Аксіёмы геаметрыі

Аксіё́мы геаме́трыі – набор аксіём, якія складаюць лагічную аснову геаметрыі (яе аксіяматыку). Аксіёмы прызнаюцца як сапраўдныя сцверджанні, якія не патрабуюць доказу. Усе іншыя палажэнні геаметрыі даказваюцца (лагічна выводзяцца) з яе аксіём.

Аксіяматыка Еўкліда

Старажытнагрэчаскі матэматык Еўклід (III ст. да н.э.) быў першым, хто распрацаваў сістэму геаметрычных аксіём (пастулатаў). Аксіяматыка Еўкліда складаецца з пяці пастулатаў:

праз любыя два пункты можна правесці адну, і толькі адну, прамую
любы адрэзак можна прадоўжыць, каб атрымаць прамую
праз любы адрэзак можна правесці акружнасць так, што гэты адрэзак будзе яе радыусам, а адзін з яго канцоў – цэнтрам
усе прымыя вуглы роўныя між сабой
праз любы пункт, што не належыць да прамой, можна правесці прамую, якая не перасякае яе.

Аксіяматыка Гільберта

У 1899 годзе нямецкі матэматык Д. Гільберт прапанаваў больш дасканалую сістэму з 21 аксіёмы, падзеленай на пяць груп:

аксіёмы спалучэння
аксіёмы парадку
аксіёмы кангруэнтнасці
аксіёма паралельнасці
аксіёмы неперарыўнасці

Спалучэння

Аксіё́мы спалучэ́ння (прынале́жнасці, інцыдэ́нтнасці) – група геаметрычных аксіём, якія датычацца прыналежнаці пунктаў, прамых і пласкасцей адна да адной. Гэта першая з пяці груп аксіём у аксіяматыцы Гільберта. Яна складаецца з васьмі аксіём, першыя тры з якіх адносяцца як да планіметрыі, так і да стэрэаметрыі, а астатнія пяць – толькі да стэрэаметрыі.

Аксіёма 1. Праз любыя два пункты можна правесці прамую.

Аксіёма 2. Любыя два пункты прамой вызначаюць гэтую прамую (гэта значыць, праз іх нельга правесці ніякую іншую прамую).

Аксіёма 3. Кожная прамая мае прынамсі два пункты; кожная плоскасць мае прынамсі тры пункты, якія не належаць да аднае прамой.

Аксіёма 4. Праз любыя тры пункты, якія не належаць да аднае прамой, можна правесці плоскасць.

Аксіёма 5. Любыя тры пункты плоскасці, якія не належаць да аднае прамой, вызначаюць гэтую плоскасць (гэта значыць, праз іх нельга правесці ніякую іншую плоскасць).

Аксіёма 6. Калі два пункты прамой належаць да плоскасці, то і ўся гэтая прамая (усе астатнія яе пункты) належаць да гэтай плоскасці.

Аксіёма 7. Калі дзве плоскасці маюць агульны пункт, то яны маюць прынамсі яшчэ адзін агульны пункт.

Аксіёма 8. Існуе прынамсі чатыры пункты, праз якія не належаць да аднае плоскасці.

Аксіёмы 1 і 2, а таксама 4 і 5, пры пабудове геаметрычнай аксіяматыкі могуць фармулявацца як адзіныя аксіёмы: праз любыя два пункты можна правесці адну і толькі адну прамую. Аналагічна, праз любыя тры пункты можна правесці адну і толькі адну плоскасць.

Аксіёму 1 часам фармулююць такім чынам: Любая прамае мае незлічонае мноства пунктаў, якія належаць да яе. Але такая фармулёўка з'яўляецца лішкавай, бо незлічонасць пунктаў прамой вынікае з аксіём парадку.

Вынікі аксіём спалучэння

Непасрэдна з аксіёмы 3 вынікае, што дзве розныя прамыя могуць мець не больш за адзін агульны пункт.

З аксіём 1 – 3 вынікае, што для кожнай прамой існуе прынамсі адзін пункт, які да яе не належыць. Гэтае сцверджанне ў некаторых варыянтах пабудовы геаметрыі прымаецца за аксіёму.

Таксама з гэтых аксіём вынікае, што праз любы пункт, які не належыць да прамой, можна правесці прамую, што перасякае яе (мае з ёй агульны пункт). У той жа час, аксіёмы спалучэння не даюць адказу на пытанне аб магчымасці правесці праз пункт прамую, якая не перасякае дадзеную прамую. Гэта вырашаецца аксіёмай паралельнасці.

З аксіём 1 – 2 і 4 вынікае, што плоскасць можна вызначыць прамой і пунктам, які да яе не належыць.

З аксіём 7, 1 – 2, і 6 вынікае, што калі дзве плоскасці перасякаюцца (маюць агульны пункт), то яны маюць агульную прамую (перасякаюцца па прамой). Пры гэтым любы агульны пункт гэтых пласкасцей належыць да гэтай прамой.

Сапраўды, калі дзве плоскасці α і β маюць агульны пункт A, то, паводле аксіёмы 7, яны маюць яшчэ адзін агульны пункт B. Праз гэты пункт, за аксіёмамі 1 – 2, можна правесці прамую a. Пры гэтым два яе пункты (A і B) належаць да абодвух пласкасцей. Значыць, і ўся прамая належыць да гэтых пласкасцей (аксіёма 6). Прыпусцім, што плоскасці α і β маюць яшчэ адзін агульны пункт C. Калі ён не належыць да прамой a, то, згодна аксіёме 5, плоскасці α і β супадаюць. Таму пункт C, як і любы іншы агульны для пласкасцей α і β пункт, павінен належаць да прамой a.

Парадку

Кангруэнтнасці

Паралельнасці

Неперарыўнасці