Няроўнасць Кашы́ — Буняко́ўскага звязвае норму і скалярны здабытак вектараў у еўклідавай прасторы.
Гэта няроўнасць раўназначная няроўнасці трохвугольніка для нормы.
Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага часам, асабліва ў замежнай літаратуры, называюць няроўнасцю Шварца і няроўнасцю Кашы — Бунякоўскага — Шварца («няроўнасць КБШ»), хаця працы Шварца на гэту тэму паявіліся толькі праз 25 гадоў пасля прац Бунякоўскага[1].
Канечнамерны выпадак гэтай няроўнасці называецца няроўнасцю Кашы і быў даказан Агюстэнам Кашы ў 1821 годзе.
Няхай
- лінейная прастора са скалярным здабыткам
. Няхай
— норма, спароджаная скалярным здабыткам, г.зн.
. Тады для любых
маем:
![{\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cdbefaa367d6c3dc86969ce47922dfd1e69a368)
прычым роўнасць дасягаецца тады і толькі тады, калі вектары
і
прапарцыянальныя (калінеарныя).
У канечнамерным выпадку можна заўважыць, што
, дзе
— плошча паралелаграма, нацягнутага на вектары
і
.
У агульным выпадку:
![{\displaystyle \|x\|^{2}-{\frac {\langle x,\;y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}=\left\|x-{\frac {\langle x,\;y\rangle }{\|y\|^{2}}}y\right\|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bf11488d460503188997f925b40df0b01df3a4)
![{\displaystyle \left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f7ab92f100f88064949cbe9773cb8985a305e6)
дзе
абазначае камплекснае спалучэнне
.
![{\displaystyle \left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc0b9e1db284b1ff571a02fcc87154538f58a7a)
- У прасторы выпадковых велічынь з канечным другім момантам
няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:
![{\displaystyle \mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4921c72790a7eb678a352a807aa555f39b7e651)
- дзе
абазначае каварыяцыю, а
— дысперсію.
- Калі
то
справядліва наступнае
![{\displaystyle 0\leqslant \langle \lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle =\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54bb7a70d92a6060f93d360c18f3d625e40b998)
Значыць дыскрымінант мнагачлена
недадатны, г.зн.
![{\displaystyle D=(2\langle x,\;y\rangle )^{2}-4\langle x,\;x\rangle \langle y,\;y\rangle \leqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0178e34efeb1a916bd20986701e288ff10e88dfc)
Такім чынам,
![{\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abeb4dc2c69891309f5a538a4c6b9d254020933)
- Калі
то прадставім скалярны здабытак у трыганаметрычным выглядзе ![{\displaystyle \langle x,y\rangle =re^{i\phi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370f5a3f762b45ad11d3c9f8af356209d910b96b)
Вызначым вектар
Тады
і
![{\displaystyle \langle z,z\rangle =e^{-i\phi }\langle x,e^{-i\phi }x\rangle =e^{-i\phi }e^{i\phi }\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98d6058e934a90653f650dc652d376ba5ad0f4d)
Да скалярнага здабытку
прыменім вынік першага пункта доказу.
![{\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot \|y\|=\|x\|\cdot \|y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbf98afef4c9364057d6856c02ef71add589367)
- ↑ Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.