Алгебраічны лік
Алгебраі́чны лік над полем — элемент алгебраічнага замыкання поля , г. зн. корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю) з каэфіцыентамі з .
Калі поле не пазначана, то маецца на ўвазе поле рацыянальных лікаў, г. зн. , у гэтым выпадку поле алгебраічных лікаў звычайна абазначаецца . Поле з’яўляецца падполем поля камплексных лікаў.
Гэта артыкул прысвечан іменна гэтым «рацыянальным алгебраічным лікам».
Звязаныя азначэнні
[правіць | правіць зыходнік]- Камплексны лік, які не з’яўляецца алгебраічным, называецца трансцэндэнтным.
- Цэлымі алгебраічнымі лікамі называюцца карані мнагачленаў з цэлымі каэфіцыентамі і са старшым каэфіцыентам, роўным адзінцы.
- Калі — алгебраічны лік, то сярод усіх мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якіх з’яўляецца коранем, існуе адзіны мнагачлен найменшае ступені са старшым каэфіцыентам, роўным . Такі мнагачлен аўтаматычна з’яўляецца непрыводным, ён называецца кананічным, ці мінімальным, мнагачленам алгебраічнага ліку . (Іншы раз кананічным называюць мнагачлен, які атрымліваецца з мінімальнага дамнажэннем на найменшае агульнае кратнае назоўнікаў яго каэфіцыентаў, г. зн. мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі)
- Ступень кананічнага мнагачлена называецца ступенню алгебраічнага ліку .
- Іншыя карані кананічнага мнагачлена называюцца спалучанымі з .
- Вышынёю алгебраічнага ліку называецца найбольшая з абсолютных велічынь каэфіцыентаў у непрыводным і нескарачальным мнагачлене з цэлымі каэфіцыентамі, для якога з’яўляецца коранем.
Прыклады
[правіць | правіць зыходнік]- Рацыянальныя лікі, і толькі яны, з’яўляюцца алгебраічнымі лікамі 1-й ступені.
- Уяўная адзінка і з’яўляюцца алгебраічнымі лікамі 2-й ступені. Спалучанымі да іх з’яўляюцца адпаведна і .
- Пры любым натуральным паказчыку лік з’яўляецца алгебраічным ступені .
Уласцівасці
[правіць | правіць зыходнік]- Мноства алгебраічных лікаў злічальнае, і такім чынам, мае меру нуль.
- Мноства алгебраічных лікаў шчыльнае на камплекснай плоскасці.
- Сума, рознасць, здабытак і дзель двух алгебраічных лікаў (акрамя дзялення на нуль) з’яўляюцца алгебраічнымі лікамі, г. зн. мноства ўсіх алгебраічных лікаў утварае поле.
- Корань мнагачлена з алгебраічнымі каэфіцыентамі ёсць алгебраічны лік, г. зн. поле алгебраічных лікаў алгебраічна замкнута.
- Для ўсякага алгебраічнага ліку існуе такое натуральнае , што — цэлы алгебраічны лік.
- Алгебраічны лік ступені мае розных спалучаных лікаў (уключаючы сябе).
- і спалучаныя тады і толькі тады, калі існуе аўтамарфізм поля , які пераводзіць ў .
- Любы алгебраічны лік вылічымы, і такім чынам, арыфметычны.
- Парадак на мностве рэчаісных алгебраічных лікаў ізаморфны парадку на мностве рацыянальных лікаў.
Гісторыя
[правіць | правіць зыходнік]Упершыню алгебраічныя палі стаў разглядаць Гаус. Пры абгрунтаванні тэорыі біквадратычных вылікаў ён развіў арыфметыку цэлых гаусавых лікаў, г. зн. лікаў віду , дзе і — цэлыя лікі. Далей, вывучаючы тэорыю кубічных вылікаў, Якобі і Эйзенштэйн стварылі арыфметыку лікаў віду , дзе — кубічны корань з адзінкі, а і — цэлыя лікі. У 1844 годзе Ліувіль даказаў тэарэму аб немагчымасці надта добрага прыбліжэння каранёў мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі рацыянальнымі дробамі, і, як вынік, увёў фармальныя паняцці алгебраічных і трансцэндэнтных (г. зн. усіх астатніх рэчаісных) лікаў. Спробы даказаць вялікую тэарэму Ферма прывялі Кумера да вывучэння палёў дзялення круга, увядзення паняцця ідэала і стварэння элементаў тэорыі алгебраічных лікаў. У працах Дзірыхле, Кронекера, Гільберта і іншых тэорыя алгебраічных лікаў атрымала сваё далейшае развіццё. Вялікі ўклад у яе ўнеслі рускія матэматыкі Залатароў (тэорыя ідэалаў), Вараны (кубічныя ірацыянальнасці, адзінкі кубічных палёў), Маркаў (кубічнае поле), Сахоцкі (тэорыя ідэалаў) і іншыя.
Гл. таксама
[правіць | правіць зыходнік]Спасылкі
[правіць | правіць зыходнік]- Фельдман, Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант, № 7, 1983.
- Нестеренко Ю. В. Лекции об алгебраических числах(недаступная спасылка) // Конспект курса лекций, читаемых на мехмате МГУ.