Трансцэндэнтны лік

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

У матэматыцы, трансцэндэнтны лік — лік (рэчаісны ці камплексны), які не з'яўляецца алгебраічным, г. зн. не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Самымі знакамітымі прыкладамі трансцэндэнтных лікаў з'яўляюцца π і e. Хаця вядома толькі некалькі класаў трансцэндэнтных лікаў (часткова таму, што даказаць трасцэндэнтнасць пэўнага ліку бывае вельмі складана), трансцэндэнтныя лікі не рэдкасць. Больш таго, амаль усе рэчаісныя і камплексныя лікі трансцэндэнтныя, таму што алгебраічныя лікі ўтвараюць злічальнае мноства, тады як мноствы і рэчаісных, і камплексных лікаў абодва незлічальныя. Усе рэчаісныя лікі з'яўляюцца ірацыянальнымі, бо ўсе рацыянальныя лікі алгебраічныя. Адваротнае несправядліва: не ўсе ірацыянальныя лікі трансцэндэнтныя; напрыклад, квадратны корань з 2 ірацыянальны, але не трансцэндэнтны лік, бо ён з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення x2 − 2 = 0.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Слова «трансцэндэнтны» паяўляецца ў Лейбніцавай працы 1682 года, дзе ён даказаў, што Sin x — не алгебраічная функцыя ад x[1][2]. Эйлер быў мабыць першым, хто вызначыў трансцэндэнтныя лікі ў сучасным сэнсе[3].

У 1844 годзе Жазеф Ліувіль першы даказаў існаванне трансцэндэнтных лікаў[4], і ў 1851 годзе прывёў першыя дзесятковыя прыклады, такія як пастаянная Ліувіля

дзе n-я лічба пасля коскі раўняецца 1, калі n роўнае k! (k фактарыял) для некаторага k, і 0 у процілеглым выпадку[5]. Ліувіль паказаў, што гэты лік адносіцца да класа лікаў, якія цяпер называюцца лікамі Ліувіля; такія лікі можна прыблізіць рацыянальнымі лікамі больш дакладна, чым гэта можна зрабіць для любых ірацыяльных алгебраічных лікаў. Ліувіль паказаў, што ўсе Ліувілевы лікі трансцэндэнтныя[6].

Іаган Генрых Ламберт у сваёй працы 1761 года, дзе ён даказаў ірацыянальнасць ліку π, выказаў здагадку, што e і π абодва трансцэндэнтныя. Першым лікам, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, а не вызначана пры пабудове (г. зн. лік не канструяваўся адмыслова як прыклад трансцэндэнтнасці), стаў лік e, даказаў гэта Шарль Эрміт у 1873 годзе.

У 1874 годзе Георг Кантар даказаў, што алгебраічныя лікі ўтвараюць злічальнае мноства, а рэчаісныя — незлічальнае. Ён таксама прыдумаў новы метад для канструявання трасцэндэнтных лікаў[7]. У 1878 годзе Кантар апублікаваў выкладкі, якія даказвалі, што трасцэндэнтных лікаў гэтак жа многа, як і рэчаісных[8]. Кантарава праца ўстанавіла паўсюднасць трансцэндэнтных лікаў.

У 1882 годзе Фердынанд фон Ліндэман апублікаваў доказ трансцэндэнтнасці ліку π. Спачатку ён паказаў, што e ў любой ненулявой алгебраічнай ступені з'яўляецца трасцэндэнтным лікам, і раз eiπ = −1 ёсць алгебраічны лік (гл. тоеснасць Эйлера), то лік iπ і, адсюль, лік π павінны быць трансцэндэнтнымі. Гэты падыход быў абагульнены Карлам Веерштрасам як тэарэма Ліндэмана — Веерштраса. Трансцэндэнтнасць ліку π дазволіла даказаць для некалькіх антычных геаметрычных задач на пабудову немагчымасць іх развязання з дапамогаю цыркуля і лінейкі, уключаючы самую знакамітую з іх — квадратуру круга.

У 1900 годе Давід Гільберт паставіў важнае пытанне аб трансцэндэнтных ліках, сваю сёмую праблему: Калі a ёсць алгебраічны лік, не роўны нулю і адзінцы, а b — ірацыянальны алгебраічны лік, ці будзе лік ab абавязкова трасцэндэнтным? Станоўчы адказ у 1934 годе дала тэарэма Гельфанда — Шнайдэра. Гэты вынік быў пашыраны Аланам Бэйкерам у 1960-х у яго працы аб ніжніх ацэнках для лінейных форм ад адвольнага ліку лагарыфмаў алгебраічных лікаў[9].

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Мноства трансцэндэнтных лікаў бесканечнае і, больш таго, незлічальнае. З таго, што мнагачлены з цэлымі каэфіцыентамі ўтвараюць злічальнае мноства, і кожны мнагачлен мае канечны лік нулёў, мноства алгебраічных лікаў таксама павінна быць злічальным. Але Кантараў дыяганальны доказ паказвае, што рэчаісных лікаў (і адсюль таксама камплексных лікаў) незлічальнае мноства; таму мноства ўсіх трансцэндэнтных лікаў таксама павінна быць незлічальным.

Сярод трансцэндэнтных лікаў няма рацыянальных, г. зн. усе рэчаісныя траснцэндэнтныя лікі ірацыянальныя. Рацыянальны лік можна запісаць як p/q, дзе p і q — цэлыя лікі. Відавочна, p/q ёсць корань мнагачлена qx − p = 0. Аднак, некаторыя ірацыянальныя лікі не з'яўляюцца трансцэндэнтнымі. Напрыклад, квадратны корань з 2 ірацыянальны, але не трансцэндэнтны (бо з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення x² − 2 = 0). Тое ж справядліва для квадратных каранёў з іншых лікаў, якія не з'яўляюцца поўнымі квадратамі.

Любая непастаянная алгебраічная функцыя ад аднае зменнай дае трансцэндэнтнае значэнне, калі яе аргумент — трансцэндэнтны лік. Напрыклад, ведаючы, што π — трансцэндэнтны лік, адразу ж можна сказаць, што такія лікі, як 5π, (π − 3)/√2, (√π − √3)8 і (π5 + 7)1/7, таксама трансцэндэнтныя.

Аднак, алгебраічная функцыя некалькіх зменных можа даваць алгебраічны лік пры трансцэндэнтных аргументах у тым выпадку, калі яны алгебраічна залежныя. Напрыклад, π і (1 − π) абодва трансцэндэнтныя, а вось π + (1 − π) = 1 відавочна не. Невядома, трансцэндэнтны лік π + e ці не, хаця прынамсі адзін з лікаў π + e і πe павінен быць трансцэндэнтным. Больш агульна, для любых двух трансцэндэнтных лікаў a і b, хоць адзін з лікаў a + b і ab будзе трансцэндэнтным. Каб убачыць гэта, разгледзім мнагачлен (xa)(xb) = x² − (a + b)x + ab. Калі (a + b) і ab абодва алгебраічныя, тады гэта будзе мнагачлен з алгебраічнымі каэфіцыентамі. З таго, што алгебраічныя лікі ўтвараюць алгебраічна замкнутае поле, вынікае, што карані мнагачлена, a і b, таксама будуць алгебраічнымі лікамі. Але гэта супярэчнасць, і таму хаця б адзін з каэфіцыентаў трансцэндэнтны.

Невылічальныя лікі ўтвараюць уласнае падмноства трансцэндэнтных лікаў.

Усе лікі Ліувіля трансцэндэнтныя, але не наадварот. Любы лік Ліувіля павінен мець неабмежаваныя няпоўныя дзелі ў раскладанні ў непарыўны дроб. Існуюць трансцэндэнтныя лікі, якія маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі і таму не з'яўляюцца лікамі Ліувіля. Гэта вынікае з таго, што лікі, чые непарыўныя дробы маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі, утвараюць незлічальнае мноства, тады як мноства алгебраічных лікаў злічальнае, і таму абавязкова знойдуцца неалгебраічныя (трасцэндэнтныя) лікі з абмежаванымі няпоўнымі дзелямі.

Карыстаючыся яўным відам раскладання ліку e ў непарыўны дроб, можна паказаць, што e — не лік Ліувіля (хоць няпоўныя дзелі ў яго непарыўным дробе неабмежаваныя). У 1953 годзе Курт Малер паказаў, што π — таксама не лік Ліувіля. Была выказана гіпотэза, што ўсе бесканечныя неперыядычныя непарыўныя дробы з абмежаванымі дзелямі прадстаўляюць трасцэндэнтныя лікі (перыядычныя непарыўныя дробы адпавядаюць квадратычным ірацыянальнасцям)[10].

Роднасны клас — лікі ў замкнёнай форме, якія можна вызначаць рознымі спосабамі, уключаючы рацыянальныя лікі (і ў некаторых азначэннях усе алгебраічныя лікі), але таксама дазваляюць ступеняванне і лагарыфмаванне.

Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю[правіць | правіць зыходнік]

Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю:

пастаянная Гельфанда — Шнайдэра (ці лік Гільберта).
  • sin(a), cos(a) і tan(a), а таксама csc(a), sec(a) і cot(a), для любога ненулявога алгебраічнага ліку a (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
  • ln(a), калі a — алгебраічны лік, не роўны 0 ці 1, для любой галіны лагарыфмічнай функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
  • W(a), калі a — ненулявы алгебраічны лік, для любой галіны Ламбертавай W-функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
  • Γ(1/3),[11] Γ(1/4),[12] and Γ(1/6).[12]
  • 0.12345678910111213141516…, сталая Чэмперноўна(англ.) бел.[13][14].
  • лік Ω, сталая Хайціна(англ.) бел. (бо гэта невылічымы лік)[15].
  • Лік Фрэдгольма[16][17]
больш агульна, любы лік віду
дзе 0 < |β| < 1, β — алгебраічны лік[18].
  • Вышэйназваная пастаянная Ліувіля
больш агульна, любы лік віду
дзе 0 < |β| < 1 і β алгебраічнае
дзе цэлая частка ліку β.

Лікі, пра якія невядома, трасцэндэнтныя яны ці не[правіць | правіць зыходнік]

Лікі, для якіх на сёння не даказана ні іх трансцэндэнтнасць, ні іх алгебраічнасць:

  • Большасць сум, здабыткаў, ступеней і пад. ліку π і ліку e. Напрыклад, для лікаў π + e, π − e, πe, π/e, ππ, ee, πe, π2, eπ² невядома, рацыянальныя яны, алгебраічныя ірацыянальныя ці трасцэндэнтныя. Вядомымі выключэннямі з'яўляюцца π + eπ, πeπ і eπ√n (для любога дадатнага цэлага n), для якіх было даказана, што яны трансцэндэнтныя[22][23].
  • Пастаянная Эйлера — Маскероні γ (не даказана нават яе ірацыянальнасць).
  • Пастаянная Каталана, для якой таксама невядома, ці ірацыянальная яна.
  • Пастаянная Аперы, ζ(3) (якая, як даказаў Аперы, з'яўляецца ірацыянальным лікам)
  • Рыманава дзэта-функцыя ў іншых няцотных натуральных пунктах, ζ(5), ζ(7), … (невядома, ірацыянальныя яны ці не.)
  • Сталыя Фейгенбаўма(англ.) бел., δ і α.

Гіпотэзы:

Накід доказу трасцэндэнтнасці ліку e[правіць | правіць зыходнік]

Першы доказ, што аснова натуральных лагарыфмаў, e, — трасцэндэнтны лік, адносіцца да 1873 года. Тут будзем ісці шляхам Давіда Гільберта (1862—1943), які спрасціў першапачатковы доказ Шарля Эрміта. Ідэя наступная:

Будзем даказваць ад процілеглага. Дапусцім, што лік e алгебраічны. Тады існуе канечны набор цэлых каэфіцыентаў c0, c1, …, cn, якія задавальняюць ураўненне:

Цяпер для натуральнага k, вызначым наступны мнагачлен:

і дамножым абедзве часткі вышэйпрыведзенага ўраўнення на

каб атрымаць ураўненне:

Гэта ўраўненне можна запісаць у выглядзе

дзе

Лема 1. Няхай цэлы лік k выбраны так, што k+1 — просты лік, тады — ненулявы цэлы лік.

Доказ. Пакажам, што кожны член у P з'яўляецца цэлым лікам, дамножаным на суму фактарыялаў. Гэта вынікае з наступных разважанняў.

Для любога натуральнага j справядліва роўнасць

(гл. Гама-функцыя).

У складніках віду

дзе a — цэлы лік, 0 < an, пад інтэгралам замест x падставім xa. Пасля замены вынесем з-пад інтэграла множнік e-a, пад інтэгралам застанецца здабытак паказчыкавай функцыі і мнагачлена fk(xa), які мае цэлыя каэфіцыенты і дзеліцца на xk+1. Такім чынам, P ператвараецца ў суму інтэгралаў віду

дзе k+1 ≤ j, і, такім чынам, гэта цэлы лік, які дзеліцца на (k+1)!. Пасля дзялення на k!, атрымліваем нуль па модулю (k+1).

Аднак, можна запісаць:

і адсюль для складніка з каэфіцыентам c0 атрымліваем

Выбіраючы k так, каб k+1 было простым лікам, большым за n і |c0|, атрымліваем, што не роўны нулю па модулю (k+1) і, такім чынам, ненулявы.

Лема 2. для дастаткова вялікага k.

Доказ. Заўважым, што

Усе сумножнікі ў правай частцы непарыўныя і абмежаваныя на адрэзку [0,n]. Таму існуюць такія велічыні G і H (незалежныя ад k), што для любых x на адрэзку [0,n] спраўджваюцца няроўнасці

Адсюль атрымліваем

З гранічнай роўнасці

вынікае, што

чаго дастаткова, каб завяршыць доказ лемы.

Заўважаючы, што k можна выбраць так, каб спраўджваліся абедзве лемы, атрымліваем супярэчнасць, неабходную, каб даказаць трасцэндэнтнасць ліку e.

Трасцэндэнтнасць ліку π[правіць | правіць зыходнік]

Падобны падыход (у першапачатковым Ліндэманавым доказе выкарыстоўваўся іншы) можна выкарыстаць, каб паказаць, что лік π трансцэндэнтны. Акрамя таго, у доказе важную ролю адыгрываюць гама-функцыя і некаторыя ацэнкі (як і ў доказе для e), а таксама факты аб сіметрычных мнагачленах.

Больш падрабязныя звесткі пра доказы трансцэндэнтнасці π і e гл. у спасылках на крыніцы і сеціўныя рэсурсы.

Класіфікацыя Малера[правіць | правіць зыходнік]

У 1932 годзе Курт Малер раздзяліў усе трасцэндэнтныя лікі на 3 класы, названыя S, T, і U[24]. Вызначэнне гэтых класаў заснавана на пашырэнні ідэі лікаў Ліувіля (згаданых вышэй).

Мера ірацыянальнасці рэчаіснага ліку[правіць | правіць зыходнік]

Адзін са спосабаў вызначыць лік Ліувіля — разгледзець, наколькі малымі зададзены рэчаісны лік x робіць лінейныя мнагачлены |qx − p|, не зануляючы іх. Тут p, q — цэлыя лікі, такія што |p|, |q| абмежаваныя дадатным цэлым H.

Няхай m(x, 1, H) — найменшае ненулявое абсалютнае значэнне, якое прымаюць гэтыя мнагачлены. Возьмем:

ω(x, 1) часта называецца мераю ірацыянальнасці рэчаіснага ліку x. Для рацыянальных лікаў, ω(x, 1) = 0, для ірацыянальных жа лікаў яна не меншая за 1. Лікі Ліувіля вызначаны так, што іх мера ірацыянальнасці бесканечная. Тэарэма Рота(англ.) бел. сцвярджае, што ірацыянальныя рэчаісныя алгебраічныя лікі маюць меру ірацыянальнасці 1.

Мера трансцэндэнтнасці камплекснага ліку[правіць | правіць зыходнік]

Далей разгледзім значэнні мнагачленаў у камплексным пункце x, калі гэтыя мнагачлены маюць цэлыя каэфіцыенты, ступень не больш за n, і вышыню не больш за H, дзе n і H — натуральныя лікі.

Няхай m(x,n,H) — найменшае ненулявое абсалютнае значэнне, якое такія мнагачлены прымаюць у пункце x. Прымем:

Дапусцім, гэта раўняецца бесканечнасці для некаторага найменшага натуральнага n. Камплексны лік x у гэтым выпадку называецца U-лікам ступені n.

Цяпер можна вызначыць велічыню

ω(x) часта называецца мераю трансцэндэнтнасці ліку x. Калі ω(x,n) абмежаваныя, тады ω(x) канечная, і x называецца S-лікам. Калі велічыні ω(x,n) канечныя, але неабмежаваныя, x называецца T-лікам. Лік x алгебраічны, калі і толькі калі ω(x) = 0.

Відавочна, лікі Ліувіля з'яўляюцца падмноствам U-лікаў. Уільям ЛеВекью (англ.: William LeVeque) у 1953 годзе пабудаваў U-лікі адвольнай ступені[25][26]. Лікі Ліувіля і, такім чынам, U-лікі з'яўляюцца незлічальнымі мноствамі. Лебегава мера гэтых мностваў раўняецца нулю[27].

T-лікі таксама складаюць мноства меры 0[28]. Спатрэбілася каля 35 год, каб паказаць, што яны існуюць. Вольфганг Шміт у 1968 годзе паказаў, што прыклады такіх лікаў існуюць. Такім чынам, атрымліваецца, што амаль усе камплексныя лікі з'яўляюцца S-лікамі[29]. Малер даказаў, што паказчыкавая функцыя пераводзіць усе ненулявыя алгебраічныя лікі ў S-лікі[30][31]: гэта паказвае, што e ёсць S-лік, і дае доказ трансцэндэнтнасці ліку π. Амаль усё, што вядома пра лік π, — гэта тое, што ён не U-лік. Многія іншыя трансцэндэнтныя лікі застаюцца некласіфікаванымі.

Два лікі x і y называюцца алгебраічна залежнымі, калі існуе ненулявы мнагачлен P ад 2 невядомых з цэлымі каэфіцыентамі, такі што P(xy) = 0. Ёсць моцная тэарэма, якая сцвярджае: калі два камплексныя лікі алгебраічна залежныя, то яны належаць аднаму Малераваму класу[26][32]. Гэта дазваляе будаваць новыя трансцэндэнтныя лікі, такія як сума ліку Ліувіля з e ці π.

Часта мяркуюць, што S абазначае імя Малеравага настаўніка Карла Людвіга Зігеля, а T і U — проста дзве наступныя літары.

Эквівалентная класіфікацыя Коксмы[правіць | правіць зыходнік]

Юр'ен Коксма ў 1939 прапанаваў іншую класіфікацыю, заснаваную на прыбліжэнні алгебраічнымі лікамі[24][33].

Разгледзім прыбліжэнне камплекснага ліку x алгебраічнымі лікамі ступені ≤ n і вышыні ≤ H. Няхай α — алгебраічны лік з гэтага канечнага мноства, такі што |x − α| мае найменшае дадатнае значэнне. Вызначым ω*(x,H,n) і ω*(x,n) паводле суадносін:

Калі для некаторага найменшага натуральнага n велічыня ω*(x,n) бесканечная, x называецца U*-лікам ступені n.

Калі велічыні ω*(x,n) абмежаваныя і пры нарастанні n не збягяюцца да 0, x называецца S*-лікам,

Лік x называецца A*-лікам, калі ω*(x,n) збягаецца да 0 пры імкненні n да бесканечнасці.

Калі велічыні ω*(x,n) ўсе канечныя, але неабмежаваныя, x называецца T*-лікам.

Класіфікацыі Коксмы і Малера эквівалентныя ў тым, што яны падзяляюць трансцэндэнтныя лікі на тыя самыя класы[33]. A*-лікі — гэта алгебраічныя лікі[29].

Канструкцыя ЛеВекью[правіць | правіць зыходнік]

Няхай

Можна паказаць, што корань n-ай ступені з λ (ліку Ліувіля) з'яўляецца U-лікам ступені n[34].

Гэту канструкцыю можна палепшыць, каб пабудаваць незлічальнае сямейства U-лікаў ступені n. Няхай Z — мноства, якое складаецца з усіх ступеней дзясяткі ў вышэйпрыведзеным радзе для λ. Мноства ўсіх падмностваў Z незлічальнае. Выдаленне любога з падмностваў мноства Z з рада для λ стварае незлічальна многа розных лікаў Ліувіля, чые карані n-й ступені з'яўляюцца U-лікамі ступені n.

Тып[правіць | правіць зыходнік]

Дакладная верхняя мяжа паслядоўнасці {ω(xn)} называецца тыпам. Амаль усе рэчаісныя лікі з'яўляюцца S-лікамі тыпу 1, які з'яўляецца найменшым для рэчаісных S-лікаў. Амаль усе камплексныя лікі з'яўляюцца S-лікамі тыпу 1/2, які таксама найменшы для камплексных S-лікаў. Сцвярджэнне для амаль усіх лікаў было сфармулявана Малерам (т. зв. праблема Малера) і ў 1965 годзе даказана Уладзімірам Спрынджуком[25].

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Gottfried Wilhelm Leibniz, Karl Immanuel Gerhardt, Georg Heinrich Pertz (1858). Leibnizens mathematische Schriften. 5. A. Asher & Co.. pp. 97–98. [1]
  2. Nicolás Bourbaki (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. p. 74. 
  3. Paul Erdős, Underwood Dudley (December 1943). "Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler". Mathematics Magazine 76 (5): 292–299. doi:10.2307/2690369. 
  4. Aubrey J. Kempner (October 1916). "On Transcendental Numbers". Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 17 (4): 476–482. doi:10.2307/1988833. 
  5. Weisstein, Eric W. «Liouville's Constant», MathWorld
  6. J. Liouville (1851). "Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques". J. Math. Pures et Appl. 16: 133–142. http://www-mathdoc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A5_0.pdf. 
  7. Georg Cantor (1874). "Über eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen". J. Reine Angew. Math. 77: 258–262. http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583. 
  8. Georg Cantor (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre". J. Reine Angew. Math. 84: 242–258. http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15.  (Кантарава канструкцыя дае ўзаемнаадназначную адпаведнасць паміж мноствам трансцэндэнтных лікаў і мноствам рэчаісных лікаў. У гэтым артыкуле Кантар толькі прымяняе сваю канструкцыю да мноства ірацыянальных лікаў. Гл. с. 254.)
  9. J J O'Connor and E F Robertson: Alan Baker. The MacTutor History of Mathematics archive 1998.
  10. Boris Adamczewski and Yann Bugeaud (March 2005). "On the complexity of algebraic numbers, II. Continued fractions". Acta Mathematica 195 (1): 1–20. doi:10.1007/BF02588048. 
  11. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  12. 12,0 12,1 Chudnovsky, G. V. (1984). Contributions to the Theory of Transcendental Numbers. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1500-8.  via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  13. K. Mahler (1937). "Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen". Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. (40): 421–428. 
  14. Mahler (1976) p.12
  15. Information and Randomness: An Algorithmic Perspective. Texts in Theoretical Computer Science (2nd rev. and ext. ed.). Springer-Verlag. 2002. p. 239. ISBN 3-540-43466-6. 
  16. Allouche & Shallit (2003) pp.385,403
  17. Shallit, Jeffrey (1999). "Number theory and formal languages". in Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C. et al.. Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15--26, 1996. The IMA volumes in mathematics and its applications. 109. Springer-Verlag. pp. 547–570. ISBN 0-387-98824-6. 
  18. Loxton, J. H. (1988). "13. Automata and transcendence". in Baker, A.. New Advances in Transcendence Theory. Cambridge University Press. pp. 215–228. ISBN 0-521-33545-0. 
  19. Mahler, Kurt (1929). "Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen". Math. Annalen 101: 342–366. 
  20. Allouche & Shallit (2003) p.387
  21. Pytheas Fogg, N. (2002). Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics. 1794. Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A.. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. 
  22. Weisstein, Eric W. Irrational Number(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
  23. Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319
  24. 24,0 24,1 Bugeaud (2012) p.250
  25. 25,0 25,1 Baker (1975) p. 86.
  26. 26,0 26,1 LeVeque (2002) p.II:172
  27. Burger and Tubbs, p. 170.
  28. Burger and Tubbs, p. 172.
  29. 29,0 29,1 Bugeaud (2012) p.251
  30. LeVeque (2002) pp.II:174-186
  31. Burger and Tubbs, p. 182.
  32. Burger and Tubbs, p. 163.
  33. 33,0 33,1 Baker (1975) p.87
  34. Baker(1979), p. 90.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. — 1983. — № 7. — С. 2—7.
  • David Hilbert, «Über die Transcendenz der Zahlen e und », Mathematische Annalen 43:216-219 (1893).
  • A. O. Gelfond, Transcendental and Algebraic Numbers, Dover reprint (1960).
  • Baker, Alan (1975). Transcendental Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20461-5. 
  • Mahler, Kurt (1976). Lectures on Transcendental Numbers. Lecture Notes in Mathematics. 546. Springer-Verlag. ISBN 3-540-07986-6. 
  • Sprindzhuk, Vladimir G. (1979). Metric theory of Diophantine approximations. Scripta Series in Mathematics. Transl. from the Russian and ed. by Richard A. Silverman. With a foreword by Donald J. Newman. John Wiley & Sons. 
  • LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42539-9. 
  • Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82332-6. 
  • Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (2004). Making transcendence transparent. An intuitive approach to classical transcendental number theory. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-21444-5. 
  • Peter M Higgins, «Number Story» Copernicus Books, 2008, ISBN 978-1-84800-001-8.
  • Bugeaud, Yann (2012). Distribution modulo one and Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics. 193. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11169-0. 

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]