Дыскрымінант

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Дыскрыміна́нт[1] (лац.: discriminare — падзяляць, адрозніваць) або адро́знік[2] мнагачлена — лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча. Так, для мнагачлена

дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як

дзе − карані мнагачлена P(x) (г.зн. рашэнні ўраўнення P(x) = 0) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

Дыскрымінант (адрознік) алгебраічнага ураўнення P(x) = 0 вызначаюць як адрознік мнагачлена P(x).

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.

Дыскрымінант квадратнага ўраўнення[правіць | правіць зыходнік]

Карані квадратнага ўраўнення

з рэчаіснымі каэфіцыентамі a, b і c можна вылічыць па формуле

Колькасць рэчаісных рашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз

называюць дыскрымінантам квадратнага ўраўнення

і абазначаюць праз D.

  • Калі D > 0, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныя рашэнні і .
  • Калі D = 0, значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2).
  • Калі D < 0, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў . Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць рашэнні над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) рашэнні, якія з'яўляюцца камплексна спалучанымі адзін да аднаго.

Заўвага. Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

Азначэнне ў агульным выпадку[правіць | правіць зыходнік]

Няхай мнагачлен n-ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці R (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля). Няхай K ёсць поле раскладання мнагачлена (г.зн. у гэтым полі мнагачлен раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена вызначаюць як[1][3]

дзе карані мнагачлена , якія ляжаць у полі K.

Заўвага. Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці R існуе поле раскладання. Так, поле дзелей Q колца R з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца R. І ў якасці поля раскладання K можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля Q.

Уласцівасці дыскрымінанта[правіць | правіць зыходнік]

Сувязь з рэзультантам[правіць | правіць зыходнік]

Няхай поле K мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена над полем K можна вылічыць як рэзультант мнагачлена і яго вытворнай , падзелены на старшы каэфіцыент :[4]

Адсюль вынікае тоеснасць

Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагачлена[правіць | правіць зыходнік]

Рэзультант мнагачлена і яго вытворнай роўны вызначніку пэўнай (2n − 1)×(2n − 1)-матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра). Таму, калі поле K мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:

Пры вылічэнні вызначніка з першага слупка можна вынесці множнік , які скароціцца.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Адрознік квадратнага мнагачлена a x2 + b x + c роўны
  • Адрознік кубічнага мнагачлена a x3 + b x2 + c x + d раўняецца[3]
  • Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 роўны

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. 1,0 1,1 Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  2. Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
  3. 3,0 3,1 Винберг Э.Б. Курс алгебры — Москва: Факториал Пресс, 2002.
  4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры — Москва: Наука, 1968.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
  • Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]