Фармалізм Джонса

Фармалізм Джонса — матэматычны апарат для аналізу палярызацыі светлавой хвалі, у якім палярызацыя задаецца так званымі вектарамі Джонса, а лінейныя аптычныя элементы (напрыклад, празрыстыя пласцінкі, люстэркі і г.д.) — матрыцамі Джонса ^[1] . Фармалізм быў прапанаваны ў 1941 годзе Робертам Кларкам Джонсам. Фармалізм Джонса ужываецца для цалкам палярызаванага святла, а для непалярызованага або часткова палярызаванага святла ўжываецца фармалізм Мюлера.

Вектар Джонса[правіць | правіць зыходнік]

Вектар Джонса апісвае палярызацыю святла ў вакууме або іншым аднастайным ізатропным асяроддзі пры адсутнасці паглынання, дзе святло можа быць апісана папярочнай электрамагнітнай хваляй. Няхай плоская монахраматычная хваля распаўсюджваецца ў станоўчым кірунку ўздоўж восі z і мае цыклічную частату ω і хвалевы вектар k = (0,0,k), дзе хвалевы лік k = ω / c . Тады электрычнае і магнітнае палі E і H артаганальныя да k ў кожным пункце; гэта значыць, яны ляжаць у плоскасці, папярочнай напрамку руху. Тады вектар Н можна знайсці паваротам Е на 90 градусаў і памнажэннэм на пэўны каэфіцыент, які залежыць ад сістэмы адзінак і хвалевага імпедансу асяроддзя. Таму пры вывучэнні палярызацыі дастаткова засяродзіцца на Е. Вектар камплекснай амплітуды Е у трохмернай прасторы:

{\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}

.

Фізічна значэнне напружанасці поля E светлавой хвалі вызначаецца рэальнай часткай гэтага вектара, а камплексны множнік апісвае фазу хвалі.

Вектар Джонса азначаецца як:

{\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.

Відавочна, што гэты вектар складаецца з дзьвюх першых (ненулявых) кампанент вектара напружанасці поля хвалі, для якіх адкінуты фазавы множнік $e^{i(kz-\omega t)}$ . Такім чынам, вектар Джонса захоўвае інфармацыю аб амплітудзе і пачатковай фазе кампанент поля x і y.

Сума квадратаў абсалютных значэнняў дзвюх кампанент вектара Джонса прапарцыйная інтэнсіўнасці святла. Для прастаты вектар Джонса звычайна нармуецца на адзінку ў пункце, адкуль пачынаецца разлік праходжання палярызаванага святла праз аптычную сістэму. Звычайна таксама першы складнік вектара Джонса лічыцца рэальным лікам. Гэта адкідвае інфармацыю аб агульнай фазе, якая, аднак, неабходная для разліку інтэрферэнцыі з іншымі прамянямі.

У гэтым артыкуле пры заданні вектараў і матрыц Джонса лічыцца, што фаза хвалі задаецца як $\phi =kz-\omega t$ (а не альтэрнатыўным выразам $\phi =\omega t-kz$ ). Пры такім азначэнні фазы павелічэнне $\phi _{x}$ (або $\phi _{y}$ ) адпавядае затрымцы (адставанню) па фазе і памяншэнне - апярэджанню па фазе. Напрыклад, кампанент вектара Джонса $i$ ( $=e^{i\pi /2}$ ) паказвае на адставанне $\pi /2$ (ці 90 градусаў) у параўнанні з 1 ( $=e^{0}$ ). У оптыцы часта прымяняецца і альтэрнатыўная канвенцыя ( $\phi =\omega t-kz$ ), што патрабуе ўвагі чытача падчас азнаямлення з літаратурнымі крыніцамі, датычнымі да фармалізму Джонса.

У наступнай табліцы прыведзены 6 прыкладаў вектара Джонса для найбольш важных варыянтаў палярызацыі святла.

Палярызацыя святла	Вектар Джонса	Тыповае кет-абазначэнне
Лінейная палярызацыя у кірунку х "Гарызантальная" палярызацыя	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$\|H\rangle$
Лінейная палярызацыя у кірунку у "Вертыкальная" палярызацыя	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$	$\|V\rangle$
Лінейная палярызацыя пад вуглом 45 ° да восі х "Дыяганальная" палярызацыя L + 45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$\|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +\|V\rangle )$
Лінейная палярызацыя пад вуглом -45 ° да восі х "Антыдыяганальная" палярызацыя L - 45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$\|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle -\|V\rangle )$
Кругавая палярызацыя па гадзіннікавай стрэлцы "Правацыркулярная" палярызацыя	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$\|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle -i\|V\rangle )$
Кругавая палярызацыя супраць гадзіннікавай стрэлкі "Левацыркулярная" палярызацыя	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$\|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +i\|V\rangle )$

Увогуле, любы вектар можна запісаць у кет-абазначэннях як $|\psi \rangle$ . Пры выкарыстанні сферы Пуанкарэ (таксама вядомую як сфера Блоха), базавыя вектары ( $|0\rangle$ і $|1\rangle$ ) павінны абазначаць супрацьлеглыя кет-вектары з пералічаных пар. Напрыклад, можна пазначыць $|0\rangle$ = $|H\rangle$ і $|1\rangle$ = $|V\rangle$ . Выбар тут адвольны. Супрацьлеглыя пары:

$|H\rangle$ і $|V\rangle$
$|D\rangle$ і $|A\rangle$
$|R\rangle$ і $|L\rangle$

Матрыца Джонса[правіць | правіць зыходнік]

Матрыца Джонса - гэта матрыца, якая апісвае змену палярызацыі святла падчас праходжання аптычнага элемента (напрыклад, лінзаў, пласцінак, люстэркаў і інш.). Кожнаму аптычнаму элементу адпавядае свая матрыца Джонса. Матэматычна уздеянне аптычнага элемента на палярызацыю святла, што праходзіць праз яго, апісваецца як памнажэнне матрыцы Джонса гэтага элемента на вектар Джонса святла. Такім чынам, матрыцы Джонса ёсць матрычнымі аператарамі, якія дзейнічаюць (памнажаюцца) на вектары Джонса. Кожная матрыца ажыццяўляе праекцыю на аднамерную комплексную прастору вектараў Джонса. У наступнай табліцы паказаны прыклады матрыц Джонса для палярызатараў:

Аптычны элемент	Матрыца Джонса
Лінейны палярызатар з гарызантальнай воссю прапускання ^[1]	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Лінейны палярызатар з вертыкальнай воссю прапускання ^[1]	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Лінейны палярызатар з воссю прапускання пад вуглом ± 45° да гарызанталі ^[1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Правабаковы кругавы палярызатар ^[1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Левы кругавы палярызатар ^[1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Кіраванне фазай[правіць | правіць зыходнік]

Фазавы запавольнік - гэта аптычны элемент, які змяняе рознасць фаз паміж дзвюма артаганальными палярызацыямі манахраматычнага прамяня святла, такім чынам кіруючы палярызацыяй прамяня. Звычайна іх вырабляюць з аднавосевых крышталяў з падвойным праменепраламленнем, такіх як кальцыт, MgF₂ або кварц . Пласцінкі з гэтых матэрыялаў, вырабленыя адмыслова для ужывання як запавольнікі фазы, звычайна называюцца хвалевымі (фазавымі) пласцінкамі. Аднавосевыя крышталі маюць адну з крышталічных восяў, адрозную па паказчыку праламлення ад дзвюх іншых (г.зн. n_i ≠ n_j = n_k). Гэтую вось называюць незвычайнай або аптычнай. Аптычная вось можа быць хуткай або павольнай, у залежнасці ад крышталя. Святло распаўсюджваецца з найбольшай фазавай хуткасцю ўздоўж восі з найменшым паказчыкам праламлення, таму гэтая вось называецца хуткай. Аналагічна вось з найвышэйшым паказчыкам праламлення называецца павольнай. «Адмоўныя» аднавосевыя крышталі (напрыклад, кальцыт CaCO₃, сапфір Al₂O₃ ) маюць n_e < n_o, таму для гэтых крышталяў незвычайная (аптычная) вось хуткая, у той час як «станоўчыя» аднавосевыя крышталі (напрыклад, кварц SiO₂, фтарыд магнію MgF₂, рутыл TiO₂) маюць n _e > n _o, і іх незвычайная вось - павольная.

Любая фазавая пласцінка с хуткай воссю, арыентаванай уздоўж восі x або y, мае нулявыя недыяганальныя члены, і таму яна апісваецца матрыцай

{\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}

дзе $\phi _{x}$ і $\phi _{y}$ - фазы электрычнага поля ў напрамках $x$ і $y$ , адпаведна. У межах гэтай канвенцыі $\phi =kz-\omega t$ адносная фаза (рознасць фаз) паміж дзвюма хвалямі задаецца як $\epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}$ . Тады станоўчае значэнне $\epsilon$ (г. зн. $\phi _{y}$ > $\phi _{x}$ ) азначае, што $E_{y}$ не дасягне таго значэння, што ўжо дасягнула кампанента $E_{x}$ , яшчэ некаторы час, г. зн. $E_{x}$ апярэджвае $E_{y}$ . Аналагічна, калі $\epsilon <0$ , то $E_{y}$ апярэджвае $E_{x}$ . Напрыклад, калі хуткая вось чвэрцьхвалевай пласцінкі гарызантальная, фазавая хуткасць гарызантальнай палярызацыі будзе папярэднічаць фазавай хуткасці вертыкальнай палярызацыі, г.зн. $E_{x}$ апярэджвае $E_{y}$ . Тады $\phi _{x}<\phi _{y}$ , што для чвэрцьхвалевай пласцінкі дае $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$ .

Альтэрнатыўная канвенцыя для фазы: $\phi =\omega t-kz$ , вызначае адносную фазу як $\epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}$ . Тады $\epsilon >0$ азначае, што $E_{y}$ некаторы час не будзе мець таго значэння, што ўжо дасягнула кампанента $E_{x}$ , г. зн. $E_{x}$ апярэджвае $E_{y}$ .

Аптычны элемент	Матрыца Джонса
Чвэрцьхвалевая пласцінка з вертыкальнай хуткай воссю ^[2]	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
Чвэрцьхвалевая пласцінка з гарызантальнай хуткай воссю ^[2]	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
Чвэрцьхвалевая пласцінка з хуткай воссю пад вуглом $\theta$ да гарызантальнай восі	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Паўхвалевая пласцінка з хуткай воссю пад вуглом $\theta$ да гарызантальнай восі ^[3]	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}$
Адвольны матэрыял з падвойным праменепраламленнем (як фазавы пераўтваральнік) ^[4]	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$ </br>

Нататкі[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

↑ ^а ^б ^в ^г ^д ^е Fowles, G. (1989). Introduction to Modern Optics (2nd ed.). Dover. p. 35.
↑ ^а ^б Hecht, E. (2001). Optics (4th ed.). p. 378. ISBN 0805385665.
↑ Gerald, A. (1975). Introduction to Matrix Methods in Optics (1st ed.). ISBN 0471296856.
↑ Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).

[fowles-1] а ^б ^в ^г ^д ^е Fowles, G. (1989). Introduction to Modern Optics (2nd ed.). Dover. p. 35.

[hecht-2] а ^б Hecht, E. (2001). Optics (4th ed.). p. 378. ISBN 0805385665.

[3] Gerald, A. (1975). Introduction to Matrix Methods in Optics (1st ed.). ISBN 0471296856.

[4] Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).

[1]

[2]

[3]

[4]