Імавернасць

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Просты прыклад: імавернасць таго, што на кубіку выпадзе лік «5», роўная 1/6

Імавернасць[1] (імавернасная мера) — лікавая мера магчымасці наступлення пэўнай падзеі.

Калі падставы для таго, каб якое-небудзь магчымае падзея адбылася ў рэчаіснасці, перавешваюць супрацьлеглыя падставы, то гэта падзея называюць верагоднfq, у адваротным выпадку — малаверагодным або неверагодным. Перавага станоўчых падстаў над адмоўнымі, і наадварот, можа быць у рознай ступені, з прычыны чаго верагоднасць (і неверагоднасць) бывае большай ці меншай[2]. Таму часта верагоднасць ацэньваецца на якасным узроўні, асабліва ў тых выпадках, калі больш-менш дакладная колькасная адзнака немагчымая або вельмі цяжкая. Магчымыя розныя градацыі «узроўняў» верагоднасці.

Даследаванне верагоднасці з матэматычнай пункту гледжання складае асаблівую дысцыпліну — тэорыю імавернасцей[2]. У тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыцы паняцце імавернасці фармалізуецца як лічбавая характарыстыка падзеі — імавернасная мера (або яе значэнне) — мера на мностве падзей (падмноства мноства элементарных падзей), якая прымае значэнні ад 0 да 1. Значэнне 1 адпавядае пэўнай падзеі. Немагчымая падзея мае імавернасць 0 (адваротнае наогул кажучы не заўсёды дакладна). Калі імавернасць наступлення падзеі роўная p, то імавернасць яе ненадыходу роўная 1-p. У прыватнасці, імвернасць 12 азначае роўную імавернасць наступлення і ненадыходу падзеі.

Класічнае вызначэнне імаверансці заснавана на паняцці роўнай магчымасці зыходаў. У якасці імавернасці выступаюць адносіны колькасці зыходаў, спрыяльных дадзенай падзеі, да агульнай колькасці роўнамагчымых зыходаў. Напрыклад, імавернасць выпадзення «арла» або «рэшкі» пры выпадковым падкіданні манеткі роўная 12, калі мяркуецца, што толькі гэтыя дзве магчымасці маюць месца і яны з'яўляюцца роўнамагчымымі. Дадзенае класічнае «вызначэнне» імавернасці можна абагульніць на выпадак бясконцай колькасці магчымых значэнняў — напрыклад, калі некаторая падзея можа адбыцца з роўнай імавернасцю ў любым пункце (колькасць пунктаў бясконцая) некаторай абмежаванай вобласці прасторы (плоскасці), то імавернасць таго, што яна адбудзецца ў некаторай частцы гэтай дапушчальнай вобласці роўная адносінам аб'ёму (плошчы) гэтай частцы да аб'ёму (плошчы) вобласці ўсіх магчымых пунктаў.

Эмпірычнае «вызначэнне» імавернасці звязана з частатой наступлення падзеі зыходзячы з таго, што пры дастаткова вялікім ліку выпрабаванняў частата павінна імкнуцца да аб'ектыўнай ступені магчымасці гэтай падзеі. У сучасным выкладзе тэорыі імавернасцей імавернасць вызначаецца аксіяматычна, як прыватны выпадак абстрактнай тэорыі меры мноства. Тым не менш, злучным звяном паміж абстрактнай мерай і верагоднасцю, якая выказвае ступень магчымасці наступлення падзеі, з'яўляецца менавіта частата яго назірання.

Імавернасную апісанне тых ці іншых з'яў атрымала шырокае распаўсюджванне ў сучаснай навуцы, у прыватнасці ў эканаметрыка, статыстычнай фізіцы макраскапічным (тэрмадынамічных) сістэм, дзе нават у выпадку класічнага дэтэрмінаванага апісання руху часціц дэтэрмінаваных апісанне ўсёй сістэмы часціц не ўяўляецца практычна магчымым і мэтазгодным. У квантавай фізіцы самі апісваныя працэсы маюць імавернасную прыроду.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Хрысціян Гюйгенс, імавернасцей, апублікаваў першую кнігу па тэорыі імавернасцей

Перадгісторыя паняцця імавернасці[правіць | правіць зыходнік]

Неабходнасць паняцця імавернасці і даследаванняў у гэтым кірунку была гістарычна звязана з азартнымі гульнямі, асабліва з гульнямі ў косці. Да з'яўлення паняцця імавернасці фармуліраваліся ў асноўным камбінаторныя задачы падліку ліку магчымых зыходаў пры кіданьні некалькіх костак, а таксама задача падзелу стаўкі паміж гульцамі, калі гульня скончана датэрмінова. Першую задачу пры кіданні трох костак «вырашыў» ў 960 годзе біскуп Віболд з г. Камбрэ[3]. Ён налічыў 56 варыянтаў. Аднак гэта колькасць па сутнасці не адлюстроўвае колькасць роўнаверагодных магчымасцей, паколькі кожны з 56 варыянтаў можа рэалізавацца рознай колькасцю спосабаў. У першай палове 13 стагоддзя гэтыя аспекты ўлічыў Рышар дэ Фарніваль. Нягледзячы на ​​тое, што ў яго таксама фігуруе лік 56, але ён у развагах ўлічвае, што, напрыклад, «аднолькавая колькасць ачкоў на трох касцях можна атрымаць шасцю спосабамі». Грунтуючыся на яго развагах ўжо можна ўсталяваць, што лік роўнамагчымых варыянтаў — 216. У далейшым многія не зусім дакладна вырашалі гэтую задачу. Упершыню дакладна колькасць роўнамагчымых зыходаў пры падкіданні трох костак падлічыў Галілеа Галілей, узводзячы шасцёрку (колькасць варыянтаў выпадзення адной косткі) ў ступень 3 (колькасць костак): 6³ = 216. Ён жа склаў табліцы колькасці спосабаў атрымання розных сум ачкоў.

Задачы другога тыпу ў канцы 15 стагоддзя сфармуляваў і прапанаваў першае (наогул кажучы памылковае) рашэнне Лука Пачолі[3]. Яго рашэнне заключалася ў дзяленні стаўкі прапарцыянальна ўжо выйграным партыям. Істотнае далейшае прасоўванне ў пачатку 16 стагоддзя звязана з імёнамі італьянскіх навукоўцаў Джыралама Кардана і Н. Тарталья. Кардана даў правільны падлік колькасці выпадкаў пры кіданні двух костак (36). Ён таксама ўпершыню суаднёс колькасць выпадкаў выпадзення некаторага колькасці хоць бы на адной косткі (11) да агульнай колькасці зыходаў (што адпавядае класічнаму вызначэнню верагоднасці) — 1136. Аналагічна і для трох костак ён разглядаў, напрыклад, што дзевяць ачкоў можа атрымацца колькасцю спосабаў, роўным 19 «усёй серыі» (гэта значыць агульнай колькасці роўнамагчымых зыходаў — 216). Кардана фармальна не ўводзіў паняцце імавернасці, але па сутнасці разглядаў адноснае колькасць зыходаў, што па сутнасці эквівалентна разгляду імавернасцей. Неабходна таксама адзначыць, што ў зачаткавым стане ў Кардана можна знайсці таксама ідэі, звязаныя з законам вялікіх лікаў. З нагоды задачы дзялення стаўкі Кардана прапаноўваў ўлічваць колькасць пакінутых партый, якія трэба выйграць. Н. Тарталья таксама зрабіў заўвагі з нагоды рашэння Лукі і прапанаваў сваё рашэнне (наогул кажучы, таксама памылковае).

Заслуга Галілея таксама заключаецца ў пашырэнні галіне даследаванняў на вобласць памылак назіранняў. Ён упершыню паказаў на непазбежнасць памылак і класіфікаваў іх на сістэматычныя і выпадковыя (такая класіфікацыя ўжываецца і цяпер).

Узнікненне паняцця і тэорыі імавернасцей[правіць | правіць зыходнік]

Першыя працы пра вучэньне пра імавернасць адносяцца да 17 стагоддзя. Такія, як перапіска французскіх навукоўцаў Б. Паскаля, П. Ферма (1654 год) і галандскага навукоўца X. Гюйгенса (1657) які даў самую раннюю з вядомых навуковых трактовак імавернасці[4]. Па сутнасці Гюйгенс ўжо аперыраваў паняццем матэматычнага чакання. Швейцарскі матэматык Я. Бернулі, усталяваў закон вялікіх лікаў для схемы незалежных выпрабаванняў з двума зыходамі (пасмяротна, 1713).

У XVIII ст. — пачатку ХIХ ст. тэорыя імавернасцей атрымлівае развіццё ў працах А. Муаўра (Англія) (1718), П. Лапласа (Францыя), К. Гауса (Германія) і С. Пуасона (Францыя). Тэорыя верагоднасцяў пачынае ўжывацца ў тэорыі памылак назіранняў, якая развілася ў сувязі з патрэбамі геадэзіі і астраноміі, і ў тэорыі стральбы. Неабходна адзначыць, што закон размеркавання памылак па сутнасці прапанаваў Лаплас спачатку як экспанентную залежнасць ад памылкі без уліку знака (у 1774 годзе), затым як экспанентную функцыю квадрата памылкі (у 1778 годзе). Апошні закон звычайна называюць размеркаваннем Гауса ці нармальным размеркаваннем. Бернулі (у 1778 годзе) увёў прынцып здабытку імавернасцей адначасовых падзей. Адрыен Мары Лежандр (у 1805 годзе) распрацаваў метад найменшых квадратаў.

У другой палове XIX ст. развіццё тэорыі імавернасцей звязана з працамі рускіх матэматыкаў П. Л. Чабышова, А. М. Ляпунова і А. А. Маркава (старэйшага), а таксама работы па матэматычнай статыстыцы А. Кетле (Бельгія) і Ф. Гальтона (Англія) і статыстычнай фізіцы Л. Больцмана (у Аўстрыя), якія стварылі аснову для істотнага пашырэння праблематыкі тэорыі верагоднасцяў. Найбольш распаўсюджаная ў цяперашні час лагічная (аксіяматычная) схема пабудовы асноў тэорыі верагоднасцяў распрацавана ў 1933 годзе савецкім матэматыкам А. М. Калмагоравым.

Вызначэнні імавернасці[правіць | правіць зыходнік]

Класічнае вызначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Класічнае «вызначэнне» імавернасці зыходзіць з паняцця роўнамагчымасці як аб'ектыўнай уласцівасці вывучаемых з'яў. Роўнамагчымасць з'яўляецца невызначальным паняццем і ўсталёўваецца з агульных меркаванняў сіметрыі вывучаемых з'яў. Напрыклад, пры падкіданні манеткі зыходзяць з таго, што ў сілу меркаванай сіметрыі манеткі, аднастайнасці матэрыялу і выпадковасці (непрадузятасці) падкідвання няма ніякіх падставаў для перавагі «рэшкі» перад «арлом» ці наадварот, гэта значыць выпадзенне гэтых бакоў можна лічыць роўнамагчымымі (роўнаімаверных).

Разам з паняццем роўнамагчымасці ў агульным выпадку для класічнага вызначэння неабходна таксама паняцце элементарнай падзеі (зыходу), спрыяючага ці не падзеі A. Гаворка ідзе пра выпадкі, наступ якіх выключае магчымасць наступлення iншых зыходаў. Гэта несумяшчальныя элементарныя падзеі. Да прыкладу пры кіданні ігральнай косці выпадзенне канкрэтнага ліку выключае выпадзенне астатніх лікаў.

Класічнае вызначэнне імавернасці можна сфармуляваць наступным чынам:

Імавернасцю выпадковай падзеі A называюцца адносіны ліку n несумяшчальных роўнаімаверных элементарных падзей, якія складаюць падзею A, да ліку ўсіх магчымых элементарных падзей N:

P(A)=\frac {n}{N}

Напрыклад, хай падкідваюцца дзве косткі. Агульная колькасць роўнамагчымых зыходаў (элементарных падзей) роўна відавочна 36 (6 магчымасцяў на кожнай косткі). Ацэнім імавернасць выпадзення 7 ачкоў. Атрыманне 7 ачкоў магчыма наступнымі спосабамі: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1. Гэта значыць усяго 6 роўнамагчымых зыходаў, спрыяльных падзеі A — атрыманню 7 ачкоў. Такім чынам, імавернасць будзе роўная 636 = 16. Для параўнання верагоднасць атрымання 12 ачкоў або 2 ачкоў роўная ўсяго 136 — у 6 разоў менш.

Геаметрычнае вызначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Нягледзячы на ​​тое, што класічнае вызначэнне з'яўляецца інтуітыўна зразумелым і выведзеным з практыкі, яно, як мінімум, не можа быць непасрэдна ужыта ў выпадку, калі колькасць равновозможных зыходаў бясконца. Яскравым прыкладам бясконцага ліку магчымых зыходаў з'яўляецца абмежаваная геаметрычная вобласць G, напрыклад, на плоскасці, з плошчай S. Выпадкова «падкінуты» «пункт» з роўнай імавернасцю можа апынуцца ў любым пункце гэтай вобласці. Задача заключаецца ў вызначэнні імавернасці траплення пункту ў некаторую падвобласть g: з плошчай s. У такім выпадку, абагульняючы класічнае вызначэнне, можна прыйсці да геаметрычнага азначэння імавернасці траплення ў падвобласць g::

P(A)=\frac {s}{S}

Гэта імавернасць не залежыць ад формы вобласці g, яна залежыць толькі ад яе плошчы. Дадзенае вызначэнне натуральна можна абагульніць і на прастору любой памернасці, дзе замест плошчы выкарыстоўваць паняцце «аб'ёму». Больш за тое, менавіта такое вызначэнне прыводзіць да сучаснага аксіяматычнага азначэння імавернасці. Паняцце аб'ёму абагульняецца да паняцця меры некаторага абстрактнага мноства, да якой прад'яўляюцца патрабаванні, якімі валодае і «аб'ём» ў геаметрычнай інтэрпрэтацыі — у першую чаргу, гэта неадмоўнасць і адытыўнасць.

Частотнае (статыстычнае) вызначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Класічнае вызначэнне пры разглядзе складаных праблем натыкаецца на цяжкасці непераадольнага характару. У прыватнасці, у некаторых выпадках выявіць роўнамагчымыя выпадкі можа быць немагчыма. Нават у выпадку з манеткай, як вядома, існуе відавочна не роўнаімаверная магчымасць выпадзення «рэбра», якую з тэарэтычных меркаванняў ацаніць немагчыма (можна толькі сказаць, што яно малаімаверная і то гэта меркаванне хутчэй практычнае). Таму яшчэ на пачатку станаўлення тэорыі імавернасцей было прапанавана альтэрнатыўнае «частотнае» вызначэнне імавернасці. А іменна, фармальна імавернасць можна вызначыць як мяжа частоты назіранняў падзеі A, мяркуючы аднастайнасць назіранняў (гэта значыць аднолькавасць ўсіх умоў назірання) і іх незалежнасць адно ад аднаго:

P(A)=\lim_{N \rightarrow \infty} \frac {n}{N}

дзе N — колькасць назіранняў, а n — колькасць наступаў падзеі A.

Нягледзячы на ​​тое, што дадзенае вызначэнне хутчэй паказвае на спосаб ацэнкі невядомай імаверансці — шляхам вялікай колькасці аднародных і незалежных назіранняў — тым не менш у такім азначэнні адлюстравана змест паняцця імавернасці. А менавіта, калі падзеі прыпісваецца некаторая імавернасць, як аб'ектыўная мера яе магчымасці, то гэта азначае, што пры фіксаваных умовах і шматразовым паўтарэнні мы павінны атрымаць частату яго з'яўлення, блізкую да p (тым больш блізкую, чым больш назіранняў). Уласна, у гэтым заключаецца зыходны сэнс паняцця імавернасці. У аснове ляжыць аб'ектывісцкі погляд на з'явы прыроды. Ніжэй будуць разгледжаны так званыя законы вялікіх лікаў, якія даюць тэарэтычную аснову (у рамках выкладанага ніжэй сучаснага аксіяматычнага падыходу) у тым ліку для частотнай ацэнкі імавернасці.

Аксіяматычнае вызначэнне[правіць | правіць зыходнік]

У сучасным матэматычным падыходзе імавернасць задаецца аксіяматыкай Калмагорава. Мяркуецца, што зададзена некаторая прастора элементарных падзей X. Падмноствы гэтай прасторы інтэрпрэтуюцца як выпадковыя падзеі. Аб'яднанне (сума) некаторых падмностваў (падзей) інтэрпрэтуецца як падзея, якая складаецца ў наступе хаця б аднаго з гэтых падзей. Скрыжаванне (здабытак) падмноства (падзей) інтэрпрэтуецца як падзея, якая складаецца ў наступе ўсіх гэтых падзей. Мноствы, якія не перасякаюцца, інтэрпрэтуюцца як несумесныя падзеі (іх сумесны наступ немагчыма). Адпаведна, пустое мноства азначае немагчымую падзея.

Імавернасцю (імавернаснай мерай) завецца мера (лікавая функцыя) \mathbf P, зададзеная на мностве падзей, якая валодае наступнымі ўласцівасцямі:

  • Неадмоўнасць: \forall A \subset X \colon \mathbf P(A) \geqslant 0,
  • Адытыўнасць: імавернасць наступлення хаця б аднаго (гэта значыць сумы) з папарна несумесных падзей роўная суме імавернасцей гэтых падзей; іншымі словамі, каліA_i A_j=\varnothing пры i\ne j, то P(\sum_{i} A_i) = \sum_{i}\mathbf P(A_i).
  • Канечнасць (абмежаванасць адзінкай): \mathbf P(X) = 1,

У выпадку, калі прастора элементарных падзей X вядома, то дастаткова названай умовы адытыўнасці для адвольных дзвюх несумесных падзей, з якой будзе прытрымлівацца адытыўная для любой канчатковай колькасці несумесныя падзей. Аднак, у выпадку бясконцага (злічонай або незлічонай) прасторы элементарных падзей гэтай умовы аказваецца недастаткова. Патрабуецца так званая злічоная або сігма-адытыўнасць, гэта значыць выкананне ўласцівасці адытыўнасці для любога не больш чым злічонага сямейства папарна несумесных падзей. Гэта неабходна для забеспячэння «бесперапыннасці» імавернаснай меры.

Імавернасная мера можа быць вызначана не для ўсяго падмноства мноства X. Мяркуецца, што яна вызначана на некаторай сігма-алгебры \Omega падмноства. Гэтыя падмноствы называюцца вымеряльнымі па дадзенай імавернаснай меры і менавіта яны з'яўляюцца выпадковымі падзеямі. Сукупнасць (X,\Omega,P) — гэта значыць мноства элементарных падзей, сігма-алгебра яго падмноства і імавернасная мера — называецца імавернаснай прасторай.

Уласцівасці імавернасці[правіць | правіць зыходнік]

Асноўныя ўласцівасці імавернасці прасцей за ўсё вызначыць, зыходзячы з аксіяматычнага вызначэння імавернасці.

1) імавернасць немагчымай падзеі (пустога мноства \varnothing) роўная нулю:

\mathbf{P}\{\varnothing\}=0;

Гэта вынікае з таго, што кожную падзею можна прадставіць як суму гэтай падзеі і немагчымай падзеі, што ў сілу адытыўнасці і канечнасці імавернаснай меры азначае, што імавернасць немагчымай падзеі павінна быць роўная нулю.

2) калі падзея A «ўваходзіць» ў падзею B, гэта значыць A \subset B, наступ падзеі A цягне таксама наступ падзеі B, то:

\mathbf{P}\{A\}\leqslant\mathbf{P}\{B\};

Гэта вынікае з неадмоўнасці і адытыўнасці імавернаснай меры, так як падзея B, магчыма, «утрымлiвае» акрамя падзеі A яшчэ нейкія іншыя падзеі, несумесныя з A.

3) імавернасць кожнай падзеі A знаходзіцца ад 0 да 1, гэта значыць задавальняе няроўнасць:

0\leqslant\mathbf{P}\{A\}\leqslant1;

Першая частка няроўнасці (неадмоўнасці) сцвярджаецца аксіяматычна, а другая вынікае з папярэдняй уласцівасці з улікам таго, што любая падзея «ўваходзіць» ў X, а для X аксіяматычна мяркуецца \mathbf{P}\{X\}=1.

4) імавернасць наступлення падзеі B\setminus A, якая складаецца ў наступе падзеі B пры адначасовым ненадыходзе падзеі A, роўная:

\mathbf{P}\{B\setminus A\}=\mathbf{P}\{B\}-\mathbf{P}\{A\};

Гэта вынікае з адытыўнасці імавернасці для несумесных падзей і з таго, што падзеі A і B \setminus A з'яўляюцца несумеснымі па вызначэнні, а іх сума роўная падзеі B.

5) імавернасць падзеі \bar{A}, супрацьлеглай падзеі A, роўная:

\mathbf{P}\{\bar{A}\}=1-\mathbf{P}\{A\};

Гэта вынікае з папярэдняй уласцівасці, калі ў якасці мноства B выкарыстоўваць ўсю прастору X і ўлічыць, што \mathbf{P}\{X\}=1.

6) (тэарэма складання імавернасцей) імавернасць наступлення хаця б аднаго з (гэта значыць сумы) адвольных (не абавязкова несумесных) двух падзей A і B роўная:

\mathbf{P}\{A+B\}=\mathbf{P}\{A\}+\mathbf{P}\{B\}-\mathbf{P}\{AB\}.

Гэту ўласцівасць можна атрымаць, калі ўявіць аб'яднанне двух адвольных мностваў як аб'яднанне двух неперасякальных — першага і рознасці паміж другім і перасячэннем зыходных мностваў: A+B=A+(B \setminus (AB)). Адсюль улічваючы адытыўнасць імавернасці для неперасякальных мностваў і формулу для імавернасці рознасці (гл. уласцівасць 4) мностваў, атрымліваем патрабаваную ўласцівасць.

Умоўная імавернасць[правіць | правіць зыходнік]

Імавернасць наступлення падзеі A, пры ўмове наступлення падзеі B, называецца ўмоўнай імавернасцю A (пры дадзенай умове) і абазначаецца P(A|B). Найбольш проста вывесці формулу вызначэння ўмоўнай імавернасці зыходзячы з класічнага вызначэння імавернасці. Для дадзеных двух падзей A и B разгледзім наступны набор несумесных падзей: A\overline{B}, AB, \overline{A}B, \overline{A}\cdot \overline{B}, якія вычэрпваюць ўсе магчымыя варыянты зыходаў (такі набор падзей называюць поўным). Агульная колькасць роўнамагчымых зыходаў роўная n. Калі падзея B ужо надышла, то роўнамагчымыя зыходы абмяжоўваецца толькі дзвюма падзеямі AB, \overline{A}B, што эквівалентна падзеі B. Хай колькасць гэтых зыходаў роўна n_B. З гэтых зыходаў падзеі A спрыяюць толькі тыя, што звязаны з падзеяй AB. Колькасць адпаведных зыходаў абазначым n_{AB}. Тады згодна з класічным вызначэннем імавернасці імавернасць падзеі A пры ўмове наступлення падзеі B будзе роўная P(A|B)=n_{AB}/n_B, падзяліўшы лічнік і назоўнік на агульную колькасць роўнамагчымых зыходаў n і паўторна улічваючы класічнае вызначэнне, канчаткова атрымаем формулу ўмоўнай імавернасці:

P(A|B)=\frac {P(AB)} {P(B)}.

Адсюль вынікае так званая тэарэма множання імавернасцей:

P(AB)=P(B)P(A|B).

У сілу сіметрыі, аналагічна можна паказаць, што таксама P(AB)=P(A)P(B|A), адсюль следуе формула Баеса:

P(A|B)=\frac {P(A)P(B|A)}{P(B)}

Незалежнасць падзей[правіць | правіць зыходнік]

Падзеі A і B называюцца незалежнымі, калі імавернасць наступлення аднаго з іх не залежыць ад таго, наступілі ці не іншыя падзеі. З улікам паняцці ўмоўнай імавернасці гэта азначае, што P(A|B)=P(A), адкуль вынікае, што для незалежных падзей выканана:

P(A|B)=P(A)

У рамках аксіяматычнага падыходу дадзеная формула прымаецца як азначэнне паняцця незалежнасці дзвюх падзей. Для адвольнай (канчатковай) сукупнасці падзей A_i іх незалежнасць разам азначае, што імавернасць іх сумеснага наступу роўная здабытку іх імавернасцей:

P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2)...P(A_n)

Выведзеная (у рамках класічнага вызначэння імавернасці) вышэй формула ўмоўнай імавернасці пры аксіяматычным вызначэнні імавернасці з'яўляецца вызначэннем ўмоўнай імавернасці. Адпаведна, як следства азначэнняў незалежных падзей і ўмоўнай імавернасці атрымліваецца роўнасць ўмоўнай і безумоўнай імавернасцей падзеі.

Поўная імавернасць і формула Баеса[правіць | правіць зыходнік]

Набор падзей A_j, хоць бы адна з якіх абавязкова (з адзінкавай імавернасцю) наступіць у выніку выпрабаванні, называецца поўным. Гэта азначае, што набор такіх падзей вычэрпвае ўсе магчымыя варыянты зыходаў. Фармальна ў рамках аксіяматычнага падыходу гэта азначае, што \sum_i A_i=X. Калі гэтыя падзеі несумесныя, то ў рамках класічнага вызначэння гэта азначае, што сума колькасцей элементарных падзей, спрыяльных таму ці іншаму падзеі, роўна агульнаму колькасці роўнамагчымых зыходаў.

Хай маецца поўны набор папарна несумесных падзей A_i. Тады для любой падзеі B верная наступная формула разліку яго імавернасці (формула поўнай імавернасці):

P(B)=\sum^n_{i=1} P(B|A_i)P(A_i)

Тады вышэйапісаную формулу Баеса з улікам поўнай імавернасці можна запісаць у наступным выглядзе:

P(A_j|B)=\frac {P(A_j)P(B|A_j)}{\sum^n_{i=1} P(A_i)P(B|A_i)}

Дадзеная формула з'яўляецца асновай альтэрнатыўнага падыходу да імавернасці — баесаўскага або суб'ектыўнага падыходу.

Імавернасць і квантавая фізіка[правіць | правіць зыходнік]

У квантавай механіцы стан сістэмы (часціцы) характарызуецца хвалевай функцыяй (наогул кажучы вектарам стану) — камплексназначнай функцыяй «каардынат», квадрат модуля якой інтэрпрэтуецца як шчыльнасць імавернасці атрымання зададзеных значэнняў «каардынат». Згодна з сучасным уяўленням імавернаснае вызначэнне стану з'яўляецца поўным і прычынай імавернаснага характару квантавай фізікі не з'яўляюцца якія-небудзь «схаваныя» фактары — гэта звязана з прыродай саміх працэсаў. У квантавай фізіцы аказваюцца магчымымі любыя ўзаемаператварэнні розных часціц, не забароненыя тымі ці іншымі законамі захавання. І гэтыя ўзаемаператварэнні падпарадкоўваюцца заканамернасцям — імавернасным заканамернасцям. Паводле сучасных уяўленняў прынцыпова немагчыма прадказаць ні момант ўзаемаператварэння, ні канкрэтны вынік. Можна толькі казаць пра імавернасць тых ці іншых працэсаў ператварэння. Замест дакладных класічных велічынь у квантавай фізіцы магчымая толькі ацэнка сярэдніх значэнняў (матэматычных чаканняў) гэтых велічынь, напрыклад, сярэдні час жыцця часціцы.

імавернасць у іншых сферах[правіць | правіць зыходнік]

Акрамя пытання аб імавернасці факту, можа узнікаць, як у галіне права, так і ў галіне маральнай (пры вядомай этычнай пункту гледжання) пытанне аб тым, наколькі імаверна, што дадзены прыватны факт складае парушэнне агульнага закона. Гэтае пытанне, служачы асноўным матывам ў рэлігійнай юрыспрудэнцыі Талмуда, выклікала і ў рымска-каталіцкім маральным багаслоўі (асабліва з канца XVI стагоддзя) вельмі складаныя сістэматычныя пабудовы і велізарную літаратуру, дагматычную і палемічную.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. БЭ ў 18 тамах. Т.7., Мн., 1998, С.207.
  2. 2,0 2,1 В. С. Соловьёв Вероятность // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) — СПб., 1890—1907.
  3. 3,0 3,1 Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник — Изд. 6-е, перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1988 — 448с.- с.386-387
  4. Abrams, William. A Brief History of Probability. Second Moment. http://www.secondmoment.org/articles/probability.php. Retrieved on 2008-05-23. 

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]