастаянная).
![{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bd95489c4d70ff261c132cdc402bd539f1fe74)
Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:
,
дзе
— паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём
.
У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так (
— шчыльнасці энергіі):
,
дзе
— шчыльнасць энергіі электрычнага поля,
— шчыльнасць энергіі магнітнага поля і
— магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб'ёму.
Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε0 і μ0 прыпісаць ε і μ):
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40993cef0ca062a8e9fba6df165dc2c4444ab79)
Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на
, атрымаем:
![{\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4ddb6bcd8069189b44d606a76888da85af9aa8)
Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c940f202d29f4aa6c82ba828af54e08bbb8e44)
Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на
, атрымаем:
![{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047aeaffd10457b0faacbab17d5d188d3cfa7b4c)
Адымаючы першае з другога, атрымаем:
![{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33e100c952a761eded4005779f35efb28ec3954)
Нарэшце:
![{\displaystyle -\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0515ed87c34121a7bb1573cda0fdc4a29861f0)
Паколькі вектар Пойнтынга
вызначаецца як:
![{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac6532f39a4f6fbc482514fcf7b2b2a54f0f888)
гэта раўнасільна:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8223c52972fcf57a0a3359a65e02b5041608c57d)
Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3dce6a39a2349fb41d07bcf189b3096c9f1797)
дзе
— кінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц
![{\displaystyle u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b93f4f64a2368ea9a5f642e969c79a40edd93d)
— паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:
![{\displaystyle \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfcd14bf6a03cd544fddfb6f517c88384af5a14)
Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273bac9a2986ef8a89db537f9479921a9f4bb16e)
Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку
, можна выбраць форму Абрагама
, форму Мінкоўскага
, або якую-небудзь іншую.