Сіла інерцыі

Сі́ла іне́рцыі – фіктыўная сіла, якая дзейнічае на целы ў неінерцыяльнай сістэме адліку. Фіктыўнасць палягае ў тым, што гэтая сіла не звязаная ні з якім рэальным целам, а ўмоўна ўводзіцца толькі для таго, каб у неінерцыяльных сістэмах адліку можна было ўжываць законы Ньютана.

Калі неінерцыяльная сістэма адліку рухаецца адносна інерцыяльнай, то

$\mathbf {r} _{in}=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {r} _{nin}$$\mathbf {r} _{in}=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {r} _{nin}$

Дыферэнцыруючы гэтую роўнасць па часе, атрымаем

$\mathbf {v} _{in}=\mathbf {v} _{0}+{\frac {d(\mathbf {r} _{nin})}{dt}}=\mathbf {v} _{0}+{\frac {d(x_{nin}\mathbf {i} _{nin})}{dt}}+{\frac {d(y_{nin}\mathbf {j} _{nin})}{dt}}+{\frac {d(z_{nin}\mathbf {k} _{nin})}{dt}}=$$\mathbf {v} _{in}=\mathbf {v} _{0}+{\frac {d(\mathbf {r} _{nin})}{dt}}=\mathbf {v} _{0}+{\frac {d(x_{nin}\mathbf {i} _{nin})}{dt}}+{\frac {d(y_{nin}\mathbf {j} _{nin})}{dt}}+{\frac {d(z_{nin}\mathbf {k} _{nin})}{dt}}=$

$=\mathbf {v} _{0}+x_{nin}{\frac {d\mathbf {i} _{nin}}{dt}}+{\frac {dx_{nin}}{dt}}\mathbf {i} _{nin}+y_{nin}{\frac {d\mathbf {j} _{nin}}{dt}}+{\frac {dy_{nin}}{dt}}\mathbf {j} _{nin}+z_{nin}{\frac {d\mathbf {k} _{nin}}{dt}}+{\frac {dz_{nin}}{dt}}\mathbf {k} _{nin}=$$=\mathbf {v} _{0}+x_{nin}{\frac {d\mathbf {i} _{nin}}{dt}}+{\frac {dx_{nin}}{dt}}\mathbf {i} _{nin}+y_{nin}{\frac {d\mathbf {j} _{nin}}{dt}}+{\frac {dy_{nin}}{dt}}\mathbf {j} _{nin}+z_{nin}{\frac {d\mathbf {k} _{nin}}{dt}}+{\frac {dz_{nin}}{dt}}\mathbf {k} _{nin}=$

$=\mathbf {v} _{0}+x_{nin}\mathbf {\omega } _{nin}\times \mathbf {i} _{nin}+v_{x_{nin}}\mathbf {i} _{nin}+y_{nin}\mathbf {\omega } _{nin}\times \mathbf {j} _{nin}+v_{y_{nin}}\mathbf {j} _{nin}+z_{nin}\mathbf {\omega } \times \mathbf {k} _{nin}+v_{z_{nin}}\mathbf {k} _{nin}=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {v} _{nin}$$=\mathbf {v} _{0}+x_{nin}\mathbf {\omega } _{nin}\times \mathbf {i} _{nin}+v_{x_{nin}}\mathbf {i} _{nin}+y_{nin}\mathbf {\omega } _{nin}\times \mathbf {j} _{nin}+v_{y_{nin}}\mathbf {j} _{nin}+z_{nin}\mathbf {\omega } \times \mathbf {k} _{nin}+v_{z_{nin}}\mathbf {k} _{nin}=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {v} _{nin}$

Пасля паўторнага дыферэнцыравання, будзем мець:

$\mathbf {a} _{in}=\mathbf {a} _{0}+{\frac {d(\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})}{dt}}+{\frac {d\mathbf {v} _{nin}}{dt}}=\mathbf {a} _{0}+{\frac {d\mathbf {\omega } _{0}}{dt}}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times {\frac {d\mathbf {r} _{nin}}{dt}}+\mathbf {a} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}=$$\mathbf {a} _{in}=\mathbf {a} _{0}+{\frac {d(\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})}{dt}}+{\frac {d\mathbf {v} _{nin}}{dt}}=\mathbf {a} _{0}+{\frac {d\mathbf {\omega } _{0}}{dt}}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times {\frac {d\mathbf {r} _{nin}}{dt}}+\mathbf {a} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}=$

$=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {v} _{nin})+\mathbf {a} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})+2\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}+\mathbf {a} _{nin}$$=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {v} _{nin})+\mathbf {a} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})+2\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}+\mathbf {a} _{nin}$

Калі памножыць абедзве часткі роўнасці на масу цела, атрымаем

$m\mathbf {a} _{in}=m\mathbf {a} _{0}+m\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+m\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})+2m\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}+m\mathbf {a} _{nin}$$m\mathbf {a} _{in}=m\mathbf {a} _{0}+m\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}+m\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})+2m\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}+m\mathbf {a} _{nin}$

Згодна другому закону Ньютана, у інерцыяльнай сістэме $m\mathbf {a} =\mathbf {F}$$m\mathbf {a} =\mathbf {F}$. Таму

$m\mathbf {a} _{nin}=\mathbf {F} -m\mathbf {a} _{0}-m\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}-m\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})-2m\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}$$m\mathbf {a} _{nin}=\mathbf {F} -m\mathbf {a} _{0}-m\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}-m\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})-2m\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}$

Кожнае з складаемых у правай частцы роўнасці можна лічыць сілай:

• $\mathbf {F} _{in}=-m\mathbf {a} _{0}$$\mathbf {F} _{in}=-m\mathbf {a} _{0}$ - паступальная сіла інерцыі, якая абумоўлена паступальным рухам неінерцыяльнай сістэмы адносна інерцыяльнай

• $\mathbf {F} _{cf}=-m\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}-m\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})$$\mathbf {F} _{cf}=-m\mathbf {\epsilon } _{0}\times \mathbf {r} _{nin}-m\mathbf {\omega } _{0}\times (\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {r} _{nin})$ - цэнтрабежная сіла, якая абумоўлена вярчальнам рухам неінерцыяльнай сістэмы адносна інерцыяльнай

• $\mathbf {F} _{cor}=-2m\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}$$\mathbf {F} _{cor}=-2m\mathbf {\omega } _{0}\times \mathbf {v} _{nin}$ - сіла Карыёліса, якая абумоўлена перамяшчэннем цела адносна восі вярчэння