Матэматычная фармулёўка агульнай тэорыі адноснасці

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Агульная тэорыя адноснасці
Гравітацыя
Матэматычная фармулёўка
Касмалогія
Гл. таксама «Фізічны партал»


У гэтым артыкуле разглядаецца матэматычны базіс агульнай тэорыі адноснасці.

Зыходныя становішчы[правіць | правіць зыходнік]

Нашае інтуітыўнае ўспрыманне паказвае нам, што прастора-час з'яўляецца рэгулярнай і бесперапыннай, гэта значыць не мае «дзірак». Матэматычна гэтыя ўласцівасці пазначаюць, што прастора-час будзе мадэлявацца гладкім дыферэнцавальнай разнастайнасцю 4 вымярэнняў , г. зн. прасторай размернасці 4, для якога наваколле кожнай кропкі паходзіць лакальна на чатырохмерную эўклідавую прастору. Гладкасць тут азначае дастатковую дыферэнцавальнасць, пакуль без удакладнення яе ступені.

Бо акрамя таго з добрай дакладнасцю выконваюцца законы спецыяльнай тэорыі адноснасці, то такую разнастайнасць можна надзяліць лорэнцавай метрыкай, г. зн. нявыраджаным метрычных тэнзар з сігнатурай (ці, што эквівалентна, ). Значэнне гэтага раскрываецца ў наступным раздзеле.

Геаметрыя прасторы-часу[правіць | правіць зыходнік]

Метрычны тэнзар[правіць | правіць зыходнік]

Дыферэнцавальная разнастайнасць [1] M, забяспечанае лоренцевым метрычных тэнзарам g , і прадстаўляе сабой такім чынам лорэнцавую разнастайнасць, якая складае прыватны выпадак псеўдарыманавай разнастайнасці (вызначэнне «Лорэнца» будзе удакладнена далей у тэксце; гл. ніжэй раздзел Лорэнцава метрыка) .

Возьмем якую-небудзь сістэму каардынат ў наваколлі кропкі , і хай — лакальны базіс ў датычнай прасторы да разнастайнасці ў кропцы . Датычны вектар запішацца тады як лінейная камбінацыя базісных вектараў :

Пры гэтым велічыні называюцца контраварыантнымі кампанентамі вектара w. Метрычны тэнзар тады — сіметрычная білінейная форма:

дзе праз пазначаны дуальны ў адносінах да базіс ў кадатычный прасторы , гэта значыць такія лінейныя формы на , што:

Далей будзем меркаваць, што кампаненты метрычнага тэнзара змяняюцца ў прасторы-часу бесперапынна[2].

Метрычны тэнзар, такім чынам, можа быць прадстаўлены сапраўднай сіметрычнай матрыцай 4x4 :

Наогул любая сапраўдная матрыца 4x4 мае апрыёры 4 x 4 = 16 незалежных элементаў. Ўмова сіметрыі памяншае гэты лік да 10: на самай справе , застаецца 4 дыяганальных элемента, да якіх трэба дадаць (16 - 4)/2 = 6 недыяганальных элементаў. Тэнзар валодае, такім чынам, толькі 10 незалежнымі кампанентамі.

Скалярны здабытак[правіць | правіць зыходнік]

Метрычны тэнзар вызначае для кожнай кропкі разнастайнасці псеўда-скалярны здабытак («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара); см. Лорэнцава метрыка) у датычнай да разнастайнасці ў кропцы псеўдаэўклідавай прасторы . Калі і — два вектары , іх скалярны здабытак запішацца як:

У прыватнасці, узяўшы два базісных вектара, атрымліваем кампаненты:

Заўвага: калі велічыні w ^ {\ mu} абазначаюць контраварыянтныя кампаненты вектара w, то можна вызначыць таксама яго каварыянтныя кампаненты як:

Элементарная адлегласць — інтэрвал[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім вектар элементарнага перамяшчэння паміж кропкай і бясконца блізкай кропкай: . Інварыянтнай інфінітэзімальнай нормай гэтага вэктару будзе сапраўдны лік, які пазначаецца , званы квадратам інтэрвалу, і роўны:

.

Калі пазначыць кампаненты вектара элементарнага перамяшчэння «па-фізічна» , інфінітэзімальны квадрат даўжыні (інтэрвалу) запішацца фармальна як:

Увага: у гэтай формуле, а таксама і далей, прадстаўляе сабой сапраўдны лік, які інтэрпрэтуецца фізічна як «інфінітэзімальная змена» каардынаты , а не як дыферэнцыяльная форма!

Лорэнцава метрыка[правіць | правіць зыходнік]

Удакладнім цяпер выраз «лорэнцава» (дакладней лакальна лорэнцава), які азначае, што метрычны тэнзар мае сігнатуру (1,3) і лакальна супадае ў першым парадку з лорэнцавай метрыкай спецыяльнай тэорыі адноснасці. Прынцып эквівалентнасці сцвярджае, што можна «сцерці» лакальна поле гравітацыі, выбіраючы лакальна інерцыйных сістэму каардынатаў. З матэматычнага пункту гледжання такі выбар з'яўляецца перафармулёўку вядомай тэарэмы аб магчымасці прывядзення квадратычнай формы да галоўных восях .

У такой лакальна інерцыяльны сістэме каардынатаў інварыянт у кропцы запішацца як:

дзе з'яўляецца метрыкай прасторы-часу Мінкоўскага, а ў малому наваколлі гэтага пункту

дзе мае мінімум другі парадак драбніцы па адхіленнях каардынатаў ад кропкі , г. зн. . Прымаючы пагадненне знакаў Мізнэра, Торна і Уілера, маем:

Далей выкарыстоўваюцца наступныя звычайныя пагадненні:

  • грэчаскія індэксы змяняюцца ад 0 да 3. Яны адпавядаюць велічыням ў прасторы-часу.
  • лацінскія індэксы змяняюцца ад 1 да 3. Яны адпавядаюць прасторавым складнікам велічынь у прасторы-часу.

Напрыклад, 4 -вектар становішча запішацца ў лакальна інерцыяльнай сістэме каардынат як:

Увага: на самой справе вядомыя, а не інфінітэзімальныя прырашчэння каардынат не ўтвараюць вектара. Вектар з іх узнікае толькі ў аднастайным прасторы нулявой крывізны і трывіяльнай тапалогіі .

Ларэнца характар ​​разнастайнасці забяспечвае, такім чынам, тое, што датычныя да ў кожнай кропцы псеўдаэўклідавай прасторы будуць валодаць псеўдаскалярнымі здабыткамі («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара)) з трыма строга дадатнымі уласнымі значэннямі (адпаведнымі прасторы) і адным строга адмоўным уласным значэннем (адпаведным часе). У прыватнасці, элементарны інтэрвал «ўласнага часу», які аддзяляе дзве паслядоўных падзеі, заўсёды :

Агульныя паняцці афіннай звязнасці і каварыянтнай вытворнай[правіць | правіць зыходнік]

Абагульнена, афіннай звязнасцю называецца аператар , які прыводзіць у адпаведнасць вектарнаму полю з датычнага пучка поле эндамарфізмаў этого пучка. гэтага пучка. Калі — датычны вектар у пункце , звычайна пазначаюць

Кажуць , што з'яўляецца «каварыянтнай вытворнай» вектара ў напрамку . Выкажам здагадку да таго ж , што задавальняе дадатковым умовам: для любой функцыі f справядліва

Каварыянтная вытворная задавальняе наступным двум уласцівасцям лінейнасці:

  • лінейнасць па w, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў w і u і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:
  • лінейнасць па V, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў X і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:

Як толькі каварыянтная вытворная вызначана для палёў вектараў, яна можа быць распаўсюджана на тэнзарныя палі з выкарыстаннем правілы Лейбніца: калі і — два любых тэнзар, то па азначэнні :

Каварыантная вытворная поля тэнзара ўздоўж вектара w значыць ізноў поле тэнзара таго ж тыпу.

Звязнасць, асацыяваная з метрыкай[правіць | правіць зыходнік]

Можна даказаць , што звязнасць, асацыяваная з метрыкай — складнасць Леві-Чывіты [ 1 ], з'яўляецца адзінай звязнасцю, якая акрамя папярэдніх умоў дадаткова забяспечвае тое, што для любых палёў вектараў X, Y, Z з TM


  • (метрычнасць — тэнзар неметрычнасці роўны нулю) .
  • , где — камутатар Лі ад X і Y (адсутнасць скрута — тэнзар скрута роўны нулю) .

Ураўненні Эйнштэйна[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненні гравітацыйнага поля, якія называюцца ураўненнямі Эйнштэйна, запісваюцца так

або так

дзе касмалагічная канстанта, хуткасць святла ў вакууме, гравітацыйная пастаянная, якая з'яўляецца таксама ў законе сусветнага прыцягнення Ньютана, — тэнзар Эйнштэйна, а — тэнзар энергіі-імпульсу.

Сіметрычны тэнзар мае толькі 10 незалежных складнікаў, тэнзарнае ураўненне Эйнштэйна ў зададзенай сістэме каардынат эквівалентна сістэме 10 скалярных ураўненняў. Гэтая сістэма 10 звязаных нелінейных ураўненняў ў прыватных вытворных ў большасці выпадкаў вельмі цяжкая для вывучэння.

Тэнзар энергіі-імпульсу[правіць | правіць зыходнік]

Тэнзар энергіі-імпульсу можа быць запісаны ў выглядзе сапраўднай сіметрычнай матрыцы 4x4:

У ім выяўляюцца наступныя фізічныя велічыні:

  • T00 — аб'ёмная шчыльнасць энергіі. Яна павінна быць дадатнай.
  • T10, T20, T30 — шчыльнасці кампанент імпульсу.
  • T01, T02, T03 — кампаненты патоку энергіі.
  • Пад-матрыца 3 x 3 з чыста прасторавых кампанент:

— матрыца патокаў імпульсаў. У механіцы вадкасці дыяганальныя кампаненты адпавядаюць ціску, а іншыя складнікі — тангенцыяльным намаганням (высілкам або ў старой тэрміналогіі — нацяжэннем), выкліканым вязкасцю.

Для вадкасці ў спакоі тэнзар энергіі-імпульсу зводзіцца да дыяганальнай матрыцы , дзе ёсць шчыльнасць масы, а — гідрастатычны ціск.

Зноскі

  1. Далей мы ўсюды не пішам індэкс 4, які ўдакладняе размернасць разнастайнасці «M».
  2. Больш дакладна, яны павінны быць па крайняй меры класа C².
Тэорыі гравітацыі
Стандартныя тэорыі гравітацыі Альтэрнатыўныя тэорыі гравітацыі Квантавыя тэорыі гравітацыі Адзіныя тэорыі поля
Класічная фізіка

Рэлятывісцкая фізіка

Прынцыпы

Класічныя

Рэлятывісцкія

Шматмерныя

Струнныя

Іншыя