Цэнтральная гранічная тэарэма

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Цэнтра́льная грані́чная тэарэма (Ц. Г. Т.) — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.

Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя гранічныя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.

Класічная Ц. Г. Т[правіць | правіць зыходнік]

Няхай X1, ..., Xn, ... — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ2. Няхай таксама

Тады[1]

па размеркаванню пры

дзе нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.

Заўвагі

Абазначыўшы сімвалам выбарачнае сярэдняе першых велічынь:

вынік цэнтральнай гранічнай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:

па размеркаванню пры .

Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.

  • Кажучы прасцей, класічная цэнтральная гранічная тэарэма сцвярджае, што сума незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да Ці, што тое самае, мае размеркаванне блізкае да
  • Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы , атрымліваем , дзе — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.
  • Цэнтральная гранічная тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
  • Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь Xi можна вызначыць шчыльнасць).

Лакальная Ц. Г. Т.[правіць | правіць зыходнік]

У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,

пры ,

дзе — шчыльнасць выпадковае велічыні , а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Вынік класічнай цэнтральнай гранічнай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.

Ц. Г. Т. Ляпунова[правіць | правіць зыходнік]

Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні {Xi} маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μi і дысперсіі σ2i і абсалютныя моманты E[|Xi − μi|2+δ]. Няхай

Няхай выконваецца умова Ляпунова:

Тады[1]

па размеркаванню пры .

Ц. Г. Т. Ліндэберга[правіць | правіць зыходнік]

Ліндэберг даказаў свой варыянт ЦГТ ў 1920-х гадах.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні X1, ..., Xn, ... вызначаны на адной імавернаснай прасторы і маюць канечныя матэматычныя спадзяванні і дысперсіі:

Няхай

І няхай выконваецца ўмова Ліндэберга: г. зн. для любога ε > 0

дзе Fi(x)функцыя размеркавання велічыні Xi .

Тады[2]

па размеркаванню пры .
Заўвагі
  • З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем
  • Велічыні Xi незалежныя, таму
  • Умову Ліндэберга можна перапісаць у наступным відзе:
    дзе індыкатарная функцыя(англ.) бел..

Ц. Г. Т. для мартынгалаў[правіць | правіць зыходнік]

Няхай працэс з'яўляецца мартынгалам(англ.) бел. з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх t

і існуе такая пастаянная C, што для ўсіх t амаль напэўна(англ.) бел. справядліва няроўнасць

Будзем таксама лічыць, што

Няхай

і рад з σ2i разбягаецца з імавернасцю 1(англ.) бел.:

Няхай

Тады[3]

па размеркаванню пры .

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. 1,0 1,1 Гнеденко. Курс теории вероятностей. с. 241.
  2. Гнеденко. Курс теории вероятностей. с. 237.
  3. Billingsley (1995, Theorem 35.11, p. 476)

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Прохоров Ю. В. Центральная предельная теорема // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия. — Т. 5.
  • Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
  • Вентцель Е. С. Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей — М.: Наука, 1969. — 576 с.
  • Хинчин А. Я. Основные законы теории вероятностей — М.: ГТТИ, 1932. — 576 с.
  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure (Third ed.). John Wiley & sons. ISBN 0-471-00710-2. 

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]