Асноўнае ўраўненне кінетычнай тэорыі

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Асно́ўнае ўраўне́нне кінеты́чнай тэо́рыі — ураўненне, якое вызначае сувязь між ціскам ідэальнага газу і сярэдняй кінетычнай энергіяю яго часціц:

p = \frac{\rho {\bar v}^2} 3

дзе \rho — шчыльнасць газа; <v> — сярэднеквадратычная хуткасць руху яго малекул.

Вывад[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім ідэальны газ, які знаходзіцца ў зачыненым сасудзе, які мае форму паралелепіпеда са сценкамі плошчы S, адлегласць між якімі складае l.

Сутыкненні малекул са сценкамі з'яўляюцца пругкімі. Гэта значыць, што малекулы захоўваюць сваю хуткасць, яле змяняюць яе напрамак на супрацьлеглы (дакладней, змяняецца на супрацьлеглую велічыня праекцыі вектара хуткасці v_{x_i} на напрамак нармалі да сценкі. Змяненне імпульса малекулы пры гэтым складае

\Delta p_i = 2 m_i v_{x_i}

дзе m_i — маса малекулы.

Сутыкненні малекулы са сценкай адбываюцца праз час

\Delta t_i = \frac {2 l} v_{x_i}

Адсюль вынікае, што сярэдняя сіла, з якой малекула ўздзейнічае на сценку, складае

F_i = \frac {\Delta p_i} {\Delta t_i} = \frac {m_i v_{x_i}^2} l

Агульная сіла ўздзеяння газу на сценку складаецца з N складнікаў, дзе N — колькасць малекул у сасудзе.

F = \sum \limits_{i=1}^N F_i = \sum \limits_{i=1}^N \frac {m_i v_{x_i}^2} l = \frac {m_i} l \sum \limits_{i=1}^N {v_{x_i}^2} = \frac {N m_i {\bar v_x}^2} l

дзе \bar v_x — сярэднеквадратычная хуткасць руху малекул па восі x.

Калі выразіць колькасць малекул праз іх канцэнтрацыю n (колькасць, аднесеную да аб'ёму), атрымаем

F = \frac {n V m_i {\bar v_x}^2} l = n S m_i {\bar v_x}^2 = \rho S {\bar v_x}^2

дзе V — аб'ём сасуда, \rho — шчыльнасць газу.

Паколькі ціск — гэта сіла, аднесеная да плошчы, то

p = \rho {\bar v_x}^2

Паколькі \bar v_x = \bar v_y = \bar v_z і, у той жа час, {\bar v_x}^2 + {\bar v_y}^2 + {\bar v_z}^2 = {\bar v}^2, то {\bar v_x}^2 = {\bar v_y}^2 = {\bar v_z}^2 = \frac {{\bar v}^2} 3

Такім чынам,

p = \frac {\rho {\bar v}^2} 3

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]