Цэнтральная лімітавая тэарэма
Цэнтра́льная лімітавая тэарэма — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.
Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя лімітавыя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.
Класічная цэнтральная лімітавая тэарэма
[правіць | правіць зыходнік]Няхай X1, ..., Xn, ... — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ2. Няхай таксама
Тады[1]
- па размеркаванню пры
дзе — нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.
- Заўвагі
Абазначыўшы сімвалам выбарачнае сярэдняе першых велічынь:
вынік цэнтральнай лімітавай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:
- па размеркаванню пры .
Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.
- Кажучы прасцей, класічная цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што сума незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да Ці, што тое самае, мае размеркаванне блізкае да
- Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы , атрымліваем , дзе — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.
- Цэнтральная лімітавая тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
- Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь Xi можна вызначыць шчыльнасць).
Лакальная цэнтральная лімітавая тэарэма
[правіць | правіць зыходнік]У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,
- пры ,
дзе — шчыльнасць выпадковае велічыні , а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.
Абагульненні
[правіць | правіць зыходнік]Вынік класічнай цэнтральнай лімітавай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.
Цэнтральная лімітавая тэарэма Ляпунова
[правіць | правіць зыходнік]Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.
Няхай незалежныя выпадковыя велічыні {Xi} маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μi і дысперсіі σ2i і абсалютныя моманты E[|Xi − μi|2+δ]. Няхай
Няхай выконваецца умова Ляпунова:
Тады[1]
- па размеркаванню пры .
Цэнтральная лімітавая тэарэма Ліндэберга
[правіць | правіць зыходнік]Ліндэберг даказаў свой варыянт цэнтральнай лімітавай тэарэмы ў 1920-х гадах.
Няхай незалежныя выпадковыя велічыні X1, ..., Xn, ... вызначаны на адной імавернаснай прасторы і маюць канечныя матэматычныя спадзяванні і дысперсіі:
Няхай
І няхай выконваецца ўмова Ліндэберга: г. зн. для любога ε > 0
дзе Fi(x) — функцыя размеркавання велічыні Xi .
Тады[2]
- па размеркаванню пры .
- Заўвагі
- З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем
- Велічыні Xi незалежныя, таму
- Умову Ліндэберга можна перапісаць у наступным відзе:
- дзе — індыкатарная функцыя .
Цэнтральная лімітавая тэарэма для мартынгалаў
[правіць | правіць зыходнік]Няхай працэс з'яўляецца мартынгалам з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх t
і існуе такая пастаянная C, што для ўсіх t амаль напэўна справядліва няроўнасць
Будзем таксама лічыць, што
Няхай
і рад з σ2i разбягаецца з імавернасцю 1 :
Няхай
Тады[3]
- па размеркаванню пры .
Гл. таксама
[правіць | правіць зыходнік]Зноскі
[правіць | правіць зыходнік]Літаратура
[правіць | правіць зыходнік]- Прохоров Ю. В. Центральная предельная теорема // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 5.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
- Вентцель Е. С. Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.
- Хинчин А. Я. Основные законы теории вероятностей. — М.: ГТТИ, 1932. — 576 с.
- Billingsley, Patrick (1995), Probability and Measure (Third ed.), John Wiley & sons, ISBN 0-471-00710-2