Перайсці да зместу

Умоўная імавернасць

З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі

Умоўная імавернасць — імавернасць здзяйснення пэўнай выпадковай падзеі пры ўмове таго, што некаторая іншая падзея здзейснілася.

Ілюстрацыя ўмоўнай імавернасці праз дыяграму Эйлера[en]. Імавернасць P(A) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52. Пры гэтым умоўная імавернасць P(A|B1) = 1, P(A|B2) = 0.12 ÷ (0.12 + 0.04) = 0.75 і P(A|B3) = 0.

Няхай для некаторай падзеі выконваецца . Умоўнай імавернасцю падзеі пры ўмове, што адбылася падзея (карацей «пры ўмове »), называецца дзель[1]:33

Часам умоўную імавернасць пазначаюць як .

Адпаведнасць аксіёмам Калмагорава

[правіць | правіць зыходнік]

Няхай  — імавернасная прастора, а  — падзея з дадатнай імавернасцю. Умоўная імавернасць вызначае новую імавернасную прастору , дзе σ-алгебра Такая імавернасная прастора адпавядае аксіёмам тэорыі імавернасцей[1]:33-34.

Доказ адпаведнасці

[правіць | правіць зыходнік]

Пакажам што выконваюцца аксіёмы неадмоўнасці і нармаванасці:

Дакажам выкананне аксіёмы адытыўнасці. Няхай і . Існуюць такія, што . Маем

Возьмем паслядоўнасць , для якой , дзе ўсе , г.зн. існуюць , такія, што . Адсюль маем

Асноўныя палажэнні з умоўнай імавернасцю

[правіць | правіць зыходнік]

Умоўная імавернасць выкарыстоўваецца ў шэрагу важных для тэорыі імавернасцей палажэнняў.

Тэарэма множання імавернасцей

[правіць | правіць зыходнік]

Дамнажаючы абодва бакі ў азначэнні ўмоўнай імавернасці атрымліваем формулу для здабытку падзей Гэтую роўнасць называюць тэарэмай множання імавернасцей[1]:34-36. Існуе таксама яе версія для канечнага мноства падзей , для якіх выконваецца няроўнасць :

Формула поўнай імавернасці

[правіць | правіць зыходнік]

Калі  — поўная група падзей і для ўсіх , то для кожнай падзеі справядліва роўнасць

У формуле поўнай імавернасці падзеі завуцца гіпотэзамі. Імавернасць завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць пры выкананні гіпотэзы »[1]:37.

Тэарэма Баеса

[правіць | правіць зыходнік]

Калі  — поўная група падзей і ўсе , а  — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то[1]:39

Зноскі

  1. а б в г д Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.