Сіметрычны мнагачлен

Сіметры́чны мнагачле́н — мнагачлен ад n зменных $F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$, які не мяняе выгляду пры любых перастаноўках сваіх зменных. Інакш кажучы, калі адвольным чынам перанумараваць зменныя, сіметрычны мнагачлен застанецца тым жа.

Элементарныя сіметрычныя мнагачлены

Элементарныя сіметрычныя мнагачлены — мнагачлены віду

$\sigma _{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}x_{j_{1}}\dots x_{j_{k}},$

вызначаныя для $k=1,2\ldots n$, г.зн. такія:

${\begin{array}{lcr}\sigma _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\\\sigma _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}+{x_{1}}{x_{3}}+\cdots +{x_{n-1}}{x_{n}}\\&\cdots &\\\sigma _{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-1}}+{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-2}}{x_{n}}+\cdots +{x_{2}}{x_{3}}\ldots {x_{n}}\\\sigma _{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n}}\\\end{array}}$

Прыклады

• Дыскрымінант — мнагачлен віду

  $D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2},$

  дзе $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ — карані нейкага мнагачлена ад аднае зменнай:

  $p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}.$

• Ступенныя сумы — сумы аднолькавых ступеней зменных, г.зн.

  $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }$

Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў

Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў сцвярджае:

Любы сіметрычны мнагачлен можна прадставіць адназначным чынам у выглядзе мнагачлена ад элементарных сіметрычных мнагачленаў.

Гл. таксама

• Дыскрымінант
• Сіметрычная група

Літаратура

• Э. Б. Винберг. Курс алгебры.. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — С. 127--134.
• З. Б. Райхштейн Тождества Ньютона и математическая индукция // Математическое просвещение. — 2000. — В. 4. — С. 204–205.