Гласарый тэорыі груп

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Група, матэматыка
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»
Гэта старонка — гласарый. Гл. таксама галоўны артыкул: Тэорыя груп

У гэтым артыкуле прыведзены асноўныя тэрміны, якія выкарыстоўваюцца ў тэорыі груп. Курсіў пазначае ўнутраную спасылку на дадзены гласарый. У канцы прыводзіцца табліца асноўных абазначэнняў, што прымяняюцца ў тэорыі груп.


# А Б В Г Д Е Ё Ж З І К Л М Н О П Р С Т У Ў Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

P[правіць | правіць зыходнік]

p-група
Група, усе элементы ў якой маюць парадак, роўны некаторай ступені простага ліку p (не абавязкова аднолькавай ва ўсіх элементаў). Такія групы таксама называюцца прымарнамі групамі (глядзіце канечная p-група).

А[правіць | правіць зыходнік]

Абелева група
Такое ж самае, што і камутатыўная група.
Абелеанізацыя
Фактаргрупа па камутанту, гэта значыць, для групы GG/[G, G].
Абсалютна рэгулярная p-група
Канечная p-група, ў якой |G\,:\,pG| < p^p, дзе pG — падгрупа G, утвораная p-мі ступенямі яе элементаў.
Адытыўная група кольцы
Група, элементамі якой з'яўляюцца ўсе элементы дадзенага кольцы, а аперацыя супадае з аперацыяй дадавання ў кольцы.
Амаль-\mathcal E-група
Для тэарэтыка-групавой уласцівасці \mathcal E — група, якая валодае падгрупай канечнага індексу, які валодае ўласцівасцю \mathcal E; так кажуць пра амаль нільпатэнтныя, амаль вырашальныя, амаль поліцыклічныя групы.
Антыгомамарфізм груп
Адлюстраванне груп f : (G,*) \to (H,\times) такое, што f(a * b) = f(b) \times f(a) для адвольных a і b у G (параўнайце з гомамарфізмам).
Арбіта
Для элемента m мноства M, на які група G дзейнічае злева — мноства ўсіх дзеянняў над элементам: Gm = \{gm \mid g\in G\}.

В[правіць | правіць зыходнік]

Вырашальная група
Група, якая валодае нармальным радам падгруп з абелевымі фактарамі. Найменшая з даўжынь такіх радоў называецца яе ступенню вырашальнасці.
Вырашальны радыкал
Падгрупа, спароджаная ўсіма вырашальнымі нармальнымі падгрупамі, абазначаецца S(G).

Г[правіць | правіць зыходнік]

Галаморф
Для зададзенай групы (G, *) — група над парамі \{(g,\varphi) \mid g \in G, \varphi \in \mathrm{Aut}G \} (\mathrm{Aut}G — група аўтамарфізмаў групы G) з групавой аперацыяй кампазіцыі \odot, вызначанай як (g_1, \varphi_1) \odot (g_2, \varphi_2) = (g_1 * \varphi_1^{-1}(g_2), \varphi_1 \circ \varphi_2).
Галоўны рад падгруп
Рад падгруп, у якім G_{i} — максімальная нармальная ў G падгрупа з G_{i+1}, для ўсіх членаў рада.
Генетычны код групы
То жа самае, што і заданне групы.
Гомамарфізм груп
Адлюстраванне груп f : (G,*) \to (H,\times) такое, што f(a * b) = f(a) \times f(b) для адвольных a і b у G.
Група
Непарожняе мноства G са зададзенай на ім асацыятыўнай бінарнай аперацыяй *: G \times G \to G, пры якой у G маецца нейтральны элемент e, г. зн. для ўсіх a \in G выконваецца e*a=a*e=a, і для кожнага элемента a \in G ёсць адваротны элемент a^{-1}, такі, што a*a^{-1}=a^{-1}*a=e.
Група Шмідта
Ненільпатэнтная група, ўсе ўласныя падгрупы якой нільпатэнтны.
Група Мілера — Марэна
Неабелева група, ўсе ўласныя падгрупы якой абелевы.
Групавая алгебра
Для групы G над полем K — гэта вектарная прастора над K, утваральнымі якой з'яўляюцца элементы G, а множанне ўтваральных адпавядае множанню элементаў G.

Д[правіць | правіць зыходнік]

Даўжыня раду падгруп
Лік n у азначэнні раду падгруп.
Дзеянне групы
Група G дзейнічае злева на мностве M, калі зададзены гомамарфізм \Phi\colon G\to S(M), дзе S(M)сіметрычная група. Група G дзейнічае справа на мностве M, калі зададзены гомамарфізм \rho: G^{op} \to S(M), дзе G^{op}інверсная група групы G.

З[правіць | правіць зыходнік]

Заданне групы
Азначэнне групы ўказаннем спараджальнага мноства S і мноства суадносін паміж спараджальнымі R, абазначаецца \langle S \mid R\rangle. Таксама называецца генетычны код групы, прадстаўленне групы (ствараючы неадназначнасць з лінейным прадстаўленнем групы), копрадстаўленне групы.
Звышвырашальная група (англ.)
Група, якая валодае нармальным радам падгруп з цыклічнымі фактарамі.

І[правіць | правіць зыходнік]

Ізамарфізм груп
Біектыўны гомамарфізм.
Ізаморфныя групы
Групы, паміж якімі існуе хаця б адзін ізамарфізм.
Інварыянтная падгрупа
То жа самае, што і нармальная падгрупа.
Інверсная група
Група, якая атрымліваецца пераменай месцамі аргументаў бінарнай аперацыі, г. зн. для G з аперацыяй \times — група G^{op} з аперацыяй * такой, што a * b = b\times a для ўсіх элементаў G.
Індэкс падгрупы
Лік сумежных класаў у кожным (правым або левым) з раскладаў групы па дадзенай падгрупе.
Індэксы раду падгруп
Індэксы |G_{i+1}:G_{i}| у азначэнні субнармальнага раду падгруп.

К[правіць | правіць зыходнік]

Кампазіцыйны рад
Для групы Gрад падгруп, у якім усе фактаргрупы G_{i+1}/G_iпростыя групы.
Камутант
Падгрупа, спароджаная ўсімі камутатарамі групы, звычайна абазначаецца [G,G] або G'.
Камутатыўная група
Група з камутатыўнай бінарнай аперацыяй (\forall g, h \in G (g*h = h*g)); таксама называецца абелевай групай.
Камутатар
Для элементаў g, h \in G — элемент [g, h]=ghg^{-1}h^{-1}.
Камутатар падгруп
Мноства ўсіх магчымых здабыткаў \{[g, h]\mid g\in G, h\in H \}.
Камутуючыя элементы
Элементы, для якіх камутатар роўны адзінкаваму элементу групы, або, што эквівалентна, такія элементы g, h \in G, для якіх g*h = h*g.
Канечная група
Група з канечным лікам элементаў.
Канечная p-група
p-група канечнага парадку p^n.
Канечна зададзеная група
Група, якая валодае канечным лікам утваральных і якая задаецца ў гэтых утваральных канечным лікам суадносін; таксама называецца канечна вызначаная група.
Канечнаспараджальная абелева група
Абелева група, якая мае канечную сістэму утваральных.
Канечнаспараджальная група
Група, якая мае канечную сістэму утваральных.
Клас нільпатэнтнасці
Для нільпатэнтнай групы — мінімальная з даўжынь цэнтральнага раду падгруп.
Клас спалучанасці
Для элемента g \in G — мноства \{hgh^{-1}|h\in G\}.
Клас сумежнасці
Для элемента g \in G, левы сумежны клас па падгрупе H — мноства gH= \{gh|h\in H\}, правы сумежны клас па падгрупе H — мноства Hg= \{hg|h\in H\}.
Копрадстаўленне групы
То жа самае, што заданне групы.
Кручэнне
Падгрупа ўсіх элементаў канечнага парадку, прымяняецца для камутатыўных і нільпатэнтных груп, абазначаецца \operatorname{Tor}G.

Л[правіць | правіць зыходнік]

Лакальная тэарэма
Для некаторай уласцівасці P груп справядлівая некаторая лакальная тэарэма, калі ўсякая група, якая лакальна валодае гэтай уласцівасцю, сама валодае ёю. Напрыклад: лакальна абелева група з'яўляецца абелевай, але лакальна канечная група можа быць бясконцай.
Лакальная ўласцівасць
Группа G валодае нейкай лакальнай уласцівасцю P, калі любая канечнаспараджальная падгрупа з G валодае гэтай уласцівасцю. Прыкладамі могуць служыць лакальная канечнасць, лакальная нільпатэнтнасць.

М[правіць | правіць зыходнік]

Максімальная падгрупа
Такая падгрупа, што не існуе іншых падгруп, якія яе змяшчаюць (і не супадаюць з самой групай).
Метабелева група
Група, камутант якой абелевы, ступень адрознення такой групы роўная 2.
Метанільпатэнтная група
Полінільпатэнтная група са ступенню адрознення роўнай 2.
Метацыклічная група
Група, якая валодае цыклічнай нармальнай падгрупай, фактаргрупа па якой таксама цыклічная. Усякая канечная група, парадак якой свабодны ад квадратаў (г. зн. не дзеліцца на квадрат якога-небудзь ліку), з'яўляецца метацыклічнай.
Мінімальная нармальная падгрупа
Найменшая (па ўключэнні) неадзінкавая (г. зн., якая складаецца не толькі з адзінкавага элемента) нармальная падгрупа.

Н[правіць | правіць зыходнік]

Нармалізатар
Для падгрупы H у G — гэта максімальная падгрупа G, у якой H нармальная. Іначай кажучы, нармалізатар ёсць стабілізатар H пры дзеянні G на мностве сваіх падгруп спалучэннямі, г. зн. N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}.
Нармальны дзельнік
То жа самае, што і нармальная падгрупа.
Нармальная падгрупа
H ёсць нармальная падгрупа G, калі для любога элемента g \in G выканана gH = Hg, г. зн. правыя і левыя класы сумежнасці H у G супадаюць. Іначай кажучы, калі \forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H. Таксама называецца інварыянтная падгрупа, нармальны дзельнік.
Нармальны рад падгруп
Рад падгруп, у якім G_{i} нармальная ў G, для ўсіх членаў раду.
Натуральны гомамарфізм
Гомамарфізм групы G на фактаргрупу G/H па нармальнай падгрупе H, які ставіць у адпаведнасць кожнаму элементу a групы сумежны клас aH. Ядром гэтага гомамарфізму з'яўляецца падгрупа H.
Нейтральны элемент
Элемент, які задаецца ў азначэнні групы, любое прымяненне якога пры бінарнай аперацыі пакідае іншы аргумент без змен.
Нільпатэнтная група
Група, якая валодае цэнтральным радам падгруп. Мінімальная з даўжынь такіх радоў называецца яе класам нільпатэнтнасці.
Норма групы
Сукупнасць элементаў групы, перестановачных з усімі падгрупамі, г. зн. перасячэнне нармалізатараў усіх яе падгруп.

П[правіць | правіць зыходнік]

Падгрупа
Падмноства H групы G, якое з'яўляецца групай адносна аперацыі, вызначанай у G.
Падгрупа кручэння
То жа самае, што і кручэнне.
Падгрупа, спароджаная мноствам
Для адвольнага падмноства S \subset G, \langle S \rangle абазначае найменшую падгрупу G, якая змяшчае S.
Падгрупа Томпсана (англ.)
Падгрупа, спароджаная ўсіма абелевымі падгрупамі; абазначаецца J(G).
Падгрупа Фіцінга (англ.)
Падгрупа, спароджаная ўсіма нільпатэнтнымі нармальнымі падгрупамі; абазначаецца F(G).
Падгрупа Фраціні (англ.)
Перасячэнне ўсіх максімальных падгруп, калі такія існуюць, альбо сама група G у адваротным выпадку; абазначаецца \Phi(G).
Парадак групы
То жа самае, што і магутнасць мноства групы (для канечных груп — колькасць элементаў групы).
Парадак элемента
Для элемента g \in G — мінімальны натуральны лік m такі, што g^m = e. У выпадку, калі такога m не існуе, лічыцца, што g мае бясконцы парадак.
Паўпрамы здабытак
Для груп G і H над гомамарфізмам \phi: G \rightarrow \mbox{Aut}(H) (абазначаецца па-рознаму, ў тым ліку G \rtimes_\phi H) — мноства G \times H, што мае аперацыю *, для якой (g_1, h_1) * (g_2, h_2) = (g_1\phi(h_1)(g_2), h_1h_2) для любых g_1,g_2 \in G, h_1,h_2 \in H.
Перастановачныя элементы
Пара элементаў a,b\in G такіх, што ab=ba.
Перыяд групы
Найменшае агульнае кратнае парадкаў элементаў дадзенай групы.
Перыядычная група
Група, кожны элемент якой мае канечны парадак.
Полінільпатэнтная група
Група, якая валодае канечным нармальны радам, фактары якога нільпатэнтныя.
Прадстаўленне групы
1.  Лінейнае прадстаўленне групы, гомамарфізм зададзенай групы ў групу нявыраджаных лінейных пераўтварэнняў вектарнай прасторы.
2.  То жа самае, што і заданне групы.
Прамы здабытак
Для груп (G,\cdot) и (H, *) — мноства пар G \times H, якое мае аперацыю пакампанентнага множання: (g_1, h_1) \times (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 * h_2).
Простая група
Група, у якой няма нармальных падгруп, акрамя трывіальнай (той, якая складаецца толькі з адзінкавага элемента) і ўсей групы.
Прымарная група
Група, усе элементы ў якой маюць парадак, роўны некаторай ступені простага ліку p (не абявязкова аднолькавай у ўсіх элементаў). Таксама кажуць пра канечную p-групу.

Р[правіць | правіць зыходнік]

Расшырэнне групы
Група, якая змяшчае дадзеную групу ў якасці нармальнай падгрупы.
Рад падгруп
Канечная паслядоўнасць падгруп G_0, G_1, ..., G_n такая, што G_i \leq G_{i+1}, для ўсіх i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G. Такі рад запісваюць у выглядзе 1=G_0\leq G_1\leq \dots \leq G_n=G або ў выглядзе G=G_n\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_0=1.
Рэгулярная p-група
Канечная p-група, для любой пары элементаў a і b якой знойдзецца элемент u камутанта падгрупы, спароджанай гэтымі элементамі, такі, што (ab)^p = a^pb^pu^p.

С[правіць | правіць зыходнік]

Свабодная група
Група, зададзеная некаторым мноствам і пры гэтым не мае ніякіх суадносін, акрамя суадносін, якія вызначаюць групу. Усе свабодныя групы, спараджальныя роўнамагутнымі мноствамі, ізаморфныя.
Свабодны здабытак
Група, зададзеная элементамі дадзеных груп без дадатковых суадносін паміж элементамі, акрамя суадносін, якія вызначаюць кожную з дадзеных груп.
Сілаўская падгрупа
p-падгрупа ў G, якая мае парадак p^n, дзе |G| = p^ns і найбольшы агульны дзельнік лікаў p і s роўны 1.
Сіметрычная група
Група ўсіх біекцый зададзенага канечнага мноства (г. зн., усіх перастановак) адносна аперацыі кампазіцыі.
Спараджальнае мноства групы
Такое падмноства групы, што кожны элемент групы можа быць запісаны як здабытак канечнага ліку элементаў мноства і іх адваротных.
Стабілізатар
Для элемента p мноства M, на якому дзейнічае група G — падгрупа \mathrm{St}_G(p) \subset G, усе элементы якой пакідаюць p на месце: g\cdot p = p.
Ступень вырашальнасці
Найменшая з даўжынь нармальных радоў падгруп з абелевымі фактарамі для дадзенай групы.
Суадносіны
Тоеснасць, якой задавальняюць утваральныя групы (пры заданні групы ўтваральнымі і суадносінамі).
Субнармальны рад падгруп
Рад падгруп, у якому падгрупа G_{i} нармальная ў падгрупе G_{i+1}, для ўсіх членаў раду.

Ф[правіць | правіць зыходнік]

Фактаргрупа
Для групы G і яе нармальнай падгрупы H — мноства класаў сумежнасці падгрупы H з множаннем, якое вызначаецца наступным чынам: (aH)*(bH)=(ab)H.
Фактары субнармальнага раду
Фактаргрупы G_{i+1}/G_{i} у азначэнні субнармальнага раду падгруп.

Х[правіць | правіць зыходнік]

Характарыстычная падгрупа
Падгрупа, інварыянтная адносна ўсіх аўтамарфізмаў групы.
Холава падгрупа
Падгрупа, парадак якой узаемна просты з яе індэксам ва ўсей групе.

Ц[правіць | правіць зыходнік]

Цыклічная група
Група, якая складаецца з спараджальнага элемента і ўсіх яго целых ступеняў. Канечная ў выпадку, калі парадак спараджальнага элемента канечны.
Цэнтр групы
Максімальная група элементаў, камутуючых з кожным элементам групы: \mathrm Z_G(G) = \{g \in G \mid \forall {h \in G}\, (gh = hg) \}. Своеасаблівая «мера абелевасці»: група абелева тады і толькі тады, калі яе цэнтр супадае са ўсей групай.
Цэнтралізатар
Максімальная падгрупа, кожны элемент якой камутуе з зададзеным элементам: \mathrm Z_G(h) = \{g \in G \mid gh = hg \}.
Цэнтральны рад падгруп
нармальны рад падгруп, у якім G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i}), для ўсіх членаў раду.

Э[правіць | правіць зыходнік]

Экспанента
Лікавая характарыстыка канечнай групы, роўная найменшаму агульнаму кратнаму парадкаў усіх элементаў групы, абазначаецца \exp(G).
Элементарная група
Група, якая з'яўляецца канечнай або абелевай, альбо атрымліваецца з канечных і абелевых груп паслядоўнасцю аперацый узяцця падгруп, эпіморфных вобразаў, прамых межаў і расшырэнняў.
Эпімарфізм груп
Эпімарфізмам называецца гомамарфізм f : G \to H, калі адлюстраванне f сюр'ектыўнае.

Я[правіць | правіць зыходнік]

Ядро гомамарфізму
Правобраз нейтральнага элемента пры гомамарфізме. Ядро заўсёды ёсць нармальная падгрупа, а любая нармальная падгрупа ёсць ядро некаторага гомамарфізма.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Мельников О. В.; Ремесленников В. Н.; Романьков В. А.; Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Группы // Общая алгебра / Скорняков Л. А. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.