Алгебраічнае лікавае поле

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Алгебраі́чнае лі́кавае по́ле (ці проста лікавае поле) — гэта канечнае (і як вынік — алгебраічнае) пашырэнне поля рацыянальных лікаў . Такім чынам, лікавае поле — гэта поле, якое ўтрымлівае і з'яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над ім.

Лікавыя палі і, больш агульна, алгебраічныя пашырэнні поля рацыянальных лікаў з'яўляюцца асноўным аб'ектам вывучэння алгебраічнай тэорыі лікаў.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Найменшае і базавае лікавае поле — поле рацыянальных лікаў .
  • Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца , — першы нетрывіяльны прыклад лікавага поля. Яго элементы — выразы віду
дзе і — рацыянальныя лікі, уяўная адзінка. Такія выразы можна складваць і перамнажаць па звычайных правілах дзеянняў з камплекснымі лікамі, і ў кожнага ненулявога элемента існуе адваротны, як гэта відаць з роўнасці
З гэтага вынікае, што рацыянальныя гаусавы лікі ўтвараюць поле, якое з'яўляецца двухмернаю прастораю над (г. зн. квадратычным полем).
  • Больш агульна, для любога свабоднага ад квадратаў цэлага ліку будзе квадратычным пашырэннем поля .
  • Кругавое поле атрымліваецца дабаўленнем у прымітыўнага кораня n-й ступені з адзінкі. Поле павінна ўтрымліваць і ўсе яго ступені (г. зн. усе карані n-й ступені з адзінкі), яго размернасць над раўняецца функцыі Эйлера .
  • Рэчаісныя і камплексныя лікі маюць бесканечную ступень над рацыянальнымі, таму яны не з'яўляюцца лікавымі палямі. Гэта вынікае з незлічальнасці: любое лікавае поле з'яўляецца злічальным.

Кальцо цэлых лікавага поля[правіць | правіць зыходнік]

Паколькі лікавае поле з'яўляецца алгебраічным пашырэннем поля , любы яго элемент з'яўляецца коранем некаторага мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі (г. зн. з'яўляецца алгебраічным). Больш таго, кожны элемент з'яўляецца коранем мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, бо можна дамножыць усе рацыянальныя каэфіцыенты на здабытак назоўнікаў. Калі ж дадзены элемент з'яўляецца коранем некаторага прыведзенага (унітарнага) мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, ён называецца цэлым элементам (ці алгебраічным цэлым лікам). Не ўсе элементы лікавага поля цэлыя: напрыклад, лёгка паказаць, што цэлыя элементы поля рацыянальных лікаў — гэта звычайныя цэлыя лікі і толькі яны.

Можна даказаць, што сума і здабытак двух алгебраічных цэлых лікаў — ізноў алгебраічны цэлы лік, таму цэлыя элеманты ўтвараюць падкальцо лікавага поля , якое называецца кальцом цэлых поля і абазначаецца . Поле не ўтрымлівае дзельнікаў нуля і гэтая ўласцівасць наследуецца пры пераходзе да падкальца, таму кальцо цэлых цэластнае; поле дзелей кальца — гэта само поле . Кальцо цэлых любога лікавага поля валодае наступнымі трыма ўласцівасцямі: яно цэлазамкнутае, нётэрава і аднамернае. Камутатыўнае кальцо з такімі ўласцівасцямі называецца дэдэкіндавым у гонар Рыхарда Дэдэкінда.

Раскладанне на простыя і група класаў[правіць | правіць зыходнік]

У адвольным дэдэкіндавым кальцы існуе адно і толькі адно раскладанне ненулявых ідэалаў у здабытак простых. Аднак не любое кальцо цэлых мае ўласцівасць фактарыяльнасці: ужо для кальца цэлых квадратычнага поля раскладанне не адзінае:

Увёўшы на гэтым кальцы норму, можна паказаць, што гэтыя раскладанні сапраўды розныя, г.зн. адно нельга атрымаць з другога дамнажэннем на абарачальны элемент.

Ступень парушэння ўласцівасці фактарыяльнасці вымяраюць пры дапамозе групы класаў ідэалаў, гэтая група для кальца цэлых заўсёды канечная і яе парадак называюць лікам класаў.

Базісы лікавага поля[правіць | правіць зыходнік]

Цэлы базіс[правіць | правіць зыходнік]

Цэлы базіс лікавага поля F ступені n — гэта мноства

B = {b1, …, bn}

з n элементаў кальца цэлых поля F, такое што любы элемент кальца цэлых OF поля F можна толькі адным спосабам запісаць як Z-лінейную камбінацыю элементаў B; г.зн. для любога x з OF існуе адзінае раскладанне

x = m1b1 + … + mnbn,

дзе mi — звычайныя (рацыянальныя) цэлыя лікі. У гэтым выпадку любы элемент F можна запісаць як

m1b1 + … + mnbn,

дзе mi — рацыянальныя лікі. Пры такім базісе цэлыя элементы F вылучаюцца тою ўласцівасцю, што гэта дакладна тыя элементы, для якіх усе mi цэлыя.

Выкарыстоўваючы такія працэдуры як лакалізацыя і эндамарфізм Фрабеніуса, можна пабудаваць такі базіс для любога лікавага поля. Его пабудова з'яўляецца ўбудаванаю функцыяй у многіх сістэмах камп'ютарнай алгебры.

Ступенны базіс[правіць | правіць зыходнік]

Няхай F — лікавае поле ступені n. Сярод усіх магчымых базісаў F (як Q-вектарнай прасторы), існуюць ступенныя базісы, г.зн. базісы віду

Bx = {1, x, x², …, xn−1}

для некаторага xF. Згодна з тэарэмаю аб прымітыўным элеменце, такі x заўсёды існуе, яго называюць прымітыўным элементам дадзенага пашырэння.

Норма і след[правіць | правіць зыходнік]

Алгебраічнае лікавае поле з'яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над (абазначым яе размернасць праз ), і дамнажэнне на адвольны элемент поля з'яўляецца лінейным пераўтварэннем гэтае прасторы. Няхай — які-небудзь базіс поля F, тады пераўтварэнню адпавядае матрыца , вызначаная ўмовай

Элементы гэтай матрыцы залежаць ад выбару базіса, аднак ад яго не залежаць усе інварыянты матрыцы, такія як вызначнік і след. У кантэксце алгебраічных пашырэнняў, вызначнік матрыцы дамнажэння на элемент называецца нормай гэтага элемента (абазначаецца ); след матрыцы — следам элемента (абазначаецца ).

След элемента з'яўляецца лінейным функцыяналам на F:

и .

Норма з'яўляецца мультыплікатыўнай і аднароднай функцыяй:

и

У якасці зыходнага базіса можна выбраць цэлы базіс[?], дамнажэнню на цэлы алгебраічны лік (г.зн. на элемент кальца цэлых[?]) у гэтым базісе будзе адпавядаць матрыца з цэлымі элементамі. Такім чынам, след і норма любога элемента кальца цэлых з'яўляюцца цэлымі лікамі.

Прыклад выкарыстання нормы[правіць | правіць зыходнік]

Хай натуральны лік, свабодны ад квадратаў, тады квадратычнае поле (і такім чынам, лікавае поле). Выберам у гэтым полі цэлы базіс ( — цэлы элемент, бо ён з'яўляецца коранем прыведзенага мнагачлена ). У гэтым базісе дамнажэнню на адпавядае матрыца

Такім чынам, . На элементах кальца гэтая норма прымае цэлыя значэнні. Норма з'яўляецца гомамарфізмам мультыплікатыўнай групы на мультыплікатыўную групу , таму норма абарачальных элементаў кальца можа быць роўная толькі або . Для таго, каб рашыць ураўненне Пеля , дастаткова знайсці ўсе абарачальныя элементы кальца цэлых (так званыя адзінкі кальца) і вылучыць сярод іх тыя, што маюць норму . Згодна з тэарэмай Дзірыхле аб адзінках[ru], усе абарачальныя элементы дадзенага кальца з'яўляюцца ступенямі аднаго элемента (з дакладнасцю да множання на ), таму для знаходжання ўсіх рашэнняў ураўнення Пеля дастаткова знайсці адно фундаментальнае рашэнне.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Х. Кох. Алгебраическая теория чисел — М.: ВИНИТИ, 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
  • Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2 — М.: Едиториал УРСС, 2004.
  • Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ. — М.: Едиториал УРСС, 2011.
  • Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000