Умоўнае размеркаванне імавернасцей

Умоўнае размеркаванне імавернасцей — размеркаванне выпадковай велічыні пры ўмове, што здзейснілася некаторая выпадковая падзея.

Азначэнне

Параўнанне шчыльнасці і ўмоўнай шчыльнасці (зверху), а таксама функцыі размеркавання і ўмоўнай функцыі размеркавання (знізу). Для прыкладу ўзята нармальнае размеркаванне і яно ж пры ўмове $X>0.$

Умоўная функцыя размеркавання

Умоўнай функцыяй размеркавання велічыні $X$ адносна падзеі $A$ называецца функцыя

$F_{X}(x|A):={\frac {P(\{X<x\}\cap A)}{P(A)}},$

азначаная, калі $P(A)>0$.

Умоўная шчыльнасць размеркавання

Калі $F_{X}(x|A)$ абсалютна непарыўная, то існуе такая функцыя $f_{X},$ для якой выконваецца роўнасць

$F_{X}(x|A)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t|A)dt.$

Гэтая функцыя завецца ўмоўнай шчыльнасцю размеркавання.

Для ўмоўнай шчыльнасці і функцыі размеркавання выконваюцца тыя ж уласцівасці, што і для звычайных шчыльнасці і фукнцыі размеркавання.

Умоўныя моманты выпадковай велічыні

Умоўнымі момантамі выпадковай велічыні называюцца моманты, вылічаныя на ўмоўнай функцыі размеркавання.

Адзін з такіх момантаў — умоўнае матэматычнае спадзяванне, што задаецца формулай

$\mathbb {E} [X|A]=\int _{\mathbb {R} }xdF_{X}(x|A).$

Калі выпадковая велічыня $X:\Omega \to \mathbb {R}$ зададзена на імавернаснай прасторы $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, то ўмоўнае матэматычнае спадзяванне можна запісаць як

$\mathbb {E} [X|A]={\frac {1}{P(A)}}\int _{A}X(\omega )dP(\omega ).$

Гл. таксама

• Умоўная імавернасць
• Ссечанае размеркаванне

Літаратура

• Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.