Неўласцівы інтэграл

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Неўласцівы інтэграл першага роду: інтэграл трэба вызначыць на неабмежаванай вобласці.
Неўласцівы інтэграл другога роду: падынтэгральная функцыя можа быць неабмежаваная на вобласці інтэгравання.
Раздзелы ў матэматычным аналізе
Фундаментальная тэарэма
Граніца функцыі
Непарыўнасць
Тэарэма Лагранжа

У матэматычным аналізе, неўласцівы інтэграл — інтэграл ад неабмежаванай функцыі ці па неабмежаванаму мноству. З'яўляецца пашырэннем паняцця Рыманава інтэграла і абазначаецца як звычайны вызначаны інтэграл.

Неўласцівы інтэграл вызначаецца як граніца паслядоўнасці інтэгралаў Рымана пры імкненні іх меж інтэгравання (адной ці абедзвюх) да бесканечнасці ці асаблівых пунктаў падынтэгральнай функцыі. Такім чынам, напрыклад, калі правая мяжа інтэгравання — дадатная бесканечнасць:

\int\limits_a^{+\infty} f(x)\, dx = \lim_{b\to +\infty} \int\limits_a^b f(x)\, dx;

ці ў выпадку, калі функцыя неабмежаваная ў наваколлі левай мяжы інтэгравання:

\int\limits_a^b f(x)\, dx = \lim_{c\to a+0} \int\limits_c^b f(x)\, dx.

Неўласцівыя інтэгралы па неабмежаваных абласцях называюцца неўласцівымі інтэграламі першага роду. Напрыклад, такія інтэгралы:


\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\, dx, \qquad
\int\limits_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}.

Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый называюцца неўласцівымі інтэграламі другога роду. Напрыклад,


\int\limits_5^{10} \frac{dx}{\sqrt{x-5}}, \qquad
\int\limits_0^1 \ln x\, dx.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Кудрявцев Л. Д. Несобственный интеграл // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия. — Т. 3.