Квадратнае ўраўненне

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Квадра́тнае ўраўне́нне, або квадрато́вае раўна́нне[1] — гэта ўраўненне выгляду

дзе a, b, c — вызначаныя лікі, a ≠ 0, x — невядомая велічыня.

Развязанне ўраўнення[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Віета[правіць | правіць зыходнік]

Лікі і ёсць каранямі квадратнага ўраўнення тады і толькі тады, калі спраўджваюцца роўнасці (так званыя формулы Віета):

Заўвага 1: тэарэма Віета застаецца справядліваю незалежна ад таго, якія гэтыя карані: рэчаісныя ці камплексныя.

Заўвага 2: у выпадку, калі квадратнае ўраўненне мае кратны корань формулы Віета прымаюць выгляд

Прыклад

Теарэмай Віета зручна карыстацца, калі каэфіцыенты квадратнага ўраўнення цэлыя, і старшы каэфіцыент a = 1. У такім выпадку, асабліва калі каэфіцыенты малыя, карані можна знайсці вусна, раскладаючы на множнікі свабодны каэфіцыент. Вось напрыклад, у нас ёсць ураўненне

(a = 1, b = -1, c = -6).

Неабходна, каб задавальняліся роўнасці

Лік 6 мае сваімі дзельнікамі лікі 2 і 3. Адзін з каранёў — адмоўны, бо здабытак каранёў роўны -6. Падбіраючы лікі так, каб іх сума была роўнай 1, атрымліваем, што

карані — гэта лікі 3 і -2.

Дыскрымінант[правіць | правіць зыходнік]

Перасячэнне парабалай восі x у залежнасці ад знака дыскрымінанта (ад колькасці рэчаісных каранёў)

Дыскрымінатам квадратнага ўраўнення называецца велічыня

  • Калі D > 0, карані вылічваюць па формуле
  • Калі D = 0, карані вылічваюць па формуле
  • Калі D < 0, рэчаісных каранёў няма.

Заўвага: калі D < 0, існуюць два камплексныя карані, якія вылічваюцца па формуле

дзе i — так званая ўяўная адзінка, якая азначаецца як лік, квадрат якога роўны -1:

Прыклад

Разгледзім тое ж ураўненне

(a = 1, b = -1, c = -6).

Вылічым дыскрымінант

Падстаўляем значэнні ў формулы і атрымліваем:

Зноскі

  1. Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.