Алгебраічны лік

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Алгебраі́чны лік над полем — элемент алгебраічнага замыкання поля , г. зн. корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю) з каэфіцыентамі з .

Калі поле не пазначана, то маецца на ўвазе поле рацыянальных лікаў, г. зн. , у гэтым выпадку поле алгебраічных лікаў звычайна абазначаецца . Поле з'яўляецца падполем поля камплексных лікаў.

Гэта артыкул прысвечан іменна гэтым «рацыянальным алгебраічным лікам».

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Камплексны лік, які не з'яўляецца алгебраічным, называецца трансцэндэнтным.
  • Цэлымі алгебраічнымі лікамі называюцца карані мнагачленаў з цэлымі каэфіцыентамі і са старшым каэфіцыентам, роўным адзінцы.
  • Калі — алгебраічны лік, то сярод усіх мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якіх з'яўляецца коранем, існуе адзіны мнагачлен найменшае ступені са старшым каэфіцыентам, роўным . Такі мнагачлен аўтаматычна з'яўляецца непрыводным, ён называецца кананічным, ці мінімальным, мнагачленам алгебраічнага ліку . (Іншы раз кананічным называюць мнагачлен, які атрымліваецца з мінімальнага дамнажэннем на найменшае агульнае кратнае назоўнікаў яго каэфіцыентаў, г. зн. мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі)
    • Ступень кананічнага мнагачлена называецца ступенню алгебраічнага ліку .
    • Іншыя карані кананічнага мнагачлена называюцца спалучанымі з .
    • Вышынёю алгебраічнага ліку называецца найбольшая з абсолютных велічынь каэфіцыентаў у непрыводным і нескарачальным мнагачлене з цэлымі каэфіцыентамі, для якога з'яўляецца коранем.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Рацыянальныя лікі, і толькі яны, з'яўляюцца алгебраічнымі лікамі 1-й ступені.
  • Уяўная адзінка і з'яўляюцца алгебраічнымі лікамі 2-й ступені. Спалучанымі да іх з'яўляюцца адпаведна і .
  • Пры любым натуральным паказчыку лік з'яўляецца алгебраічным ступені .

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Мноства алгебраічных лікаў злічальнае, і такім чынам, мае меру нуль.
  • Мноства алгебраічных лікаў шчыльнае на камплекснай плоскасці.
  • Сума, рознасць, здабытак і дзель двух алгебраічных лікаў (акрамя дзялення на нуль) з'яўляюцца алгебраічнымі лікамі, г. зн. мноства ўсіх алгебраічных лікаў утварае поле.
  • Корань мнагачлена з алгебраічнымі каэфіцыентамі ёсць алгебраічны лік, г. зн. поле алгебраічных лікаў алгебраічна замкнута.
  • Для ўсякага алгебраічнага ліку існуе такое натуральнае , што цэлы алгебраічны лік.
  • Алгебраічны лік ступені мае розных спалучаных лікаў (уключаючы сябе).
  • і спалучаныя тады і толькі тады, калі існуе аўтамарфізм поля , які пераводзіць ў .
  • Любы алгебраічны лік вылічымы, і такім чынам, арыфметычны.
  • Парадак на мностве рэчаісных алгебраічных лікаў ізаморфны парадку на мностве рацыянальных лікаў.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Упершыню алгебраічныя палі стаў разглядаць Гаус. Пры абгрунтаванні тэорыі біквадратычных вылікаў ён развіў арыфметыку цэлых гаусавых лікаў, г. зн. лікаў віду , дзе і цэлыя лікі. Далей, вывучаючы тэорыю кубічных вылікаў, Якобі і Эйзенштэйн стварылі арыфметыку лікаў віду , дзе — кубічны корань з адзінкі, а і — цэлыя лікі. У 1844 годзе Ліувіль даказаў тэарэму аб немагчымасці надта добрага прыбліжэння каранёў мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі рацыянальнымі дробамі, і, як вынік, увёў фармальныя паняцці алгебраічных і трансцэндэнтных (г. зн. усіх астатніх рэчаісных) лікаў. Спробы даказаць вялікую тэарэму Ферма прывялі Кумера да вывучэння палёў дзялення круга, увядзення паняцця ідэала і стварэння элементаў тэорыі алгебраічных лікаў. У працах Дзірыхле, Кронекера, Гільберта і іншых тэорыя алгебраічных лікаў атрымала сваё далейшае развіццё. Вялікі ўклад у яе ўнеслі рускія матэматыкі Залатароў (тэорыя ідэалаў), Вараны (кубічныя ірацыянальнасці, адзінкі кубічных палёў), Маркаў (кубічнае поле), Сахоцкі (тэорыя ідэалаў) і іншыя.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]