Тэарэма Пойнтынга

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Пойнтынга (англ.: Poynting's theorem) — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:

\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E},

Дзе Sвектар Пойнтынга, Jшчыльнасць току і Eэлектрычнае поле. Шчыльнасць энергіі u (\epsilon_0электрычная пастаянная, \mu_0магнітная пастаянная).

u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right).

Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:

\frac{\partial}{\partial t} \int_V u \  dV + \oint_{\partial V}\mathbf{S} \  d\mathbf{A} = -\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \ dV,

дзе \partial V \! — паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём V \!.

У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так (u — шчыльнасці энергіі):


\nabla\cdot\mathbf{S} + \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0
,

дзе \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} — шчыльнасць энергіі электрычнага поля, \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} — шчыльнасць энергіі магнітнага поля і \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб'ёму.

Вывад[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε0 і μ0 прыпісаць ε і μ):

\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на \mathbf{B}, атрымаем:

\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = - \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на \mathbf{E}, атрымаем:

\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{E} \cdot \mu_0 \mathbf{J} +  \mathbf{E} \cdot \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Адымаючы першае з другога, атрымаем:


\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - 
\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Нарэшце:


- \nabla\cdot\ ( \mathbf{E} \times \mathbf{B}  ) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Паколькі вектар Пойнтынга \mathbf{S} вызначаецца як:

 \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}

гэта раўнасільна:


\nabla\cdot\mathbf{S} + 
\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} +
\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0.

Абагульненне[правіць | правіць зыходнік]

Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы


\frac{\partial}{\partial t} u_m(\mathbf{r},t) + \nabla\cdot \mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) =
\mathbf{J}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t),

дзе u_mкінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц \alpha


u_m(\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)),

\mathbf{S_m} — паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:


\mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}\dot{\mathbf{r}}_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)).

Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі


\frac{\partial}{\partial t}\left(u_e + u_m\right) + \nabla\cdot \left( \mathbf{S}_e +
\mathbf{S}_m\right) = 0,

Альтэрнатыўныя формы[правіць | правіць зыходнік]

Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку \mathbf{S} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}, можна выбраць форму Абрагама \mathbf{E} \times \mathbf{H}, форму Мінкоўскага \mathbf{D} \times \mathbf{B}, або якую-небудзь іншую.