Фармалізм Гамільтана — Якобі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Класічная механіка

Другі закон Ньютана
Гісторыя…
Гл. таксама «Фізічны партал»


У фізіцы і матэматыцы, ўраўненнем ГамільтанаЯкобі называецца ўраўненне наступнага выгляду

Тут S пазначае класічнае дзеянне, - гамільтаныян, — абагульненыя каардынаты.

Непасрэдна адносіцца да класічнай (не квантавай) механікі, аднак добра прыстасаваны для ўстанаўлення сувязі паміж класічнай механікай і квантавай, так як яго можна, напрыклад, атрымаць практычна прама з ураўнення Шродзінгера ў набліжэнні хуткааскулюючай хвалевай функцыі (вялікіх частот і хвалевых лікаў).

У класічнай механіцы ўзнікае звычайна з спецыяльнага кананічнага пераўтварэнні класічнага гамільтаныяна, якое прыводзіць да гэтага нелінейнага дыферэнцыйнага ўраўнення першага парадку, рашэнне якога апісвае паводзіны дынамічнай сістэмы.

Варта адрозніваць ураўненне Гамільтана — Якобі ад ураўненняў руху Гамільтана і Эйлера — Лагранжа. Хоць гэтае ўраўненне і выводзіцца з іх, але ўяўляе сабой адно ўраўненне, якое апісвае дынаміку механічнай сістэмы з любой колькасцю ступеняў свабоды s, у адрозненне ад 2s ўраўненняў Гамільтана і s ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Ураўненне Гамільтана — Якобі дапамагае элегантна вырашыць задачу Кеплера.

Кананічнае пераўтварэнне[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненне Гамільтана — Якобі неадкладна вынікае з таго факту, што для любой функцыі S (q, p',t) (грэбуючы індэксамі), ўраўненні руху не змяняюцца для H (q, p, t) і H' (q', p', t)

Новыя ўраўненні руху становяцца

Ураўненне Гамільтана — Якобі з'яўляецца з спецыфічнай функцыі S, якая робіць H' роўным нулю. У гэтым выпадку ўсе яго вытворныя роўныя нулю і

Такім чынам, у штрыхаванай сістэме каардынат сістэма цалкам стацыянарна ў фазавай прасторы. Аднак, мы яшчэ не вызначылі, пры дапамозе функцыі S дасягаецца пераўтварэнне ў штрыхаванаю сістэму каардынат. Мы выкарыстоўваем той факт, што

Паколькі ўраўненне (1) дае можна запісаць

што яўляецца ўраўненнем Гамільтана — Якобі.

Рашэнне[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненне Гамільтана — Якобі часта вырашаюць метадам падзелу зменных. Няхай некаторая каардыната (для пэўнасці будзем казаць пра ) і адпаведны ёй імпульс ўваходзяць ва ўраўненне ў форме

Тады можна пакласці

дзе — адвольная пастаянная, зваротная функцыя, і вырашаць ураўненне Гамільтана — Якобі ўжо з меншай колькасцю зменных. Калі працэс можна працягнуць па ўсіх зменных, то рашэнне ўраўнення прыме выгляд

дзе — адвольныя сталыя, — канстанта інтэгравання. Нагадаем, што пры гэтым з'яўляецца функцыяй канчатковай кропкі . Так як дзеянне задае кананічнае пераўтварэнне гамільтанавай сістэмы, то яго вытворныя па каардынатах — гэта імпульсы ў новай сістэме каардынат, таму яны павінны захоўвацца:

Сумесна з ураўненнямі на імпульсы гэта вызначае рух сістэмы.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]