Тэарэма Беры — Эсеена

У тэорыі імавернасцей цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што пры пэўных умовах размеркаванне імавернасцей сярэдняга значэння выпадковай выбаркі збягаецца к нармальнаму размеркаванню пры нарастанні аб'ёму выбаркі да бесканечнасці. Пры больш моцных дапушчэннях, тэарэма Беры — Эсеена (або няроўнасць Беры — Эсеена) колькасна ацэньвае скорасць, з якою гэта збежнасць адбываецца, даючы ацэнку найбольшай пагрэшнасці прыбліжэння сапраўднага размеркавання нармальным. Прыбліжэнне ацэньваецца па адлегласці Калмагорава — Смірнова. У выпадку незалежных выбарак скорасць збежнасці мае парадак n^−1/2, дзе n — аб'ём выбаркі, а пастаянная ацэньваецца праз трэція абсалютныя нарміраваныя моманты.

Сцвярджэнне тэарэмы

Фармулёўкі тэарэмы могуць адрознівацца, бо яна была адкрыта незалежна двума матэматыкамі: Эндру Беры (у 1941) і Карлам-Густавам Эсеенам (1942), які затым, разам з іншымі аўтарамі, некалькі разоў паляпшаў тэарэму на працягу наступных дзесяцігоддзяў.

Аднолькава размеркаваныя складнікі

Адзін з варыянтаў, які ў нечым ахвяруе агульнасцю дзеля яснасці, гучыць наступным чынам:

Няхай X₁, X₂, …, — незалежныя і аднолькава размеркаваныя выпадковыя велічыні з E(X_i) = 0, E(X2i) = σ² > 0, і E(|X_i|³) = ρ < ∞. Вызначым выбарачнае сярэдняе:

$Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}.$

Няхай F_n ёсць функцыя размеркавання велічыні

${Y_{n}{\sqrt {n}} \over {\sigma }},$

а Φ ёсць функцыя стандартнага нармальнага размеркавання.

Тады існуе дадатная пастаянная C такая, што для ўсіх x і n справядліва няроўнасць

$\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {C\rho \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}}.\ \ \ \ (1)$

Ілюстрацыя рознасці паміж упамянутымі ў тэарэме функцыямі размеркавання.

Гэта значыць: зададзена паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з нулявым спадзяваннем і дадатнаю дысперсіяй, і, акрамя таго, з канечным трэцім абсалютным момантам. Тады функцыі размеркавання ўнармаванага выбарачнага сярэдняга і стандартнай нармальнай велічыні адрозніваюцца не больш чым на вызначаную велічыню. Варта заўважыць, што хібнасць прыбліжэння для ўсіх n абмежавана велічынёю парадку n^−1/2.

На працягу гадоў вылічаныя значэнні пастаяннай C прыкметна панізіліся са значэння 7.59, атрыманага Эсеенам, да 0.7882, атрыманага ван-Беекам, пасля 0.7655, тады 0.7056, затым 0.7005, потым 0.5894, пазней 0.5129, затым 0.4785. Падрабязны агляд можна знайсці ў артыкулах. Найлепшая ацэнка на 2012 год, C < 0.4748, вынікае з няроўнасці

$\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.33554(\rho +0.415\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}},$

даказанай Шаўцовай, пры ўліку суадносін σ³ ≤ ρ і 0.33554 · 1.415 < 0.4748. Аднак, калі ρ ≥ 1.286σ³, тады ацэнка

$\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.3328(\rho +0.429\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}},$

якая таксама даказана Шаўцовай, дае яшчэ стражэйшую верхнюю ацэнку.

Эсеен атрымаў ніжнюю мяжу для пастаяннай

$C\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}\approx 0.40973\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}+0.01079.$

Рознаразмеркаваныя складнікі

Няхай X₁, X₂, …, — незалежныя выпадковыя велічыні з E(X_i) = 0, E(X_i²) = σ_i² > 0, і E(|X_i|³) = ρ_i < ∞. Таксама няхай

$S_{n}={X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \over {\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}}}}$

унармаваная n-я частковая сума. Абазначым F_n функцыю размеркавання велічыні S_n, а сімвалам Φ — функцыю стандартнага нармальнага размеркавання. Дзеля зручнасці абазначым

${\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},...,\sigma _{n}),\ {\vec {\rho }}=(\rho _{1},...,\rho _{n}).$

У 1941 Эндру Беры даказаў, што для ўсіх n існуе абсалютная пастаянная C₁, такая што

$\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C_{1}\cdot \psi _{1},\ \ \ \ (2)$

дзе

$\psi _{1}=\psi _{1}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}{\Big )}^{-1/2}\cdot \max _{1\leq i\leq n}{\frac {\rho _{i}}{\sigma _{i}^{2}}}.$

Незалежна, у 1942 годзе, Карл Густаў Эсеен даказаў, што для любых n існуе абсалютная пастаянная C₀, такая што

$\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C_{0}\cdot \psi _{0},\ \ \ \ (3)$

дзе

$\psi _{0}=\psi _{0}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}{\Big )}^{-3/2}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}\rho _{i}.$

Лёгка пераканацца, што ψ₀≤ψ₁. Таму няроўнасць (3) прынята называць няроўнасцю Беры-Эсеена, велічыня ψ₀ называецца дробам Ляпунова трэцяга парадку. Больш таго, у выпадку, калі ўсе складнікі X₁,… X_n размеркаваны аднолькава

$\psi _{0}=\psi _{1}={\frac {\rho _{1}}{\sigma _{1}^{3}{\sqrt {n}}}},$

ацэнкі з няроўнасцей (1), (2) і (3) супадаюць.

Адносна C₀, відавочна, ніжняя мяжа, устаноўленая Эсеенам, застаецца ў сіле:

$C_{0}\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}=0.4097\ldots .$

Верхнія межы для C₀ пазней былі паніжаны ад зыходнай ацэнкі 7.59 Эсеена да (тут пералічваюцца толькі нядаўнія вынікі) 0.9051 Залатарова, 0.7975 ван-Беека, 0.7915 Шыганава, 0.6379 і 0.5606 Цюрына. На 2011 год найлепшая ацэнка 0.5600 атрымана Шаўцовай.

Гл. таксама

• Цэнтральная гранічная тэарэма
• Няроўнасць Чарнова
• Рад Эджворта

Літаратура

• Berry, Andrew C. (1941). "The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates". Transactions of the American Mathematical Society. 49 (1): 122–136. doi:10.1090/S0002-9947-1941-0003498-3. JSTOR 1990053. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Durrett, Richard (1991). Probability: Theory and Examples. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13206-5.
• Esseen, Carl-Gustav (1942). "On the Liapunoff limit of error in the theory of probability". Arkiv för matematik, astronomi och fysik. A28: 1–19. ISSN 0365-4133. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Esseen, Carl-Gustav (1956). "A moment inequality with an application to the central limit theorem". Skand. Aktuarietidskr. 39: 160–170. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Feller, William (1972). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25709-5.
• Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G. (2010). "On the upper bound for the absolute constant in the Berry–Esseen inequality". Theory of Probability and its Applications. 54 (4): 638–658. doi:10.1137/S0040585X97984449. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Korolev, Victor; Shevtsova, Irina (2010). "An improvement of the Berry–Esseen inequality with applications to Poisson and mixed Poisson random sums". Scandinavian Actuarial Journal: 1–25. doi:10.1080/03461238.2010.485370. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Manoukian, Edward B. (1986). Modern Concepts and Theorems of Mathematical Statistics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96186-0.
• Serfling, Robert J. (1980). Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.
• Shevtsova, I. G. (2008). "On the absolute constant in the Berry–Esseen inequality". The Collection of Papers of Young Scientists of the Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics (5): 101–110. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Shevtsova, I. G. (2007). "Sharpening of the upper bound of the absolute constant in the Berry–Esseen inequality". Theory of Probability and its Applications. 51 (3): 549–553. doi:10.1137/S0040585X97982591. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Shevtsova, I. G. (2010). "An Improvement of Convergence Rate Estimates in the Lyapunov Theorem". Doklady Mathematics. 82 (3): 862–864. doi:10.1134/S1064562410060062. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Shevtsova, Irina (2011). "On the absolute constants in the Berry Esseen type inequalities for identically distributed summands". arXiv:1111.6554 [math.PR]. {{cite arxiv}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Shiganov, I.S. (1986). "Refinement of the upper bound of a constant in the remainder term of the central limit theorem". Journal of Soviet mathematics. 35 (3): 109–115. doi:10.1007/BF01121471. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Tyurin, I.S. (2009). "On the accuracy of the Gaussian approximation". Doklady Mathematics. 80 (3): 840–843. doi:10.1134/S1064562409060155. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Tyurin, I.S. (2010). "An improvement of upper estimates of the constants in the Lyapunov theorem". Russian Mathematical Surveys. 65 (3(393)): 201–202. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• van Beek, P. (1972). "An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry–Esseen inequality". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. 23 (3): 187–196. doi:10.1007/BF00536558. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)
• Zolotarev, V. M. (1967). "A sharpening of the inequality of Berry–Esseen". Z. Wahrsch. Verw. Geb. 8 (4): 332–342. doi:10.1007/BF00531598. {{cite journal}}: Няправільны |ref=harv (даведка)

Спасылкі

• Hazewinkel, Michiel, рэд. (2001). "Berry-Esseen inequality". Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.