Ураўненне Гамільтана — Якобі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Класічная механіка

Другі закон Ньютана
Гісторыя…
Гл. таксама «Фізічны партал»

У фізіцы і матэматыцы, ураўненнем Гамільтана — Якобі называецца ўраўненне наступнага выгляду

Тут S абазначае класічнае дзеянне,  — гамільтаніян,  — абагульненыя каардынаты.

Непасрэдна адносіцца да класічнай (не квантавай) механікі, аднак добра прыстасавана для ўстанаўлення сувязі паміж класічнай механікай і квантавай, бо яго можна, напрыклад, атрымаць практычна прама з ураўнення Шродзінгера ў прыбліжэнні хуткаасцыліруючай хвалевай функцыі (вялікіх частот і хвалевых лікаў).

У класічнай механіцы ўзнікае звычайна са спецыяльнага кананічнага пераўтварэнні класічнага гамільтаніяна, якое прыводзіць да гэтага нелінейнага дыферэнцыйнага ўраўнення першага парадку, рашэнне якога апісвае паводзіны дынамічнай сістэмы.

Варта адрозніваць ураўненне Гамільтана — Якобі ад ураўненняў руху Гамільтана і Эйлера — Лагранжа. Хоць гэтае ўраўненне і выводзіцца з іх, але ўяўляе сабой адно ўраўненне, якое апісвае дынаміку механічнай сістэмы з любой колькасцю ступеней свабоды s, у адрозненне ад 2s ураўненняў Гамільтана і s ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Ураўненне Гамільтана — Якобі дапамагае элегантна вырашыць задачу Кеплера.

Кананічнае пераўтварэнне[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненне Гамільтана — Якобі неадкладна вынікае з таго факта, што для любой функцыі S(q, p', t) (не звяртаючы ўвагі на індэксы), ураўненні руху не змяняюцца для H(q, p, t) і H'(q', p', t)

Новыя ўраўненні руху становяцца

Ураўненне Гамільтана — Якобі паяўляецца са спецыфічнай функцыі S, якая робіць H' роўным нулю. У гэтым выпадку ўсе яго вытворныя роўныя нулю і

Такім чынам, у штрыхаванай сістэме каардынат сістэма цалкам стацыянарна ў фазавай прасторы. Аднак, мы яшчэ не вызначылі, пры дапамозе якой функцыі S дасягаецца пераўтварэнне ў штрыхаваную сістэму каардынат. Мы выкарыстоўваем той факт, што

Паколькі ўраўненне (1) дае можна запісаць

што з’яўляецца ўраўненнем Гамільтана — Якобі.

Рашэнне[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненне Гамільтана — Якобі часта рашаюць метадам раздзялення пераменных[ru]. Няхай некаторая каардыната (для пэўнасці будзем казаць пра ) і адпаведны ёй імпульс ўваходзяць ва ўраўненне ў форме

Тады можна ўзяць

дзе  — адвольная пастаянная,  — адваротная функцыя, і рашаць ураўненне Гамільтана — Якобі ўжо з меншай колькасцю зменных. Калі працэс можна працягнуць па ўсіх зменных, то рашэнне ўраўнення прыме выгляд

дзе  — адвольныя пастаянныя,  — канстанта інтэгравання. Нагадаем, што пры гэтым з’яўляецца функцыяй канчатковай кропкі . Так як дзеянне задае кананічнае пераўтварэнне гамільтанавай сістэмы, то яго вытворныя па каардынатах — гэта імпульсы ў новай сістэме каардынат, таму яны павінны захоўвацца:

Сумесна з ураўненнямі на імпульсы гэта вызначае рух сістэмы.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]