Дзялімасць

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Дзялі́масць — адно з асноўных паняццяў арыфметыкі і тэорыі лікаў, звязанае з аперацыяй дзялення. З пункту погляду тэорыі мностваў, дзялімасць цэлых лікаў з'яўляецца дачыненнем, вызначаным на мностве цэлых лікаў.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Калі для некаторага цэлага ліку a і цэлага ліку b існуе такі цэлы лік q, што bq=a, то кажуць, што лік a дзеліцца цалкам (ці дзеліцца без астачы) на b або што b дзеліць a.

Пры гэтым лік b называецца дзельнікам ліку a, дзеліва a будзе кратным ліку b, а лік q называецца дзеллю ад дзялення a на b.

Хоць уласцівасць дзялімасці вызначана на ўсём мностве цэлых лікаў, звычайна разглядаецца толькі дзялімасць натуральных лікаў. У прыватнасці, функцыя колькасці дзельнікаў натуральнага ліку падлічвае толькі яго дадатныя дзельнікі.

Абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Запіс a\,\vdots\, b абазначае, што a дзеліцца на b, ці, што тое самае, лік a кратны ліку b.
  • Запіс b\mid a ці b\setminus a абазначае[1], што b дзеліць a, ці, што тое ж: b — дзельнік a.

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • У кожнага натуральнага ліку, большага за адзінку, ёсць па крайняй меры два натуральныя дзельнікі: адзінка і сам гэты лік. Пры гэтым натуральныя лікі, у якіх роўна два дзельнікі, называюцца простымі, а тыя, у якіх больш за два дзельнікі — састаўнымі. Адзінка мае роўна адзін дзельнік і не з'яўляецца ні простым, ні састаўным лікам.
  • У кожнага натуральнага ліку, большага за 1, ёсць хоць адзін просты дзельнік.
  • Уласным дзельнікам ліку называецца ўсякі яго дзельнік, не роўны самому ліку. У простых лікаў ёсць роўна адзін уласны дзельнік — адзінка.
  • Незалежна ад дзялімасці цэлага ліку a на цэлы лік b\ne 0, лік a заўсёды можна падзяліць на b з астачаю, г. зн. прадставіць у выглядзе:
    a=b\,q + r,
    дзе 0 \le r < |b|.
У гэтых суадносінах лік q называецца няпоўнаю дзеллю, а лік rастачаю ад дзялення a на b. Як дзель, так і астача вызначаюцца адназначна.
Лік a дзеліцца цалкам на b тады і толькі тады, калі астача ад дзялення a на b роўная нулю.
  • Усякі лік, які дзеліць як a, так і b, называецца іх агульным дзельнікам; найбольшы з такіх лікаў называецца найбольшым агульным дзельнікам. Любая пара цэлых лікаў мае сама менш два агульныя дзельнікі: +1 і -1. Калі іншых агульных дзельнікаў няма, то гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Заўвага: ва ўсіх формулах гэтага раздзела мяркуецца, што a, b, c — цэлыя лікі.
  • Любы цэлы лік з'яўляецца дзельнікам нуля, і дзель роўная нулю:
0\,\vdots\,a.
  • Любы цэлы лік дзеліцца на адзінку:
a\,\vdots\,1.
  • На нуль дзеліцца толькі нуль:
a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0,
прычым дзель у гэтым выпадку не вызначана.
  • Адзінка дзеліцца толькі на адзінку:
1\,\vdots\,a\quad\Rightarrow\quad a = \pm 1.
  • Для любога цэлага ліку a \ne 0 знойдзецца такі цэлы лік b \ne a, для якога b\,\vdots\,a.
  • Калі a\,\vdots\,b і \left|b\right| > \left|a\right|, то a\,=\,0. Адсюль жа вынікае, што калі a\,\vdots\,b і a \ne 0 то \left|a\right| \ge \left|b\right|.
  • Для таго каб a\,\vdots\,b неабходна і дастаткова, каб \left|a\right| \vdots \left|b\right|.
  • Калі a_1\,\vdots\,b,\,a_2\,\vdots\,b,\,\dots,\,a_n\,\vdots\,b, то \left( a_1 + a_2 + \dots + a_n \right)\,\vdots\,b.

Лік дзельнікаў[правіць | правіць зыходнік]

Лік дадатных дзельнікаў натуральнага ліку n звычайна абазначаецца \tau(n) і з'яўляецца мультыплікатыўнаю функцыяй, для яе справядліва асімптатычная формула Дзірыхле:

\sum_{n=1}^N\tau(n)=N\ln N+(2\,\gamma-1)N+O\left(N^\theta\right),

дзе \gammaпастаянная Эйлера — Маскероні, а для \theta Дзірыхле атрымаў значэнне \frac{1}{2}. Гэты вынік неаднаразова паляпшаўся, і на сёння найлепшы вядомы вынік \theta=\frac{131}{416} (атрыман у 2003 годзе Хакслі). Аднак, найменшае значэнне \theta, пры якім гэта формула застаецца вернаю, невядома (даказана, што яно не меншае, чым \frac{1}{4})[2][3][4].

Пры гэтым сярэдні дзельнік вялікага ліку n у сярэднім расце як \frac{c_1 n}{\sqrt{\ln n}}, што было выяўлена А. Карацубам[5]. Паводле камп'ютарных ацэнак М. Каралёва

c_1=\frac{1}{\pi}\prod_p \left(\frac{p^{3/2}}{\sqrt{p-1}} \ln\left(1+\frac{1}{p}\right)\right)\approx 0,7138067.

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Паняцце дзялімасці абагульняецца на адвольныя колцы, напрыклад колца мнагачленаў.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Глава 4. Элементы теории чисел // Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир, 1998. — С. 125.
  2. А. А. Бухштаб Теория чисел — М.: Просвещение, 1966.
  3. Аналитическая теория чисел
  4. Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
  5. В. И Арнольд Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]