Лінейная алгебра

Лінейная алгебра — раздзел алгебры, які вывучае аб’екты лінейнай прыроды: вектары, вектарныя, або лінейныя прасторы, лінейныя адлюстраванні і сістэмы лінейных ураўненняў, сярод асноўных інструментаў, якія выкарыстоўваюцца ў лінейнай алгебры — вызначальнікі, матрыцы, спалучэнне. Тэорыя інварыянтаў і тэнзарныя вылічэнні звычайна таксама лічацца часткамі лінейнай алгебры.

Вектарныя прасторы сустракаюцца ў матэматыцы і яе прыкладаннях паўсюдна. Лінейная алгебра шырока выкарыстоўваецца ў абстрактнай алгебры і функцыянальным аналізе, шырока прымяняецца ў прыродазнаўчых навуках.

Гісторыя

Першыя элементы лінейнай алгебры вынікалі з практычных вылічальных задач вакол рашэння лінейных ураўненняў, у прыватнасці, такія арыфметычныя прыёмы, як трайное правіла^[en] і правіла ілжывага палажэння^[en] былі сфармуліраваны яшчэ ў старажытнасці. У «Пачатках» Еўкліда фігуруюць дзве тэорыі «лінейнага» характару: тэорыя велічыні і тэорыя цэлых лікаў. Блізкія да сучасных матрычных метадаў падыходы да рашэнняў сістэм лінейных ураўненняў ёсць у вавілонян (сістэмы з двух ураўненняў з дзвюма пераменнымі) і старажытных кітайцаў (у «Матэматыка ў дзевяці кнігах», да трох ураўненняў з трыма пераменнымі)^[1]. Аднак пасля дасягнення нявызначанасці з асноўнымі пытаннямі знаходжання рашэнняў сістэм лінейных ураўненняў развіццё раздзела практычна не адбывалася, і нават у канцы XVIII — пачатку XIX ст. лічылася, што праблем адносна ўраўненняў першай ступені больш не існуе, прытым сістэмы лінейных ураўненняў з лікам пераменных, якія адрозніваюцца ад колькасці ўраўненняў або з лінейна-залежнымі каэфіцыентамі ў левай часты проста лічыліся некарэктнымі^[2].

Метады, якія сфарміравалі лінейную алгебру як самастойную галіну матэматыкі, уваходзяць каранямі ў іншыя раздзелы. Ферма ў 1630-е гады, стварыў класіфікацыю плоскіх крывых, увёў у матэматыку (ключавы для лінейнай алгебры) прынцып памернасці і раздзяліў задачы аналітычнай геаметрыі паводле ліку невядомых (з адным невядомым — шуканне кропкі, з дзвюма — крывой або геаметрычнага месца на плоскасці, з трыма — паверхні). Эйлер стварыў класіфікацыю крывых паводле парадкаў, звярнуўшы ўвагу на лінейны характар пераўтварэнняў каардынатаў, увёў у зварот паняцце афіннага пераўтварэння (і само слова «афіннасць»)^[3].

Першае ўвядзенне паняцця вызначальнік для мэт рашэння сістэм лінейных ураўненняў адносяць да Лейбніца (1678^[4] або 1693 год^[5]), але гэтыя работы не былі апублікаваны. Таксама вызначальнік ёсць у працах Сэкі Такакадзу 1683 года, у якіх ён абагульніў метад рашэння сістэм лінейных ураўненняў з старажытнакітайскай «Матэматыкі ў дзевяці кнігах» да $n$ ураўненняў з $n$ невядомымі^[6]. Маклорэн, фактычна выкарыстоўваючы найпрасцейшыя вызначальнікі ў трактаце, які выйшаў у 1748 годзе прыводзіць рашэнні сістэм з двух лінейных ураўненняў з дзвюма невядомымі і трох ураўненняў з трыма невядомымі^[7]. Крамер і Безу ў працах па праблеме шукання плоскай крывой, якая праходзіць праз зададзеную кропку, зноў стварылі гэтае паняцце (правіла Крамера сфармуліраванае ў 1750 годзе), Вандэрмонд і Лагранж далі індуктыўнае азначэнне для выпадкаў $n>3$ ^[8], а цэласнае азначэнне і канечныя ўласцівасці вызначальнікаў далі Кашы (1815) і Якобі (1840-е гады)^[2]. Гаўсу (каля 1800 года) належыць фармалізацыя метаду паслядоўнага выключэння пераменных для рашэння гэтых задач, які стаў вядомым пад яго імем^[9] (хаця па сутнасці для рашэння сістэм лінейных ураўненняў менавіта гэты метад і выкарыстоўваўся са старажытнасці^[3]).

Гл. таксама

Аналітычная геаметрыя

Зноскі

↑ Клейнер 2007, p. 79, About 4000 years ago the Babylonians knew how to solve a system of two linear equations in two unknowns (a 2 × 2 system). In their famous Nine Chapters of the Mathematical Art the Chinese solved 3 × 3 systems by working solely with their (numerical) coefficients. These were prototypes of matrix methods, not unlike the “elimination methods” introduced by Gauss and others.
↑ ^а ^б Бурбаки 1963, с. 74.
↑ ^а ^б Бурбаки 1963, с. 75.
↑ Прасолов 1996, с. 9.
↑ Клейнер 2007, p. 80.
↑ Прасолов 1996, с. 10.
↑ Клейнер 2007, p. 81, The first publication to contain some elementary information on determinants was Maclaurin’s Treatise of Algebra, in which they were used to solve 2 × 2 and 3 × 3 systems.
↑ Даан-Дальмедико 1986, с. 394.
↑ Клейнер 2007, p. 79.

Літаратура

Гусак А. А., Гусак Г. М., Брычыкава А. А. Даведнік па вышэйшай матэматыцы. — Мн.: ТетраСистемс, 2007. — 576 с.
Сухая Т. А. Лінейная алгебра : Метадычны дапаможнік для студэнтаў інжынерна-тэхнічных спецыяльнасцей / Беларуская дзяржаўная політэхнічная акадэмія, Таварыства беларускай мовы імя Ф. Скарыны, Кафедра вышэйшай матэматыкі №3. — Мн., 1993. — 34 с. — 300 экз.
Бурбаки. Линейная и полилинейная алгебра // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 73—86. — 292 с. — (Элементы математики).
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Линейные структуры // Пути и лабиринты. Очерки по истории математики = Routes et dédales / Перевод с французского А. А. Брядинской под редакцией И. Г. Башмаковой. — М.: Мир, 1986. — С. 394—402. — 432 с. — (Современная математика. Популярная серия). — 50 000 экз.
Israel Kleiner. History of Linear Algebra // A History of Abstract Algebra. — Boston: Birkhäuser, 2007. — P. 79—89. — 168 p. — ISBN 978-0-8176-4684-4. — DOI:10.1007/978-0-8176-4685-1_5.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.
Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — (Физматлит). — ISBN 5-02-014727-3.
Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.

Спасылкі

Анлайн калькулятары па лінейнай алгебры Архівавана 25 лютага 2014.

[FOOTNOTEКлейнер200779About_4000_years_ago_the_Babylonians_knew_how_to_solve_a_system_of_two_linear_equations_in_two_unknowns_(a_2_×_2_system)._In_their_famous_Nine_Chapters_of_the_Mathematical_Art_the_Chinese_solved_3_×_3_systems_by_working_solely_with_their_(numerical)_coefficients._These_were_prototypes_of_matrix_methods,_not_unlike_the_“elimination_methods”_introduced_by_Gauss_and_others-1] Клейнер 2007, p. 79, About 4000 years ago the Babylonians knew how to solve a system of two linear equations in two unknowns (a 2 × 2 system). In their famous Nine Chapters of the Mathematical Art the Chinese solved 3 × 3 systems by working solely with their (numerical) coefficients. These were prototypes of matrix methods, not unlike the “elimination methods” introduced by Gauss and others.

[FOOTNOTEБурбаки196374-2] а ^б Бурбаки 1963, с. 74.

[FOOTNOTEБурбаки196375-3] а ^б Бурбаки 1963, с. 75.

[FOOTNOTEПрасолов19969-4] Прасолов 1996, с. 9.

[FOOTNOTEКлейнер200780-5] Клейнер 2007, p. 80.

[FOOTNOTEПрасолов199610-6] Прасолов 1996, с. 10.

[FOOTNOTEКлейнер200781The_first_publication_to_contain_some_elementary_information_on_determinants_was_Maclaurin’s_Treatise_of_Algebra,_in_which_they_were_used_to_solve_2_×_2_and_3_×_3_systems-7] Клейнер 2007, p. 81, The first publication to contain some elementary information on determinants was Maclaurin’s Treatise of Algebra, in which they were used to solve 2 × 2 and 3 × 3 systems.

[FOOTNOTEДаан-Дальмедико1986394-8] Даан-Дальмедико 1986, с. 394.

[FOOTNOTEКлейнер200779-9] Клейнер 2007, p. 79.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]