Цэнтральная гранічная тэарэма

Цэнтра́льная грані́чная тэарэма (Ц. Г. Т.) — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.

Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя гранічныя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.

Класічная Ц. Г. Т

Няхай X₁, ..., X_n, ... — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ². Няхай таксама

$S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}.$

Тады

${\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \infty ,$

дзе $N(0,1)$ — нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.

Заўвагі

Абазначыўшы сімвалам ${\bar {X}}$ выбарачнае сярэдняе першых $n$ велічынь:

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i},$

вынік цэнтральнай гранічнай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:

${\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \infty$.

Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.

• Кажучы прасцей, класічная цэнтральная гранічная тэарэма сцвярджае, што сума $n$ незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да $N(n\mu ,n\sigma ^{2}).$ Ці, што тое самае, ${\bar {X}}$ мае размеркаванне блізкае да $N(\mu ,\sigma ^{2}/n).$
• Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы $Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}$, атрымліваем $F_{Z_{n}}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb {R}$, дзе $\Phi (x)$ — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.
• Цэнтральная гранічная тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
• Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь X_i можна вызначыць шчыльнасць).

Лакальная Ц. Г. Т.

У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь $\{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне $Z_{n}$ таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,

$f_{Z_{n}}(x)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ пры $n\to \infty$,

дзе $f_{Z_{n}}(x)$ — шчыльнасць выпадковае велічыні $Z_{n}$, а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.

Абагульненні

Вынік класічнай цэнтральнай гранічнай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.

Ц. Г. Т. Ляпунова

Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні {X_i} маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μ_i і дысперсіі σ2i і абсалютныя моманты E[|X_i − μ_i|^2+δ]. Няхай

$B_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2},$

$r_{n}^{2+\delta }=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[|X_{i}-\mu _{i}|^{2+\delta }\right].$

Няхай выконваецца умова Ляпунова:

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {r_{n}^{2+\delta }}{B_{n}^{2+\delta }}}=0.$

Тады

${\frac {1}{B_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \infty$.

Ц. Г. Т. Ліндэберга

Ліндэберг даказаў свой варыянт ЦГТ ў 1920-х гадах.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні X₁, ..., X_n, ... вызначаны на адной імавернаснай прасторы і маюць канечныя матэматычныя спадзяванні і дысперсіі:

$\mathbb {E} [X_{i}]=\mu _{i},\quad \mathrm {D} [X_{i}]=\sigma _{i}^{2}.$

Няхай

$B_{n}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}.$

І няхай выконваецца ўмова Ліндэберга: г. зн. для любога ε > 0

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{B_{n}^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}\int \limits _{|x-\mu _{i}|>\varepsilon B_{n}}(x-\mu _{i})^{2}\,dF_{i}(x)=0,$

дзе F_i(x) — функцыя размеркавання велічыні X_i .

Тады

${\frac {1}{B_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \infty$.

Заўвагі

• З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем

  $\mathbb {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}\mu _{i}.$

• Велічыні X_i незалежныя, таму

  $\mathrm {D} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}=B_{n}^{2}.$

• Умову Ліндэберга можна перапісаць у наступным відзе:

  $\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{B_{n}^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{i}-\mu _{i})^{2}\,\mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon B_{n}\}}\right]=0,$

  дзе $\mathbf {1} _{\{\dots \}}$ — індыкатарная функцыя.

Ц. Г. Т. для мартынгалаў

Няхай працэс $(X_{t})_{t\in \mathbb {N} }$ з'яўляецца мартынгалам з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх t

$\mathbb {E} \left[X_{t+1}-X_{t}\mid X_{1},\ldots ,X_{t}\right]=0,$

і існуе такая пастаянная C, што для ўсіх t амаль напэўна справядліва няроўнасць

$|X_{t+1}-X_{t}|\leq C.$

Будзем таксама лічыць, што $|X_{1}|\leq C.$

Няхай

$\sigma _{t}^{2}=\mathbb {E} \left[(X_{t}-X_{t-1})^{2}\mid X_{1},\ldots ,X_{t-1}\right],$

і рад з σ2i разбягаецца з імавернасцю 1:

$\sum _{i=1}^{\infty }\sigma _{i}^{2}=\infty .$

Няхай

$\tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{t}^{2}\geq \nu \right\}.$

Тады

${\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}\to N(0,1)$ па размеркаванню пры $n\to \infty$.

Гл. таксама

• Закон вялікіх лікаў
• Закон паўторнага лагарыфма
• Тэарэма Беры — Эсеена
• Тэарэма Эрдзёша — Каца

Літаратура

• Прохоров Ю. В. Центральная предельная теорема // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 5.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
• Вентцель Е. С. Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.
• Хинчин А. Я. Основные законы теории вероятностей. — М.: ГТТИ, 1932. — 576 с.
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure (Third ed.). John Wiley & sons. ISBN 0-471-00710-2. 

Спасылкі

• Предельные теоремы теории вероятностей (руск.)