Формулы Віета — формулы, якія выражаюць каэфіцыенты мнагачлена праз яго карані.
Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для састаўлення мнагачлена па зададзеных каранях.
Калі
— карані мнагачлена
![{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833f54cbf040856b0d5bab2c89c2ad2168973963)
(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты
выражаюцца ў выглядзе сіметрычнага мнагачлена ад каранёў, а менавіта:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a_{1}&=&-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=&c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_{3}&=&-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),\\&&\ldots \\a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=&(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab866a407bec9115d495e6a1277a3a760f0edfe)
Інакш кажучы,
роўнае суме ўсіх магчымых здабыткаў з
каранёў:
![{\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}\sum _{1\leq i_{1}\leq \dots \leq i_{k}\leq n}c_{i_{1}}\dots c_{i_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20ec7d1b8072d8a9fc30006870bed6c560d9920)
Калі старшы каэфіцыент мнагачлена
, то для прымянення формулы Віета неабходна спачатку падзяліць усе каэфіцыенты на
(гэта не ўплывае на значэнне каранёў мнагачлена). У гэтым выпадку формулы Віета даюць выраз для адносін усіх каэфіцыентаў да старшага. З апошняй формулы Віета вынікае, што калі карані мнагачлена цэлалікавыя, то яны з'яўляюцца дзельнікамі яго свабоднага члена, які пры гэтым таксама цэлалікавы.
Доказ вынікае з роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы,
![{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a68649b44e2e30e8f305ee1c493dd15cc2841d)
Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях
(тэарэма адзінасці), атрымліваем формулы Віета.
Калі
і
— карані квадратнага ўраўнення
,то
![{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2aa22130475837f15dc5cc3b589dd4e4fd5c26)
У асобным выпадку, калі
(прыведзеная форма
), то
![{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a84d49f96f65cdbe1eaef9bf8a8f320d3618bb)
Калі
— карані кубічнага ўраўнення
то
![{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}},\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19fbd3534750ff0e4ba569572d50108f46ae8f3)
![⛭](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Ураўненні па ступенях | |
---|
Іншае | |
---|
Асноўныя паняцці | |
---|
Тэарэмы | |
---|