Дыферэнцыял функцыі
Дыферэнцыял (лац.: Differentia - рознасць, адрозненне) - лінейная частка прырашчэння функцыі.
Гісторыя
[правіць | правіць зыходнік]Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам. Першапачаткова ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» - велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.
Абазначэнні
[правіць | правіць зыходнік]Звычайна дыферэнцыял функцыі пазначаецца . Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з'яўляецца аператарам.
Дыферэнцыял ў кропцы пазначаецца , а часам , а таксама , калі значэнне ясна з кантэксту.
Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы ад можа пазначацца як , а часам , а таксама , калі значэнне ясна з кантэксту.
Выкарыстанне знака дыферэнцыяла
[правіць | правіць зыходнік]- Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла . Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
- Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай . Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі і аналагічнай функцыі верныя суадносіны
- :
Вызначэнне
[правіць | правіць зыходнік]Для функцый
[правіць | правіць зыходнік]Дыферэнцыял функцыі у кропцы можа быць вызначаны як лінейная функцыя
дзе абазначае вытворную у кропцы .
Такім чынам ёсць функцыя двух аргументаў .
Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя , якая лінейна залежыць ад , і для якой верныя наступныя суадносіны
Для адлюстраванняў
[правіць | правіць зыходнік]Дыферэнцыялам адлюстравання у кропцы называюць лінейны аператар такі, што выконваецца ўмова
Звязаныя вызначэння
[правіць | правіць зыходнік]- Адлюстраванне называецца дыферэнцуемым у кропцы калі вызначаны дыферэнцыял.
Уласцівасці
[правіць | правіць зыходнік]- Матрыца лінейнага аператара роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з'яўляюцца частковыя вытворныя.
- *Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.
- Дыферэнцыял функцыі звязаны з яе градыентам наступнымі вызначальнымі суадносінамі
- Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з'яўляюцца узаемазваротнымі.
Варыяцыі і абагульненні
[правіць | правіць зыходнік]- Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
- Знешні дыферэнцыял
- Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)
- Вытворная Пеано
- Вытворная Фрэшэ
Літаратура
[правіць | правіць зыходнік]- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»