Жарданава матрыца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Жарданава матрыца (нармальная жарданава форма) — адно з фундаментальных паняццяў лінейнай алгебры, якое мае вялікі лік прымяненняў у розных раздзелах матэматыкі і фізікі.

Жарданавай матрыцай называецца квадратная блокава-дыяганальная матрыца над полем \Bbb K, з блокамі выгляду

J_\lambda=\begin{pmatrix}
\lambda & 1       & 0             & \cdots & 0       & 0      \\
0           & \lambda & 1             & \cdots & 0       & 0      \\
0           & 0       & \lambda       & \ddots & 0       & 0      \\
\vdots   & \vdots  & \ddots     & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0           & 0       & 0             & \ddots & \lambda & 1      \\
0           & 0       & 0             & \cdots & 0       & \lambda \\\end{pmatrix},

пры гэтым кожны блок J_\lambda называецца жарданавай клеткай з уласным значэннем \lambda (уласныя значэнні ў розных блоках, наогул кажучы, могуць супадаць).

Згодна з тэарэмай аб жарданавай нармальнай форме, для адвольнай квадратнай матрыцы A над алгебраічна замкнёным полем \Bbb K (напрыклад, полем камплексных лікаў \Bbb K = \Bbb C) існуе квадратная нявыраджаная (гэта значыць адваротная, з вызначніком, які адрозніваецца ад нуля) матрыца C над \Bbb K, такая, што

J=C^{-1}A\,C

з'яўляецца жарданавай матрыцай. Пры гэтым J называецца жарданавай формай (або жарданавай нармальнай формай) матрыцы A. У гэтым выпадку таксама кажуць, што жарданава матрыца J ў поле \Bbb K падобная (або спалучаная) дадзенай матрыцы A. І наадварот, у сілу эквівалентных суадносін

A=CJC^{-1}

матрыца A падобная ў поле \Bbb K матрыцы J. Няцяжка паказаць, што ўведзеныя такім чынам адносіны падабенства з'яўляюцца адносінамі эквівалентнасці і разбіваюць мноства ўсіх квадратных матрыц зададзенага парадку над дадзеным полем на класы эквівалентнасці, якія не перасякаюцца. Жарданава форма матрыцы вызначана не адназначна, а з дакладнасцю да парадку жарданавых клетак. Дакладней, дзве жарданавыя матрыцы падобныя над \Bbb K ў тым і толькі ў тым выпадку, калі яны складзеныя з адных і тых жа жарданавых клетак і адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі размяшчэннем гэтых клетак на галоўнай дыяганалі.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Колькасць жарданавых клетак парадку n з уласным значэннем \lambda ў жарданавай форме матрыцы A можна вылічыць па формуле
  • c_n(\lambda)=
\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1}
-2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n}
+\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1},
дзе Iадзінкавая матрыца таго ж парадку, што і A, сімвал \operatorname{rank} пазначае ранг матрыцы, а \operatorname{rank} (A-\lambda I)^0, па вызначэнні, роўны парадку A. Вышэйпрыведзеная формула вынікае з роўнасці
\operatorname{rank}(A-\lambda I) = \operatorname{rank}(J-\lambda I).
  • У выпадку, калі поле \Bbb Kне з'яўляецца алгебраічна замкнёным, для таго каб матрыца A была падобная над \Bbb K некаторай жордановой матрыцы, неабходна і дастаткова, каб поле \Bbb K змяшчала ўсе карані характарыстычнага мнагачлена матрыцы A.
  • У эрмітавай матрыцы ўсе жарданавы клеткі маюць памер 1.
  • З'яўляецца матрыцай лінейнага аператара ў кананічным базісе.
  • Жарданавы формы двух падобных матрыц супадаюць з дакладнасцю да парадку клетак.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Такая форма матрыцы разглядалася адным з першых Жарданам.

Варыяцыі і абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

  • Над полем рэчаісных лікаў уласныя значэнні матрыцы (гэта значыць карані характарыстычнага мнагачлена) могуць быць як рэчаіснымі, так і камплекснымі, прычым камплексныя ўласныя значэння, калі яны ёсць, прысутнічаюць парамі разам са сваімі камплексна спалучанымі: \lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta, дзе \alpha и \beta — рэчаісныя лікі, \beta \neq 0. У рэчаіснай прасторы такой пары комплексных ўласных значэнняў адказвае блок J_{\lambda_{1,2}}, і да згаданага вышэй выгляду жарданавых матрыц дадаюцца матрыцы, якія змяшчаюць таксама блокі выгляду J_{\lambda_{1,2}}, якія адказваюць парам камплексных уласных значэнняў:[1][2]
J_{\lambda_{1,2}}= \left( \begin{array}{ccccccccccc}
\alpha      & \beta   & 1          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
-\beta      & \alpha  & 0          & 1             & 0            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
0           & 0       & \alpha     & \beta         & 1            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
0           & 0       & -\beta     & \alpha        & 0            & 1           & \ddots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & \alpha  & \beta   & 1       & 0\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & -\beta  & \alpha  & 0       & 1\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0 & 0       & \alpha  & \beta\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0 & 0       & -\beta  & \alpha\\
\end{array}\right).
  • Тэарэма аб жарданавай нармальнай форме з'яўляецца прыватным выпадкам тэарэмы аб структуры канечнаспароджаных модуляў над абласцямі галоўных ідэалаў. Сапраўды, класіфікацыя матрыц адпавядае класіфікацыі лінейных аператараў, а вектарныя прасторы над полем \Bbb K з фіксаваным лінейным аператарам біектыўна адпавядаюць модулям над кальцом мнагачлена \Bbb K [x] (множанне вектара на x задаецца як прымяненне лінейнага аператара) .
  • Акрамя жарданавай нармальнай формы, разглядаюць шэраг іншых тыпаў нармальных форм матрыцы (напрыклад, фробеніўсава нармальная форма). Да іх разгляду звяртаюцца, у прыватнасці, калі асноўнае поле не змяшчае ўсіх каранёў характарыстычнага мнагачлена дадзенай матрыцы.

Зноскі

  1. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  2. Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — м: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — м: Наука, 1966. — 576 с.
  • Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — м: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
  • В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.