Авал Касіні

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search
Авалы Касіні (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Авал Касіні — крывая, якая з'яўляецца геаметрычным месцам пунктаў, здабытак адлегласцей ад якіх да двух зададзеных пунктаў (фокусаў) пастаянны і роўны квадрату некаторага ліку .

Прыватным выпадкам авала Касіні пры фокуснай адлегласці роўнай з'яўляецца лемніската Бернулі. З іншага боку, сам авал з'яўляецца прыватным выпадкам лемніскаты.

Крывая была прыдумана астраномам Джавані Касіні. Ён памылкова лічыў, што яна дакладней за эліпс вызначае арбіту Зямлі[1]. Хоць гэту лінію называюць авалам Касіні, яна не заўсёды авальная (гл. ніжэй — Асаблівасці формы).

Крывая пастаяннай сумы адлегласцей да двух зададзеных пунктаў — эліпс, пастаянных адносін — акружнасць Апалонія, пастаяннай рознасці — гіпербала.

Ураўненні[правіць | правіць зыходнік]

Адлегласць паміж фокусамі .

  • Яўнае ўраўненне ў прамавугольных каардынатах:

Асаблівасці формы[правіць | правіць зыходнік]

Змяняецца параметр
Змяняецца параметр

Ва ўраўненні крывой маюцца два незалежныя параметры:  — палова адлегласці паміж фокусамі і  — корань квадратны са здабытку адлегласцей ад фокусаў да любога пункта крывой. З пункту гледжання формы найбольш істотныя адносіны параметраў, а не іх велічыні, якія пры нязменных адносінах вызначаюць толькі памер фігуры. Можна вылучыць шэсць разнавіднасцей формы ў залежнасці ад велічыні адносін :

  • , гэта значыць пры .
Крывая выраджаецца ў два пункты, якія супадаюць з фокусамі. Пры форма крывой імкнецца да двух пунктаў.
  • , гэта значыць
Крывая распадаецца на два асобныя авалы, кожны з якіх выцягнуты ў кірунку да іншага і па форме нагадвае яйка.
  • , гэта значыць
Правая частка ўраўнення ў прамавугольных каардынатах (гл. вышэй) ператваецца ў нуль, і крывая становіцца лемніскатай Бернулі.
  • , гэта значыць
У крывой з'яўляюцца чатыры сіметрычныя пункты перагібу (па адным у кожнай каардынатнай чвэрці). Крывізна ў пунктах перасячэння з воссю імкнецца да нуля, калі імкнецца да і да бясконцасці, калі імкнецца да .
  • , гэта значыць
Крывая становіцца авалам, гэта значыць выпуклай замкнёнай крывой.
  • , гэта значыць пры
Па меры павелічэння (гэта значыць імкнення адносін да нуля) крывая імкнецца да акружнасці радыусу . Калі , тады адносіны дасягаюць нуля, і ў гэтым выпадку крывая выраджаецца ў акружнасць.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Чорная акружнасць — мноства максімумаў і мінімумаў; сіняя лемніската — мноства пунктаў перагібу
  • Авал Касіні — алгебраічная крывая чацвёртага парадку.
  • Яна сіметрычная адносна сярэдзіны адрэзка паміж фокусамі.
  • Пры мае два абсалютныя максімумы і два мінімумы:
Геаметрычнае месца пунктаў абсалютных максімумаў і мінімумаў — акружнасць радыусу з цэнтрам у сярэдзіне адрэзка паміж фокусамі.
  • Пры крывая мае чатыры пункты перагібу. Іх палярныя каардынаты:
Геаметрычнае месца пунктаў перагібу — лемніската з вяршынямі .

Прымяненне[правіць | правіць зыходнік]

Пры двухпазіцыйнай радыёлакацыі вобласцю выяўлення цэлі з'яўляецца фігура, абмежаваная авалам Касіні, калі прыняць у якасці аднаго яго фокусу пазіцыю крыніцы выпраменьвання, а іншага — пазіцыю прыёмніка. Аналагічна, у астраноміі пры назіранні, напрыклад, астэроідаў, якія свецяць адлюстраваным святлом Сонца, умовы іх выяўлення пры зададзенай адчувальнасці тэлескопа апісваюцца формулай авала Касіні. У гэтым выпадку граніцай выяўленяя будзе паверхня, утвораная вярчэннем авала вакол восі, якая злучае Сонца і назіральніка.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі