Тэорыя Эйнштэйна — Картана

Тэорыя Эйнштэйна — Картана (ЭК) была распрацавана як пашырэнне агульнай тэорыі адноснасці, унутрана ўключае ў сябе апісанне ўздзеяння на прастору-час акрамя энергіі-імпульсу таксама і спіна матэрыяльных палёў. У тэорыі ЭК ўводзіцца афіннае кручэнне, а замест псеўдарыманавай геаметрыі для прасторы-часу выкарыстоўваецца геаметрыя Рымана — Картана. У выніку ад метрычнай тэорыі пераходзяць да афіннай тэорыі прасторы-часу. Выніковыя ўраўненні для апісання прасторы-часу распадаюцца на два класы. Адзін з іх аналагічны агульнай тэорыі адноснасці, з тым адрозненнем, што ў тэнзар крывізны ўключаны кампаненты з афінным кручэннем. Другі клас ураўненняў задае сувязь тэнзара кручэння і тэнзара спіна матэрыі і выпрамянення. Атрыманыя папраўкі да агульнай тэорыі адноснасці ва ўмовах сучаснага Сусвету настолькі малыя, што пакуль не відаць нават гіпатэтычных шляхоў для іх вымярэння.

Стан тэорыі і яе асноўныя ураўненні

Тэорыя Картана стаіць асобна сярод альтэрнатыўных тэорый гравітацыі як таму, што яна неметрычная, так і таму, што яна вельмі старая. Стан тэорыі Картана няясны. Уіл (1986) сцвярджае, што ўсе неметрычныя тэорыі супярэчаць эйнштэйнаўскаму прынцыпу эквівалентнасці (ЭПЭ), і таму павінны быць адкінутыя. У адной з наступных работ Уіл (2001), змякчае гэта сцвярджэнне, растлумачваючы эксперыментальныя крытэрыі тэсціравання неметрычных тэорый на адпаведнасць ЭПЭ. Мізнер, Торн і Уілер (1973) сцвярджаюць, што тэорыя Картана з’яўляецца адзінай неметрычнай тэорыяй, якая праходзіць усе эксперыментальныя тэсты, а Турышаў (2007) прыводзіць гэтую тэорыю ў спісе тэорый, якія задавальняюць усім бягучым эксперыментальным абмежаванням.

Картан (1922, 1923) прапанаваў простае абагульненне тэорыі гравітацыі Эйнштэйна, увёўшы мадэль прасторы-часу з метрычным тэнзарам і лінейнай звязнасцю, асацыяванай з метрыкай, але не абавязкова сіметрычнай. Антысіметрычная частка звязнасці — тэнзар кручэння — звязваецца ў гэтай тэорыі са шчыльнасцю ўнутранага моманту імпульсу (спіна) матэрыі. Незалежна ад Картана, падобныя ідэі развівалі Сіяма, Кібл і Хэйл у прамежку ад 1958 да 1966 года.

Зыходна тэорыя была развіта ў фармалізме дыферэнцыяльных форм, але тут яна будзе выкладзена на тэнзарнай мове. Лагранжава шчыльнасць гравітацыі ў гэтай тэорыі фармальна супадае са сваім адпаведнікам у АТА і роўная скаляру крывізны:

$L={1 \over 16\pi G}R(\Gamma ,g)\;,$

аднак увядзенне кручэння мадыфікуе звязнасць, якая цяпер не раўняецца сімвалам Крыстофеля, а роўная іх суме з тэнзарам канторсіі

$\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }=\left\{{^{\ \mu \ }_{\;\nu \lambda \;}}\right\}+K_{\nu \lambda }^{\mu }\;,$

$K_{\mu \nu \lambda }=Q_{\mu \nu \lambda }+Q_{\lambda \nu \mu }+Q_{\nu \lambda \mu },\qquad Q_{\mu \nu \lambda }={\frac {1}{2}}(\Gamma _{\mu \nu \lambda }-\Gamma _{\mu \lambda \nu })\;,$

дзе $Q_{\mu \nu \lambda }\;$ — антысіметрычная частка лінейнай звязнасці — кручэнне. Мяркуецца, што лінейная звязнасць з’яўляецца метрычнай, што зніжае колькасць ступеней свабоды, уласцівых неметрычным тэорыям. Ураўненні руху гэтай тэорыі ўключаюць 10 ураўненняў для тэнзара энергіі-імпульсу, 24 ўраўненні для кананічнага тэнзара спіна і ўраўненні руху матэрыяльных негравітацыйных палёў:

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+4{B^{[\alpha }}_{\beta \mu }{B^{\beta ]}}_{\alpha \nu }+2B_{\beta \alpha \mu }{B_{\nu }}^{\beta \alpha }-B_{\mu \beta \alpha }{B_{\nu }}^{\beta \alpha }-$

$-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }(4{{B_{\alpha }}^{\beta }}_{[\lambda }{B^{\alpha \lambda }}_{\beta ]}+B_{\alpha \beta \gamma }B^{\alpha \beta \gamma })=\kappa T_{\mu \nu }\;,$

${Q^{\lambda }}_{\mu \nu }+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }=\kappa {s^{\lambda }}_{\mu \nu }\;,$

${\frac {\partial L}{\partial \phi _{A}}}+(\nabla _{\lambda }-2Q_{\lambda }){\frac {\partial L}{\partial \nabla _{\lambda }\phi _{A}}}=0\;,$

дзе $T_{\mu \nu }={\frac {\delta }{\delta g^{\mu \nu }}}({\sqrt {-g}}L_{m})\;$ — метрычны тэнзар энергіі-імпульсу матэрыі, $s_{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {\delta L_{m}}{\delta Q_{\lambda }^{\mu \nu }}}\;$ — кананічны тэнзар спіна, ${B^{\lambda }}_{\mu \nu }={Q^{\lambda }}_{\mu \nu }+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }\;$, а $Q_{\mu }={Q^{\lambda }}_{\mu \lambda }\;$ — след тэнзара кручэння.

Крывізна прасторы-часу пры гэтым — не рыманава, але на рыманавай прасторы-часе лагранжыян зводзіцца да лагранжыяна АТА. Эфекты неметрычнасці ў дадзенай тэорыі з’яўляюцца настолькі малымі, што іх можна не ўлічваць нават у нейтронных зорках. Адзінай вобласцю моцных разыходжанняў аказваецца, магчыма, вельмі ранні Сусвет. Прывабнай рысай гэтай тэорыі (і яе мадыфікацый) з’яўляецца магчымасць атрымання несінгулярных рашэнняў тыпу «адскоку» для Вялікага Выбуху.

Гл. таксама

• Калібровачная тэорыя гравітацыі
• Альтэрнатыўныя тэорыі гравітацыі