Непарыўны дроб

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Непары́ўны дроб (або ланцуго́вы дроб) — гэта матэматычны выраз віду

[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;

дзе a0 ёсць цэлы лік, і ўсе астатнія anнатуральныя лікі (дадатныя цэлыя).

Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе непарыўнага дробу (канечнага ці бесканечнага). Лік можна прадставіць канечным ланцуговым дробам тады і толькі тады(руск.) бел., калі ён рацыянальны. Лік можна прадставіць перыядычным ланцуговым дробам тады і толькі тады, калі ён ёсць квадратычная ірацыянальнасць.

Раскладанне ў непарыўны дроб[правіць | правіць зыходнік]

Любы рэчаісны лік x можна прадставіць (канечным ці бесканечным, перыядычным ці неперыядычным) ланцуговым дробам [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], дзе

a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,
a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,
\dots
a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,
\dots

дзе \lfloor x \rfloor абазначае цэлую частку(руск.) бел. ліку x.

Для рацыянальнага ліку x гэта раскладанне абарвецца па дасягненні нулявога x_n для некаторага n. У гэтым выпадку x прадстаўляецца канечным непарыўным дробам x = [a_0; a_1, \cdots, a_n].

Для ірацыянальнага x усе велічыні x_n будуць ненулявыя і працэс раскладання можна працягваць без канца. У гэтым выпадку x прадстаўляецца бесканечным ланцуговым дробам x = [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots].

Каб хутка раскласці рацыянальны лік у ланцуговы дроб, можна скарыстаць алгарытм Еўкліда.

Падыходныя дробы[правіць | правіць зыходнік]

n-ым падыходным дробам (або падыходзячым дробам) для ланцуговага дробу x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] называецца канечны ланцуговы дроб [a_0; a_1, \cdots, a_n]. Значэнне падыходнага дробу раўняецца некатораму рацыянальнаму ліку \frac{p_n}{q_n}. Падыходзячыя дробы з цотнымі нумарамі ўтвараюць нарастаючую паслядоўнасць, граніца якой роўная x. Аналагічна, падыходзячыя дробы з няцотнымі нумарамі ўтвараюць спадаючую паслядоўнасць, граніца якой таксама роўная x.

Эйлер вывеў зваротныя формулы(англ.) бел. для вылічэння лічнікаў і назоўнікаў падыходных дробаў:

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2};
q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.

Такім чынам, велічыні p_n і q_n прадстаўляюцца значэннямі кантынуантаў(англ.) бел.:

p_n = K_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_n)
q_n = K_n(a_1, a_2, \cdots, a_n)

Паслядоўнасці \left\{p_n\right\} і \left\{q_n\right\} нарастаюць.

Лічнікі і назоўнікі суседніх падыходных дробаў звязаны суадносінамі:

p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1},     (1)

якія можна перапісаць у выглядзе

\frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1} q_n}.

Адкуль вынікае, што

\left|x - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right| < \frac{1}{q_{n-1}q_n} < \frac{1}{q_{n-1}^2}.

Прыбліжэнне рэчаісных лікаў рацыянальнымі[правіць | правіць зыходнік]

Непарыўныя дробы дазваляюць эфектыўна знаходзіць добрыя рацыянальныя прыбліжэнні рэчаісных лікаў. А іменна, калі рэчаісны лік x раскласці ў ланцуговы дроб, то яго падыходныя дробы будуць задавальняць няроўнасць

\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n^2}.

Адсюль, сярод іншага, вынікае:

  • падыходны дроб \frac{p_n}{q_n} з'яўляецца найлепшым прыбліжэннем для x сярод усіх дробаў, назоўнік якіх не пераўзыходзіць q_n;
  • мера ірацыянальнасці(руск.) бел. любога ірацыянальнага ліку не меншая чым 2.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Раскладзём лік \pi=3,14159265… у непарыўны дроб і падлічым яго падыходныя дробы:
    3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …
Другі падыходны дроб 22/7 — гэта вядомае архімедава прыбліжэнне. Чацвёрты падыходны дроб 355/113 быў упершыю атрыман у Старажытным Кітаі(руск.) бел..
  • У тэорыі музыкі трэба адшукаць рацыянальнае прыбліжэнне для \textstyle\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585. Трэці падыходны дроб 7/12 дазваляе абгрунтаваць класічнае дзяленне актавы на 12 паўтонаў(руск.) бел.[1].

Уласцівасці і прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Любы рацыянальны лік можна прадставіць у выглядзе канечнага непарыўнага дробу двума спосабамі, напрыклад:
 9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;
  • Тэарэма Лагранжа: Лік прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага перыядычнага ланцуговага дробу тады і толькі тады, калі ён з'яўляецца ірацыянальным рашэннем квадратнага ўраўнення з цэлымі каэфіцыентамі.
Напрыклад:
\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]
залатое сячэнне \phi = [1;1,1,1,\dots]
  • Для алгебраічных лікаў ступені, большай за 2, характар раскладанняў у непарыўны дроб невядомы. Напрыклад, нават для \sqrt[3]{2} невядома, ці канечная колькасць розных лікаў у яго раскладанні (паслядоўнасць A002945 у OEIS).
  • Для некаторых трансцэндэнтных лікаў можна знайсці простую заканамернасць. Напрыклад, для асновы натуральнага лагарыфма:
e - 1 = [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \ldots, 1, 1, 2n-2, 1, 1, 2n, \ldots]
для ліку
\operatorname{tg}\,1 = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, \ldots, 1, 2n+1, 1, 2n+3, \ldots]
  • У ліку пі простай заканамернасці не відаць[2]:
\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots]
  • Тэарэма Гауса — Кузьміна(англ.) бел.: Амаль для ўсіх(руск.) бел. (акрамя мноства нулявой меры) рэчаісных лікаў існуе сярэдняе геаметрычнае каэфіцыентаў адпаведных ім ланцуговых дробаў, і яно роўнае пастаяннай Хінчына(англ.) бел..
  • Тэарэма Маршала Хола. Калі ў раскладанні ліку x у непарыўны дроб, пачынаючы з другога элемента не сустракаюцца лікі, большыя за n, то кажуць, што лік x адносіцца да класа F(n). Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух лікаў з класа F(4) і ў выглядзе здабытку двух лікаў з класа F(4)[3]. У далейшым было паказана, што любы рэчаісны лік можна прадставіць сумаю трох лікаў з класа F(3) і сумаю чатырох лікаў з класа F(2). Колькасць неабходных складнікаў у гэтай тэарэме нельга паменшыць — для прадстаўлення некаторых лікаў названым спосабам меншай колькасці складнікаў недастаткова[4][5].

Прыкладанні непарыўных дробаў[правіць | правіць зыходнік]

Тэорыя календара[правіць | правіць зыходнік]

Пры распрацоўцы сонечнага календара(руск.) бел. неабходна знайсці рацыянальнае прыбліжэнне для ліку дзён у годзе, які роўны 365,2421988… Падлічым падыходныя дробы для дробнай часткі гэтага ліку:

\frac{1}{4}; \frac{7}{29}; \frac{8}{33}; \frac{31}{128}; \frac{132}{545} \cdots

Першы дроб азначае, што раз у 4 гады трэба дабаўляць дадатковы дзень; гэты прынцып лёг у аснову юліянскага календара. Пры гэтым памылка ў 1 дзень набіраецца за 128 гадоў. Другое значэнне (7/29) ніколі не выкарыстоўвалася. Трэці дроб (8/33), г.зн. 8 высакосных гадоў за перыяд у 33 гады, быў прапанован Амарам Хаямам у XI ст. і даў пачатак персідскаму календару(руск.) бел., у якім памылка ў дзень набіраецца за 4500 гадоў (у грыгарыянскім — за 3280 гадоў). Вельмі дакладны варыянт з чацвёртым дробам (31/128, памылка ў суткі набіраецца толькі за 100000 гадоў) прапагандаваў нямецкі астраном Іаган фон Медлер (1864), аднак вялікай цікавасці ён не выклікаў.

Рашэнне параўнанняў першай ступені[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім параўнанне(руск.) бел.:

ax \equiv b \pmod m ,

дзе a,\ b зададзеныя, прычым можна лічыць, што a узаемна простае з m. Трэба знайсці x.

Раскладзём \frac{m}{a} у непарыўны дроб. Ён будзе канечны, і апошні падыходны дроб \frac{p_n}{q_n}=\frac{m}{a}. Падставім у формулу (1):

m q_{n-1} - a p_{n-1} = (-1)^{n-1}.

Адсюль вынікае:

a p_{n-1} \equiv (-1)^n \pmod m,  ці:  \ a (-1)^n p_{n-1} \equiv 1 \pmod m .

Вывад: клас вылікаў x \equiv (-1)^n p_{n-1} b \pmod m  ёсць рашэнне зыходнага параўнання.

Іншыя прыкладанні[правіць | правіць зыходнік]

Уласцівасці залатога сячэння[правіць | правіць зыходнік]

У непарыўным дробе залатога сячэння(руск.) бел. φ няма цэлых лікаў, большых за 1. Адсюль выцякае цікавы вынік: сярод рэчаісных лікаў лік φ — адзін з самых «цяжкіх» для прыбліжэння рацыянальнымі лікамі. Тэарэма Гурвіца[7] сцвярджае, што любы рэчаісны лік x можна прыблізіць дробам m/n так, што

\left| x - {m \over n}\right| < {1 \over n^2 \sqrt 5}.

Хоць практычна ўсе рэчаісныя лікі x маюць бесканечна многа прыбліжэнняў m/n, значна бліжэйшых да x, чым гэта верхняя мяжа, прыбліжэнні для φ (г.зн. лікі 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 і г. д.) на граніцы дасягаюць гэтай мяжы, утрымліваючы адлегласць амаль дакладна на {\scriptstyle{1 \over n^2 \sqrt 5}} ад φ, тым самым ніколі не даючы такога добрага прыбліжэння як, напрыклад, 355/113 для π. Можна паказаць, што любы рэчаісны лік віду (a + bφ)/(c + dφ), дзе a, b, c і d — цэлыя лікі, такія што ad − bc = ±1, мае такую ж уласцівасць, як і залатое сячэнне φ; а таксама, што ўсе астатнія рэчаісныя лікі можна прыблізіць намнога лепш.

Гістарычная даведка[правіць | правіць зыходнік]

Антычныя матэматыкі(руск.) бел. ўмелі прадстаўляць адносіны несувымерных велічынь у выглядзе ланцужка падыходных адносін, атрымліваючы гэты ланцужок з дапамогаю алгарытма Еўкліда. Відаць, іменна такім спосабам Архімед атрымаў прыбліжэнне \sqrt{3} \approx \frac {1351}{780} — гэта 12-ы падыходны дроб для \sqrt{3} ці \frac {1}{3} ад 4-га падыходнага дробу для \sqrt{27}.

У V стагоддзі індыйскі матэматык Арыябхата прымяняў падобны «метад здрабнення» для рашэння неазначальных ураўненняў першай і другой ступені. З дапамогаю гэтай жа тэхнікі было, мабыць, атрымана вядомае прыбліжэнне ліку \pi (355/113). У XVI стагоддзі Рафаэль Бамбелі(руск.) бел. здабываў з дапамогаю ланцуговых дробаў квадратныя карані (гл. яго алгарытм).

Пачатак сучаснай тэорыі непарыўных дробаў даў у 1613 годзе П'етра Антоніа Катальдзі. Ён адзначыў іх асноўную ўласцівасць (гранічнае значэнне ляжыць паміж падыходнымі дробамі) і ўвёў абазначэнне, падобнае на сучаснае. Пазней яго тэорыю пашырыў Джон Валіс, які і прапанаваў тэрмін «непарыўны дроб». Раўназначны тэрмін «ланцуговы дроб» паявіўся ў канцы XVIII стагоддзя.

Прымяняліся гэтыя дробы найперш для рацыянальнага прыбліжэння рэчаісных лікаў; напрыклад, Хрысціян Гюйгенс выкарыстоўваў іх пры праектаванні зубчастых колаў свайго планетарыя. Гюйгенс ужо знаў, што падыходныя дробы заўсёды нескарачальныя і што яны даюць найлепшае рацыянальнае прыбліжэнне.

У XVIII стагоддзі тэорыю ланцуговых дробаў у агульных рысах завяршылі Леанард Эйлер і Жазеф Луі Лагранж.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — 20 с.
  2. паслядоўнасць A001203 у OEIS
  3. M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
  4. B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
  5. T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.
  6. Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
  7. Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). "Theorem 193". An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth ed.). Oxford. 

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]