Авал Касіні

Авалы Касіні (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Авал Касіні — крывая, якая з'яўляецца геаметрычным месцам пунктаў, здабытак адлегласцей ад якіх да двух зададзеных пунктаў (фокусаў) пастаянны і роўны квадрату некаторага ліку $a$.

Прыватным выпадкам авала Касіні пры фокуснай адлегласці роўнай $2a$ з'яўляецца лемніската Бернулі. З іншага боку, сам авал з'яўляецца прыватным выпадкам лемніскаты.

Крывая была прыдумана астраномам Джавані Касіні. Ён памылкова лічыў, што яна дакладней за эліпс вызначае арбіту Зямлі. Хоць гэту лінію называюць авалам Касіні, яна не заўсёды авальная (гл. ніжэй — Асаблівасці формы).

Крывая пастаяннай сумы адлегласцей да двух зададзеных пунктаў — эліпс, пастаянных адносін — акружнасць Апалонія, пастаяннай рознасці — гіпербала.

Ураўненні

Адлегласць паміж фокусамі $2c$.

• У прамавугольных каардынатах:

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

Выснова

Фокусы — $F_{1}(-c;0)$ і $F_{2}(c;0)$. Возьмем адвольны пункт $M(x;y)$, знойдзем адлегласць ад фокусаў да яго і прыраўнуем яе да $a^{2}$: $\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}$ Узводзім у квадрат абедзве часткі роўнасці: $\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}$ Раскрываем дужкі ў левай частцы: $\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}$ Раскрываем дужкі, згортваем новы квадрат сумы і выносім агульны множнік: $\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

• Яўнае ўраўненне ў прамавугольных каардынатах:

$\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$

Выснова

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Узводзім у квадрат і раскрываем дужкі: $\textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-2c^{2}x^{2}+2c^{2}y^{2}=a^{4}-c^{4}$ Прыводзім да выгляду $\textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}-a^{4}+c^{4}=0$ Гэта квадратнае ўраўненне адносна $y^{2}$. Рашыўшы яго, атрымаем $\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}$ Узяўшы корань і адкінуўшы варыянт з адмоўным другім складаемым, атрымаем: $\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$ дзе дадатны варыянт вызначае верхнюю палову крывой, адмоўны — ніжнюю.

• У палярнай сістэме каардынат:

$\rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}$

Выснова

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Выкарыстоўваючы формулы пераходу да палярнай сістэмы каардынат $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ атрымаем: ${\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c^{4}$ Выносім агульныя множнікі і выкарыстоўваем трыганаметрычную тоеснасць $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$: $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}$ Выкарыстоўваем яшчэ адну тоеснасць: $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$: $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}$

Асаблівасці формы

Змяняецца параметр $a$

Змяняецца параметр $c$

Ва ўраўненні крывой маюцца два незалежныя параметры: $c$ — палова адлегласці паміж фокусамі і $a$ — корань квадратны са здабытку адлегласцей ад фокусаў да любога пункта крывой. З пункту гледжання формы найбольш істотныя адносіны параметраў, а не іх велічыні, якія пры нязменных адносінах вызначаюць толькі памер фігуры. Можна вылучыць шэсць разнавіднасцей формы ў залежнасці ад велічыні адносін $\textstyle {\frac {c}{a}}$:

• $\textstyle {\frac {c}{a}}=\infty$, гэта значыць $\textstyle a=0$ пры $\textstyle c\neq 0$.

Крывая выраджаецца ў два пункты, якія супадаюць з фокусамі. Пры $c\to \infty$ форма крывой імкнецца да двух пунктаў.

• $\textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty$, гэта значыць $\textstyle 0<a<c$

Крывая распадаецца на два асобныя авалы, кожны з якіх выцягнуты ў кірунку да іншага і па форме нагадвае яйка.

• $\textstyle {\frac {c}{a}}=1$, гэта значыць $\textstyle a=c$

Правая частка ўраўнення ў прамавугольных каардынатах (гл. вышэй) ператваецца ў нуль, і крывая становіцца лемніскатай Бернулі.

• $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}<{\frac {c}{a}}<1$, гэта значыць $\textstyle c<a<c{\sqrt {2}}$

У крывой з'яўляюцца чатыры сіметрычныя пункты перагібу (па адным у кожнай каардынатнай чвэрці). Крывізна ў пунктах перасячэння з воссю $OY$ імкнецца да нуля, калі $a$ імкнецца да $c$ і да бясконцасці, калі $a$ імкнецца да $c{\sqrt {2}}$.

• $\textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}{\sqrt {2}}}$, гэта значыць $\textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}$

Крывая становіцца авалам, гэта значыць выпуклай замкнёнай крывой.

• $\textstyle {\frac {c}{a}}=0$, гэта значыць $\textstyle c=0$ пры $\textstyle a\neq 0$

Па меры павелічэння $a$ (гэта значыць імкнення адносін $\textstyle {\frac {c}{a}}$ да нуля) крывая імкнецца да акружнасці радыусу $a$. Калі $c=0$, тады адносіны $\textstyle {\frac {c}{a}}$ дасягаюць нуля, і ў гэтым выпадку крывая выраджаецца ў акружнасць.

Уласцівасці

Чорная акружнасць — мноства максімумаў і мінімумаў; сіняя лемніската — мноства пунктаў перагібу

• Авал Касіні — алгебраічная крывая чацвёртага парадку.
• Яна сіметрычная адносна сярэдзіны адрэзка паміж фокусамі.
• Пры $0<a<c{\sqrt {2}}$ мае два абсалютныя максімумы і два мінімумы:

${\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {4c^{4}-a^{4}}}{2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2}}{2c}}\end{cases}}$

Геаметрычнае месца пунктаў абсалютных максімумаў і мінімумаў — акружнасць радыусу $c$ з цэнтрам у сярэдзіне адрэзка паміж фокусамі.

• Пры $c<a\leqslant c{\sqrt {2}}$ крывая мае чатыры пункты перагібу. Іх палярныя каардынаты:

${\begin{cases}\rho ={\sqrt[{4}]{\frac {a^{4}-c^{4}}{3}}}\\\cos 2\varphi =-{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)}}\end{cases}}$

Геаметрычнае месца пунктаў перагібу — лемніската з вяршынямі $\left(0;\pm c\right)$.

• Радыус крывізны для прадстаўлення ў палярных каардынатах:

$R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi }}}={\frac {2a^{2}\rho ^{3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}$

Прымяненне

Пры двухпазіцыйнай радыёлакацыі вобласцю выяўлення цэлі з'яўляецца фігура, абмежаваная авалам Касіні, калі прыняць у якасці аднаго яго фокусу пазіцыю крыніцы выпраменьвання, а іншага — пазіцыю прыёмніка. Аналагічна, у астраноміі пры назіранні, напрыклад, астэроідаў, якія свецяць адлюстраваным святлом Сонца, умовы іх выяўлення пры зададзенай адчувальнасці тэлескопа апісваюцца формулай авала Касіні. У гэтым выпадку граніцай выяўленяя будзе паверхня, утвораная вярчэннем авала вакол восі, якая злучае Сонца і назіральніка.

Гл. таксама

• Лемніската Бута
• Лемніската Бернулі
• Плоская крывая
• Алгебраічная крывая
• Шматфокусная алгебраічная крывая
• Авал Дэкарта

Літаратура

• Математическая энциклопедия (в 5-и томах) — Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые Архівавана 14 верасня 2008., Популярные лекции по математике Архівавана 26 жніўня 2017., выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.