Франка Армані нарадзіўся ў правінцыі Буэнас-Айрэс, але футболам пачаў займацца ў маладзёжнай акадэміі клуба з Расарыа «Сентраль Кордава». Пасля займаўся ў акадэміі «Эстудыянтэса» з Ла-Платы, а на прафесійным узроўні дэбютаваў у другім аргенцінскім дывізіёне (Пымера B Насьёналь) у 2006 годзе ў складзе сталічнага «Феракарыль Аэстэ». З дзяцінства Франка з’яўляецца заўзятарам іншага клуба з Буэнас-Айрэса — «Рывер Плэйта».
У сезоне 2009/10 Франка Армані стаў адным з асноўных гульцоў у складзе «Дэпартыва Мерла» і, нягледзячы на тое, што каманда выступала толькі ў Другім дывізіёне Аргенціны, гульня варатара прыцягнула ўвагу самага тытулаванага калумбійскага клуба — «Атлетыка Насьёналя». У тым жа годзе калумбійскі гранд набыў Армані, якому ў першыя тры гады прыйшлося змагацца за месца ў аснове. Толькі з 2013 года Армані паступова стаў асноўным варатаром каманды, а з 2015 года аргенцінец толькі зрэдку пачаў саступаць месца ў варотах сваім партнёрам па камандзе. У 2014 годзе Армані ўстанавіў рэкорд чэмпіянату Калумбіі — 1046 хвілін без прапушчаных галоў запар.
З «Атлетыка Насьёналем» Армані пяць разоў станавіўся чэмпіёнам Калумбіі, двойчы заваёўваў Кубак краіны.
У розыгрышы Кубка Лібертадорэс 2016 года Армані разам з камандай не прапусціў на групавой стадыі ніводнага мяча і ў выніку дапамог сваёй камандзе выйграць турнір. У 2017 годзе Армані перайшоў у «Рывер Плэйт». У 2018 годзе правёў усе матчы сваёй каманды ў розыгрышы Кубка Лібертадорэс і зноў стаў уладальнікам трафея.
Аргенціна
Рывер Плэйт
Медыяфайлы на Вікісховішчы
