Градыент

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Аперацыя градыента пераўтварае пагорак (злева), калі глядзець на яго зверху, у поле вектараў (справа). Відаць, што вектары накіраваны «ў горку» і тым даўжэйшыя, чым круцейшы нахіл.

У вектарным злічэнні градые́нт скалярнага полявектарнае поле, якое ўказвае напрамак найхутчэйшага нарастання скалярнага поля, а амплітуда гэтага поля ёсць хуткасць нарастання. У дэкартавых каардынатах градыент роўны вектару частковых вытворных функцыі па адпаведных каардынатах.

Напрыклад, калі ўзяць у якасці вышыню паверхні зямлі над узроўнем мора, то яе градыент у кожным пункце будзе паказваць «напрамак самага крутога пад'ёму», а сваёю велічынёй характарызаваць крутасць схілу.

З матэматычнага пункту гледжання градыент — гэта вытворная скалярнай функцыі, вызначанай на вектарнай прасторы.

Прастора, на якой вызначана функцыя і яе градыент, можа быць, увогуле кажучы, як звычайнай трохмернай прасторай, так і прасторай любой іншай размернасці і любой фізічнай прыроды, ці чыста абстрактнай.

Тэрмін упершыню з'явіўся ў метэаралогіі, а ў матэматыку быў уведзены Максвелам у 1873 г. Абазначэнне grad таксама прапанаваў Максвел.

Стандартныя абазначэнні:

або, з выкарыстаннем аператара набла,

— замест можа быць любое скалярнае поле, абазначанае любою літарай, напрыклад — абазначэнне градыента поля V.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

У выпадку трохмернай прасторы градыентам скалярнай функцыі каардынат , , называецца вектарная функцыя з кампанентамі

Абазначыўшы адзінкавыя вектары (орты) па восях прамавугольных дэкартавых каардынат як градыент можна запісаць у выглядзе:

Калі — функцыя зменных то яе градыентам называецца -мерны вектар

кампаненты якога роўныя частковым вытворным па яе адпаведных аргументах.

  • Размернасць вектара градыента поля вызначаецца, такім чынам, размернасцю прасторы (ці мнагастайнасці), на якой зададзена гэта скалярнае поле.
  • Аператарам градыента (які звычайна абазначаюць як або ) называецца аператар, дзеянне якога на скалярную функцыю (поле) дае яе градыент. Гэты аператар іншы раз называюць проста "градыентам".

Сэнс градыента любой скалярнай функцыі у тым, што яго скалярны здабытак з бесканечна малым вектарам перамяшчэння дае поўны дыферэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным змяненні каардынат у прасторы, на якой вызначана , г. зн. лінейную (у выпадку агульнага становішча яна ж галоўная) частку змянення пры перамяшчэнні на . Прымяняючы адну і тую ж літару для абазначэння функцыі ад вектара і адпаведнай функцыі ад яго каардынат, можна напісаць:

Варта тут заўважыць, што раз формула поўнага дыферэнцыяла не залежыць ад віду каардынат , г.зн. ад прыроды параметраў x увогуле, то атрыманы дыферэнцыял з'яўляецца скалярным інварыянтам пры любых пераўтварэннях каардынат, а раз — гэта вектар, то градыент, вылічаны звычайным спосабам, аказваецца каварыянтным вектарам, г.зн. вектарам, прадстаўленым у дуальным базісе, які толькі і можа даць скаляр пры простым складанні здабыткаў каардынат звычайнага (контраварыянтнага), г.зн. вектарам, запісаным у звычайным базісе. Такім чынам, выраз (увогуле кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

ці, апускаючы згодна з правілам Эйнштэйна знак сумы,

(у ортанарміраваным базісе мы можам пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі вышэй). Аднак градыент аказваецца сапраўдным каварыянтным вектарам у любых крывалінейных каардынатах.

Прыклад[правіць | правіць зыходнік]

Напрыклад, градыент функцыі будзе роўны:

У фізіцы[правіць | правіць зыходнік]

У розных галінах фізікі выкарыстоўваецца паняцце градыента розных фізічных палёў.

Напрыклад, напружанасць электрастатычнага поля ёсць мінус градыент электрычнага патэнцыялу, напружанасць гравітацыйнага поля (паскарэнне свабоднага падзення) у класічнай тэорыі гравітацыі ёсць мінус градыент гравітацыйнага патэнцыялу. Кансерватыўная сіла ў класічнай механіцы ёсць мінус градыент патэнцыяльнае энергіі.

У прыродазнаўчых навуках[правіць | правіць зыходнік]

Паняцце градыента прымяняецца не толькі ў фізіцы, але і ў сумежных і нават параўнальна далёкіх ад фізікі навуках (іншы раз гэта прымяненне мае колькасны, а часам і проста якасны характар).

Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастанне ці спаданне па якім-небудзь напрамку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпературы — павелічэнне ці памяншэнне па якім-небудзь напрамку тэмпературы асяроддзя і пад.

Градыент такіх велічынь можа быць выкліканы рознымі прычынамі, напрыклад, механічнаю перашкодаю, дзеяннем электрамагнітных, гравітацыйных ці іншых палёў або адрозненнямі ў растваральнай здольнасці пагранічных фаз.

Геаметрычны сэнс[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі :

Няцяжка паказаць, што градыент функцыі у кропцы перпендыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэту кропку. Модуль градыента паказвае найбольшую скорасць змянення функцыі ў наваколлі , г.зн. частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні рысуюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыента паказвае крутасць спуску ці пад'ёму ў дадзенай кропцы.

Сувязь з вытворнаю па напрамку[правіць | правіць зыходнік]

Прымяняючы правіла дыферэнцавання складанай функцыі, няцяжка паказаць, што вытворная функцыі па напрамку раўняецца скалярнаму здабытку градыента на адзінкавы вектар :

Такім чынам, для вылічэння вытворнай па любым напрамку дастаткова знаць градыент функцыі, то бок вектар, кампаненты якога з'яўляюцца яе частковымі вытворнымі.

Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах[правіць | правіць зыходнік]

дзе каэфіцыенты Ламе.

Палярныя каардынаты (на плоскасці)[правіць | правіць зыходнік]

Каэфіцыенты Ламе:

Адсюль:

Цыліндрычныя каардынаты[правіць | правіць зыходнік]

Каэфіцыенты Ламе:

Адсюль:

Сферычныя каардынаты[правіць | правіць зыходнік]

Каэфіцыенты Ламе:

Адсюль:

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30