Рад Фур'е

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Вынікі дадавання членаў рада Фур'е пры прыбліжэнні разрыўнай кавалкава-пастаяннай функцыі

Рад Фур'е — прадстаўленне адвольнай функцыі з перыядам у выглядзе рада

Гэты рад можна таксама запісаць у відзе

дзе

— амплітуда k-га гарманічнага вагання,
— кругавая частата гарманічнага вагання,
— пачатковая фаза k-га вагання,
k-я камплексная амплітуда.

У больш агульным выглядзе радам Фур'е элемента гільбертавай прасторы называецца раскладанне гэтага элемента па артаганальнаму базісу. Існуе мноства сістэм артаганальных функцый: Уолша, Лагера, Кацельнікава і інш.

Раскладанне функцыі ў рад Фур'е з'яўляецца магутным інструментам пры рашэнні самых розных задач дзякуючы таму, што рад Фур'е празрыстым чынам паводзіць сябе пры дыферэнцаванні, інтэграванні, зруху функцыі па аргументу і згортцы функцый.

Рад названы так у гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Трыганаметрычны рад Фур'е[правіць | правіць зыходнік]

Трыганаметрычным радам Фур'е функцыі называюць функцыянальны рад віду

(1)

дзе

Лікі , і () называюцца каэфіцыентамі Фур'е функцыі . Формулы для іх можна растлумачыць наступным чынам. Дапусцім, трэба прадставіць функцыю у выглядзе рада (1), і трэба вызначыць невядомыя каэфіцыенты , і . Калі дамножыць правую частку (1) на і праінтэграваць па прамежку , дзякуючы артаганальнасці ў правай частцы ўсе складнікі будуць роўныя нулю, акрамя аднаго. З атрыманай роўнасці лёгка выражаецца каэфіцыент . Гэтак жа для .

Рад (1) збягаецца к функцыі у прасторы . Іншымі словамі, калі абазначыць праз частковыя сумы рада (1):

то іх сярэднеквадратычнае адхіленне ад функцыі будзе імкнуцца к нулю:

Нягледзячы на сярэднеквадратычную збежнасць, рад Фур'е функцыі, увогуле кажучы, не абавязан збягацца к ёй папунктава.

Часта пры рабоце з радамі Фур'е бывае зручней у якасці базіса выкарыстоўваць замест сінусаў і косінусаў экспаненты ўяўнага аргумента. Разгледзім прастору камплесназначных функцый са скалярным здабыткам

.

Таксама разгледзім сістэму функцый

Як і раней, гэтыя функцыі з'яўляюцца папарна артаганальнымі і ўтвараюць поўную сістэму, і такім чынам, любую функцыю можна раскласці па іх у рад Фур'е:

дзе рад у правай частцы збягаецца к па норме ў Тут

Каэфіцыенты звязаны з класічнымі каэфіцыентамі Фур'е па наступных формулах:

  • Камплексная функцыя рэчаіснай зменнай раскладаецца ў такі ж рад Фур'е па ўяўных экспанентах, як і рэчаісная, але ў адрозненне ад апошняй, у яе раскладанні і не будуць, наогул кажучы, камплексна спалучанымі.

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Рады Фур'е ў гільбертавай прасторы[правіць | правіць зыходнік]

Апісаную вышэй канструкцыю можна абагульніць з выпадка прасторы з трыганаметрычнай сістэмай на адвольную гільбертаву прастору. Няхай зададзеныя артаганальная сістэма ў гільбертавай прасторы і — адвольны элемент з . Дапусцім, трэба прадставіць у выглядзе (бесканечнай) лінейнай камбінацыі элементаў :

Дамножым гэты выраз на . З улікам артаганальнасці сістэмы функцый усе складнікі рада аказваюцца нулямі, акрамя складніка пры n = k:

Паслядоўнасць лікаў

называецца каардынатамі, ці каэфіцыентамі Фур'е элемента па сістэме , а рад

называецца радам Фур'е элемента па артаганальнай сістэме .

Рад Фур'е любога элемента па любой артаганальнай сістэме збягаецца ў прасторы , але яго сума не абавязкова роўная . Для ортанармаванай сістэмы у сепарабельнай гільбертавай прасторы наступныя ўмовы раўназначныя:

  • сістэма з'яўляецца базісам, г. зн. сума рада Фур'е любога элемента роўная гэтаму элементу.
  • сістэма з'яўляецца поўнай, г. зн. у не існуе ненулявога элемента, артаганальнага ўсім элементам адначасова.
  • сістэма з'яўляецца замкнутай, г. зн. для любога справядліва роўнасць Парсеваля
  • лінейныя камбінацыі элементаў шчыльныя ў прасторы .

Калі гэтыя ўмовы не выконваюцца, то сума рада Фур'е элемента роўная яго артаганальнай праекцыі на замыканне лінейнай абалонкі элементаў У гэтым выпадку замест роўнасці Парсеваля справядліва няроўнасць Беселя:

Дваістасць Пантрагіна[правіць | правіць зыходнік]

Пры абагульненні радоў Фур'е на выпадак гільбертавых прастор губляюцца ўласцівасці, якія звязваюць рады Фур'е са згорткаю — тое, што каэфіцыенты Фур'е згорткі функцый з'яўляюцца пачленнымі здабыткамі іх каэфіцыентаў Фур'е, і наадварот, каэфіцыенты Фур'е здабытку прадстаўляюцца згорткаю каэфіцыентаў Фур'е сумножнікаў. Гэтыя ўласцівасці ключавыя для прыкладанняў тэорыі Фур'е да рашэння дыферэнцыяльных, інтэгральных і іншых функцыянальных ураўненняў. Таму найбольш цікавымі з'яўляюцца такія абагульненні радоў Фур'е, для якіх гэтыя ўласцівасці захоўваюцца. Такім абагульненнем з'яўляецца тэорыя дваістасці Пантрагіна. Яна разглядае функцыі, зададзеныя на лакальна-кампактных абелевых групах. Аналагам рада Фур'е такой функцыі будзе функцыя, зададзеная на дваістай групе.

Збежнасць рада Фур'е[правіць | правіць зыходнік]

Збежнасць рада Фур'е

Агляд вынікаў аб збежнасці рада Фур'е[правіць | правіць зыходнік]

Абазначым праз частковыя сумы рада Фур'е функцыі :

Далей абмяркоўваецца збежнасць паслядоўнасці функцый к функцыі у розных сэнсах. Функцыя лічыцца -перыядычнаю (калі яна зададзена толькі на прамежку , яе можна перыядычна працягнуць).

  • Калі , то паслядоўнасць збягаецца к функцыі у сэнсе . Акрамя таго, з'яўляюцца найлепшым (у сэнсе адлегласці ў ) прыбліжэннем функцыі трыганаметрычным мнагачленам ступені не больш за .
  • Збежнасць радоў Фур'е ў зададзеным пункце — лакальная ўласцівасць, г. зн. калі функцыі і супадаюць у некаторым наваколлі , то паслядоўнасці і альбо адначасова разбягаюцца, альбо адначасова збягаюцца, і ў гэтым выпадку іх граніцы супадаюць.
  • Калі функцыя дыферэнцавальная ў пункце , то яе рад Фур'е ў гэтым пункце збягаецца к . Больш дакладныя дастатковыя ўмовы ў тэрмінах гладкасці функцыі задаюцца прыкметаю Дзіні.
  • Функцыя, непарыўная ў пункце , можа мець разбежны ў ёй рад Фур'е. Але, калі ён збягаецца, то абавязкова к . Гэта вынікае з таго, што для непарыўнай у функцыі паслядоўнасць збягаецца па Чэзара к .
  • Калі функцыя разрыўная ў пункце , але мае граніцы ў гэтым пункце справа і злева , то пры некаторых дадатковых умовах збягаюцца к . Падрабязней гл. мадыфікаваную прыкмету Дзіні.
  • Тэарэма Карлесана: калі , то яе рад Фур'е збягаецца к ёй амаль усюды. Гэта верна і калі . Аднак, існуюць функцыі з , чый рад Фур'е разбягаецца ва ўсіх пунктах (тэарэма Калмагорава).
  • Возьмем пункт . Тады мноства ўсіх непарыўных функцый, чый рад Фур'е збягаецца ў гэтым пункце, з'яўляецца мноствам першай катэгорыі ў прасторы . У некаторым сэнсе гэта азначае, што «тыповая» непарыўная функцыя мае разбежны рад Фур'е.

Спаданне каэфіцыентаў Фур'е і аналітычнасць функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Існуе фундаментальная сувязь паміж аналітычнасцю функцыі і скорасцю спадання яе каэфіцыентаў Фур'е. Чым «лепшая» функцыя, тым скарэй яе каэфіцыенты імкнуцца да нуля, і наадварот. Ступеннае спаданне каэфіцыентаў Фур'е ўласцівае функцыям класа , а экспаненцыяльнае — аналітычным функцыям. Прыклады такой сувязі:

  • Каэфіцыенты Фур'е любой інтэгравальнай функцыі імкнуцца да нуля (лема Рымана — Лебега[en]).
  • Калі функцыя належыць класу , г. зн. дыферэнцавальная k разоў і яе k-я вытворная непарыўная, то
  • Калі рад збягаецца абсалютна, то пры ўсіх .
  • Калі функцыя належыць класу Гёльдэра з паказчыкам , та рад збягаецца абсалютна (тэарэма Бернштэйна).
  • Калі , то функцыя з'яўляецца аналітычнаю. Справядліва і адваротнае.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
  • Рудин У. Основы математического анализа — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
  • Зигмунд А. Тригонометрические ряды — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.