Формулы Віета

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Формулы Віета — формулы, якія выражаюць каэфіцыенты мнагачлена праз яго карані.

Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для састаўлення мнагачлена па зададзеных каранях.

Фармулёўка[правіць | правіць зыходнік]

Калі — карані мнагачлена

(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты выражаюцца ў выглядзе сіметрычнага мнагачлена ад каранёў, а менавіта:

Інакш кажучы, роўнае суме ўсіх магчымых здабыткаў з каранёў:

Калі старшы каэфіцыент мнагачлена , то для прымянення формулы Віета неабходна спачатку падзяліць усе каэфіцыенты на (гэта не ўплывае на значэнне каранёў мнагачлена). У гэтым выпадку формулы Віета даюць выраз для адносін усіх каэфіцыентаў да старшага. З апошняй формулы Віета вынікае, што калі карані мнагачлена цэлалікавыя, то яны з'яўляюцца дзельнікамі яго свабоднага члена, які пры гэтым таксама цэлалікавы.

Доказ[правіць | правіць зыходнік]

Доказ вынікае з роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы,

Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях (тэарэма адзінасці), атрымліваем формулы Віета.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Квадратнае ўраўненне[правіць | правіць зыходнік]

Калі і — карані квадратнага ўраўнення ,то

У асобным выпадку, калі (прыведзеная форма ), то

Кубічнае ўраўненне[правіць | правіць зыходнік]

Калі — карані кубічнага ўраўнення то

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]