Тэорыя мностваў

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Дыяграма Вена, якая ілюструе скрыжаванне двух мностваў

Тэо́рыя мно́стваў — матэматычная тэорыя, якая даследуе мноства, аперацыі і адноснасці над імі. Даследаванне здзяйсняецца ў межах пэўнай алгебры мностваў, якая з'яўляецца матэматычнай мадэллю аксіяматычнай тэорыі мностваў, і можа мець змястоўную ці фармальную накіраванасць.

Сучасныя даследаванні тэорыі мностваў былі пачаты Георгам Кантарам і Рыхардам Дэдэкіндам у 1870-х гадах. Пасля адкрыцця парадоксаў наіўнай тэорыі мностваў, у пачатку XX стагоддзя былі прапанаваны шматлікія сістэмы аксіём, сярод якіх самай вядомай з'яўляецца сістэма Цэрмеля-Фрэнкеля, з аксіёмай выбару. Тэорыя мностваў разглядаецца як базіс матэматыкі.

Наіўная тэорыя мностваў[правіць | правіць зыходнік]

Да другой паловы XIX стагоддзя паняцце «мноства» не разглядаўся як матэматычны («мноства кніг на паліцы», «мноства чалавечых цнотаў» і г. д. — усё гэта асабліва бытавыя абароты). Палажэнне змянілася, калі нямецкі матэматык Георг Кантар распрацаваў сваю праграму стандартызацыі матэматыкі, у рамках якой любы матэматычны аб'ект павінен быць у тым ці іншым «мноствам»[1][2]. Напрыклад, натуральны лік з пазіцыі Кантара варта разглядаць як мноства, якое складаецца з адзінага элемента іншага мноства, званага «натуральным шэрагам», які, у сваю чаргу, сам з'яўляецца мноствам, бо задавальняе гэтак званую аксіёму Пеана. Пры гэтым агульнаму панятку «мноства», які разглядаўся ім як цэнтральнае для матэматыкі, Кантар даваў вельмі размытыя вызначэнні, накшталт «мноства ёсць многае, памыснае як адзінае», і г. д. Гэта цалкам адпавядала намеру самога Кантара, які падкрэслена называў сваю праграму не «тэорыяй мностваў», сам гэты тэрмін з'явіўся шмат пазней, а «вучэннем аб мноствах» (па-нямецку: Mengenlehre).

Праграма Кантара выклікала рэзкія пратэсты з боку шматлікіх яго сучаснікаў-матэматыкаў. Асабліва вылучаўся сваім непрымірымым да яе стаўленнем Леапольд Кронекер, які лічыў, што матэматычнымі аб'ектамі могуць лічыцца толькі натуральныя лікі і тое, што да іх непасрэдна зводзіцца, вядомая яго фраза пра тое, што «Бог стварыў натуральныя лікі, а ўсё астатняе — справа рук чалавечых». Цалкам адкінулі тэорыю мностваў і такія аўтарытэтныя матэматыкі, як Герман Шварц і Анры Пуанкарэ. Аднак, некаторыя іншыя матэматыкі — у прыватнасці, Готлаб Фрэгэ, Рыхард Дэдэкінд і Давід Гільберт — падтрымалі Кантара ў яго намеры перавесці ўсю матэматыку на тэарэтыка-множную мову. У прыватнасці, тэорыя мностваў стала асновай: тэорыі меры, тапалогіі, функцыянальнага аналізу.

Аднак неўзабаве высветлілася, што кірунак Кантара на адсутнасць абмежаванняў пры аперацыях з мноствамі (выяўленае ім самім у прынцыпе «сутнасць матэматыкі заключаецца ў яе свабодзе») недасканалая першапачаткова, а менавіта, быў знойдзены шэраг тэарэтыка-множных антыномій: апынулася, што пры выкарыстанні тэарэтыка-множных уяўленняў некаторыя сцвярджэнні могуць быць даказаны разам са сваімі пярэчаннямі, а тады, згодна з правіламі класічнай логікі выказванняў, можа быць «даказана» абсалютна любое сцвярджэнне. Антыноміі адзначылі сабой поўны правал праграмы Кантара.

Глядзіце таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. G. Cantor, Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal f. Mathematik 77 (1874) 258 - 262.
  2. Philip Johnson, 1972, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0-87150-154-6

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Чечулин В. Л., Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения), Издательство Пермского государственного университета, Пермь, 2010, 100 с. ISBN 978-5-7944-1468-4, (В непредикативной теории преодолены ограничения предикативных формальных систем, т. е. теорем Гёделя; текст доступен со страницы http://elibrary.ru/item.asp?id=15267103)