Рад Фур’е

Вынікі дадавання членаў рада Фур'е пры прыбліжэнні разрыўнай кавалкава-пастаяннай функцыі

Рад Фур'е — прадстаўленне адвольнай функцыі $f$ з перыядам $\tau$ у выглядзе рада

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(2\pi {\frac {k}{\tau }}x+\theta _{k}\right)$

Гэты рад можна таксама запісаць у відзе

$f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{i2\pi {\frac {k}{\tau }}x},$

дзе

$A_{k}$ — амплітуда k-га гарманічнага вагання,

$2\pi {\frac {k}{\tau }}=k\omega$ — кругавая частата гарманічнага вагання,

$\theta _{k}$ — пачатковая фаза k-га вагання,

${\hat {f}}_{k}$ — k-я камплексная амплітуда.

У больш агульным выглядзе радам Фур'е элемента гільбертавай прасторы называецца раскладанне гэтага элемента па артаганальнаму базісу. Існуе мноства сістэм артаганальных функцый: Уолша, Лагера, Кацельнікава і інш.

Раскладанне функцыі ў рад Фур'е з'яўляецца магутным інструментам пры рашэнні самых розных задач дзякуючы таму, што рад Фур'е празрыстым чынам паводзіць сябе пры дыферэнцаванні, інтэграванні, зруху функцыі па аргументу і згортцы функцый.

Рад названы так у гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Трыганаметрычны рад Фур'е

Трыганаметрычным радам Фур'е функцыі $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$ называюць функцыянальны рад віду

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$

(1)

дзе

$a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,$

Лікі $a_{0}$, $a_{n}$ і $b_{n}$ ($n=1,2,\ldots$) называюцца каэфіцыентамі Фур'е функцыі $f$. Формулы для іх можна растлумачыць наступным чынам. Дапусцім, трэба прадставіць функцыю $f\in L_{2}([0,2\pi ])$ у выглядзе рада (1), і трэба вызначыць невядомыя каэфіцыенты $a_{0}$, $a_{n}$ і $b_{n}$. Калі дамножыць правую частку (1) на $\cos(kx)$ і праінтэграваць па прамежку $[-\pi ,\pi ]$, дзякуючы артаганальнасці ў правай частцы ўсе складнікі будуць роўныя нулю, акрамя аднаго. З атрыманай роўнасці лёгка выражаецца каэфіцыент $a_{k}$. Гэтак жа для $b_{k}$.

Рад (1) збягаецца к функцыі $f$ у прасторы $L_{2}([-\pi ,\pi ])$. Іншымі словамі, калі абазначыць праз $S_{k}(x)$ частковыя сумы рада (1):

$S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),$

то іх сярэдняе квадратовае адхіленне ад функцыі $f$ будзе імкнуцца к нулю:

$\lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0.$

Нягледзячы на збежнасць стандартнага адхілення, рад Фур'е функцыі, увогуле кажучы, не абавязан збягацца к ёй папунктава.

Часта пры рабоце з радамі Фур'е бывае зручней у якасці базіса выкарыстоўваць замест сінусаў і косінусаў экспаненты ўяўнага аргумента. Разгледзім прастору $L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ камплесназначных функцый са скалярным здабыткам

$\langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx$.

Таксама разгледзім сістэму функцый

$\varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),\quad k\in \mathbb {Z} .$

Як і раней, гэтыя функцыі з'яўляюцца папарна артаганальнымі і ўтвараюць поўную сістэму, і такім чынам, любую функцыю $f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ можна раскласці па іх у рад Фур'е:

$f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx},$

дзе рад у правай частцы збягаецца к $f$ па норме ў $f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} ).$ Тут

${\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx.$

Каэфіцыенты ${\hat {f}}_{k}$ звязаны з класічнымі каэфіцыентамі Фур'е па наступных формулах:

${\hat {f}}_{k}={\begin{cases}(a_{k}-ib_{k})/2,&k>0,\\a_{0}/2,&k=0,\\(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,&k<0.\end{cases}}$

$a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},\quad k>0,$

$b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),\quad k>0.$

• Камплексная функцыя рэчаіснай зменнай раскладаецца ў такі ж рад Фур'е па ўяўных экспанентах, як і рэчаісная, але ў адрозненне ад апошняй, у яе раскладанні ${\hat {f}}_{k}$ і ${\hat {f}}_{-k}$ не будуць, наогул кажучы, камплексна спалучанымі.

Абагульненні

Рады Фур'е ў гільбертавай прасторы

Апісаную вышэй канструкцыю можна абагульніць з выпадка прасторы $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ з трыганаметрычнай сістэмай на адвольную гільбертаву прастору. Няхай зададзеныя артаганальная сістэма $\{\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...\}$ ў гільбертавай прасторы $R$ і $f$ — адвольны элемент з $R$. Дапусцім, трэба прадставіць $f$ у выглядзе (бесканечнай) лінейнай камбінацыі элементаў $\{\varphi _{k}\}$:

$f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.$

Дамножым гэты выраз на $\varphi _{k}$. З улікам артаганальнасці сістэмы функцый $\{\varphi _{k}\}$ усе складнікі рада аказваюцца нулямі, акрамя складніка пры n = k:

$(f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.$

Паслядоўнасць лікаў

$c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2}}}$

называецца каардынатамі, ці каэфіцыентамі Фур'е элемента $f$ па сістэме $\{\varphi _{k}\}$, а рад

$\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}$

называецца радам Фур'е элемента $f$ па артаганальнай сістэме $\{\varphi _{k}\}$.

Рад Фур'е любога элемента $f$ па любой артаганальнай сістэме збягаецца ў прасторы $R$, але яго сума не абавязкова роўная $f$. Для ортанармаванай сістэмы ${\varphi _{k}}$ у сепарабельнай гільбертавай прасторы наступныя ўмовы раўназначныя:

• сістэма з'яўляецца базісам, г. зн. сума рада Фур'е любога элемента роўная гэтаму элементу.
• сістэма з'яўляецца поўнай, г. зн. у $R$ не існуе ненулявога элемента, артаганальнага ўсім элементам $\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n},\dots$ адначасова.
• сістэма з'яўляецца замкнутай, г. зн. для любога $f\in R$ справядліва роўнасць Парсеваля

  $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}=\|f\|^{2}.$

• лінейныя камбінацыі элементаў $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$ шчыльныя ў прасторы $R$.

Калі гэтыя ўмовы не выконваюцца, то сума рада Фур'е элемента $f$ роўная яго артаганальнай праекцыі на замыканне лінейнай абалонкі элементаў $\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n},\dots .$ У гэтым выпадку замест роўнасці Парсеваля справядліва няроўнасць Беселя:

$\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leq \|f\|^{2}.$

Прыклады  

Трыганаметрычныя функцыі $\sin(kx)$, $\cos(kx)$ утвараюць базіс гільбертавай прасторы $L_{2}[-\pi ,\pi ]$. Калі мы разгледзім толькі косінусы ці толькі сінусы, то такая сістэма больш не будзе поўнай. Замыканне лінейнай абалонкі функцый $\cos(kx)$ — гэта ўсе цотныя функцыі з $L_{2}$, а замыканне лінейнай абалонкі функцый $\sin(kx)$ — усе няцотныя функцыі. Вынікам раскладання функцыі $f$ у рады Фур'е па гэтых сістэмах будуць адпаведна цотная і няцотная часткі функцыі $f$:

$\sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},$

$\sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.$

Яшчэ цікавейшая сітуацыя ўзнікае пры разглядзе сістэмы $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty }$. Гэта сістэма зноў не будзе поўнаю. Замыканне яе лінейнай абалонкі — прастора Хардзі $H_{2}$. Элементы гэтай прасторы — тыя і толькі тыя функцыі $f\in L_{2}$, што $f(t)=g(e^{it})$, дзе $g$ — гранічныя значэнні некаторай функцыі, аналітычнай у крузе $|z|<1$ на мяжы гэтага круга

Дваістасць Пантрагіна

Асноўны артыкул: Дваістасць Пантрагіна

Пры абагульненні радоў Фур'е на выпадак гільбертавых прастор губляюцца ўласцівасці, якія звязваюць рады Фур'е са згорткаю — тое, што каэфіцыенты Фур'е згорткі функцый з'яўляюцца пачленнымі здабыткамі іх каэфіцыентаў Фур'е, і наадварот, каэфіцыенты Фур'е здабытку прадстаўляюцца згорткаю каэфіцыентаў Фур'е сумножнікаў. Гэтыя ўласцівасці ключавыя для прыкладанняў тэорыі Фур'е да рашэння дыферэнцыяльных, інтэгральных і іншых функцыянальных ураўненняў. Таму найбольш цікавымі з'яўляюцца такія абагульненні радоў Фур'е, для якіх гэтыя ўласцівасці захоўваюцца. Такім абагульненнем з'яўляецца тэорыя дваістасці Пантрагіна. Яна разглядае функцыі, зададзеныя на лакальна-кампактных абелевых групах. Аналагам рада Фур'е такой функцыі будзе функцыя, зададзеная на дваістай групе.

Збежнасць рада Фур'е

Збежнасць рада Фур'е

Агляд вынікаў аб збежнасці рада Фур'е

Абазначым праз $S_{N}(f,x)$ частковыя сумы рада Фур'е функцыі $f(x)$:

$S_{N}(f,x):=\sum \limits _{k=-N}^{N}{\hat {f}}_{k}e^{ikx}.$

Далей абмяркоўваецца збежнасць паслядоўнасці функцый $S_{N}(f,x)$ к функцыі $f(x)$ у розных сэнсах. Функцыя $f$ лічыцца $2\pi$-перыядычнаю (калі яна зададзена толькі на прамежку $[-\pi ,\pi ]$, яе можна перыядычна працягнуць).

• Калі $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$, то паслядоўнасць $S_{N}(f,x)$ збягаецца к функцыі $f(x)$ у сэнсе $L_{2}$. Акрамя таго, $S_{N}(f,x)$ з'яўляюцца найлепшым (у сэнсе адлегласці ў $L_{2}$) прыбліжэннем функцыі $f$ трыганаметрычным мнагачленам ступені не больш за $N$.
• Збежнасць радоў Фур'е ў зададзеным пункце $x_{0}$ — лакальная ўласцівасць, г. зн. калі функцыі $f$ і $g$ супадаюць у некаторым наваколлі $x_{0}$, то паслядоўнасці $S_{N}(f,x_{0})$ і $S_{N}(g,x_{0})$ альбо адначасова разбягаюцца, альбо адначасова збягаюцца, і ў гэтым выпадку іх граніцы супадаюць.
• Калі функцыя $f$ дыферэнцавальная ў пункце $x_{0}$, то яе рад Фур'е ў гэтым пункце збягаецца к $f(x_{0})$. Больш дакладныя дастатковыя ўмовы ў тэрмінах гладкасці функцыі $f$ задаюцца прыкметаю Дзіні.
• Функцыя, непарыўная ў пункце $x_{0}$, можа мець разбежны ў ёй рад Фур'е. Але, калі ён збягаецца, то абавязкова к $f(x_{0})$. Гэта вынікае з таго, што для непарыўнай у $x_{0}$ функцыі $f$ паслядоўнасць $S_{N}(f,x_{0})$ збягаецца па Чэзара к $f(x_{0})$.
• Калі функцыя $f$ разрыўная ў пункце $x_{0}$, але мае граніцы ў гэтым пункце справа і злева $f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0)$, то пры некаторых дадатковых умовах $S_{N}(f,x_{0})$ збягаюцца к $(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0))/2$. Падрабязней гл. мадыфікаваную прыкмету Дзіні.
• Тэарэма Карлесана: калі $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$, то яе рад Фур'е збягаецца к ёй амаль усюды. Гэта верна і калі $f\in L_{p}([-\pi ,\pi ]),p>1$. Аднак, існуюць функцыі з $L_{1}([-\pi ,\pi ])$, чый рад Фур'е разбягаецца ва ўсіх пунктах (тэарэма Калмагорава).
• Возьмем пункт $x_{0}\in (-\pi ,\pi )$. Тады мноства ўсіх непарыўных функцый, чый рад Фур'е збягаецца ў гэтым пункце, з'яўляецца мноствам першай катэгорыі ў прасторы $C([-\pi ,\pi ])$. У некаторым сэнсе гэта азначае, што «тыповая» непарыўная функцыя мае разбежны рад Фур'е.

Спаданне каэфіцыентаў Фур'е і аналітычнасць функцыі

Існуе фундаментальная сувязь паміж аналітычнасцю функцыі і скорасцю спадання яе каэфіцыентаў Фур'е. Чым «лепшая» функцыя, тым скарэй яе каэфіцыенты імкнуцца да нуля, і наадварот. Ступеннае спаданне каэфіцыентаў Фур'е ўласцівае функцыям класа $C^{(k)}$, а экспаненцыяльнае — аналітычным функцыям. Прыклады такой сувязі:

• Каэфіцыенты Фур'е любой інтэгравальнай функцыі імкнуцца да нуля (лема Рымана — Лебега).
• Калі функцыя $f$ належыць класу $C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$, г. зн. дыферэнцавальная k разоў і яе k-я вытворная непарыўная, то ${\hat {f}}_{n}=o\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)$
• Калі рад $\sum n^{\alpha }{\hat {f}}_{n}$ збягаецца абсалютна, то $f\in C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$ пры ўсіх $k<\alpha$.
• Калі функцыя належыць класу Гёльдэра з паказчыкам $\alpha >1/2$, та рад $\sum {\hat {f}}_{n}$ збягаецца абсалютна (тэарэма Бернштэйна).
• Калі ${\hat {f}}_{n}=O(a^{n}),0<a<1$, то функцыя $f$ з'яўляецца аналітычнаю. Справядліва і адваротнае.

Гл. таксама

• Пераўтварэнне Фур’е
• Хуткае пераўтварэнне Фур'е
• Трыганаметрычны рад
• Прыкмета Жардана
• Прыкмета Дзіні
• Лікавы рад
• АТС тэарэма

Літаратура

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.