Рад, матэматыка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Простымі словамі, рад — гэта ўпарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.

Няхай лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя члены знакам плюс (+), атрымаем выраз выгляду:

які і называецца лікавым радам з членамі [1]

Будзем казаць, што рад

мае суму, калі існуе граніца паслядоўнасці яго частковых сум

Гэта граніца

і называецца сумай рада[2].

Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца збежным, а ва ўсіх астатніх выпадках — разбежным[3].

Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і гранічнага пераходу.

У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:

  • лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з'яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя);
  • функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з'яўляюцца розныя функцыі;

Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.

Адно з галоўных прымяненняў лікавых радоў — прыбліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, прыбліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як e і π, можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць

кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых членаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду

Наогул, для абазначэння рада выкарыстоўваецца знак

бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.

У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:

  • лікавы рад сыходзіцца, калі сыходзіцца паслядоўнасць яго частковых сум;
  • лікавы рад разыходзіцца, калі разыходзіцца паслядоўнасць яго частковых сум:
  • лікавы рад сыходзіцца абсалютна, калі сыходзіцца рад з модуляў яго членаў.

Калі лікавы рад сыходзіцца, то граніца паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:

Аперацыі над радамі[правіць | правіць зыходнік]

Няхай зададзены збежныя рады і . Тады:

  • Іх сумай называецца рад
  • Іх здабыткам па Кашы называецца рад , дзе

Калі абодва рады сыходзяцца, то іх сума сыходзіцца, калі абодва рады сыходзяцца абсалютна, то іх сума сыходзіцца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў сыходзіцца абсалютна, то здабытак радоў сыходзіцца.

Крытэрый абсалютнай збежнасці[правіць | правіць зыходнік]

Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад называецца абсалютна збежным, калі сыходзіцца рад .

Рад сыходзіцца абсалютна тады і толькі тады, калі сыходзяцца абодва дадатныя рады і , дзе


Доказ. Калі сыходзіцца \, то па прызнаку параўнання тым больш сыходзяцца і . Наадварот, калі сыходзяцца і , то сыходзіцца і іх сума

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 124.
  2. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125.
  3. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.
  • В. А. Зорич Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I — М.: Наука, 1981. — 544 с.
  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
  • Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063 — 1070.