Момант імпульсу

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Момант імпульсу
\vec L = \left[\vec r \times \vec p\,\right]
Размернасць

L2MT−1

Адзінкі вымярэння
СІ

м2·кг·с−1

СГС

см2·г·с−1

Заўвагі

псеўдавектар

Момант імпульсу (кінетычны момант, вуглавы момант, арбітальны момант, момант колькасці руху) характарызуе колькасць вярчальнага руху. Велічыня, якая залежыць ад таго, колькі масы круціцца, як яна размеркавана адносна восі кручэння і з якой хуткасцю адбываецца кручэнне.

Варта ўлічыць, што кручэнне тут разумеецца ў шырокім сэнсе, не толькі як рэгулярнае кручэнне вакол восі. Напрыклад, нават пры прамалінейным руху цела міма адвольнай ўяўнага пункту, якія не ляжыць на лініі руху, яно таксама валодае момантам імпульсу. Найбольшую, мабыць, ролю момант імпульсу гуляе пры апісанні уласна вярчальнага руху. Аднак вельмі важны і для значна больш шырокага класа задач (асабліва - калі ў задачы ёсць цэнтральная або восевая сіметрыя, але не толькі ў гэтых выпадках).

Заўвага: момант імпульсу адносна пункту - гэта псеўдавектар, а момант імпульсу адносна восі - псеўдаскаляр.

Момант імпульсу замкнёнай сістэмы захоўваецца.

Момант імпульсу у класічнай механіцы[правіць | правіць зыходнік]

Сувязь паміж сілай F, момантам сілы τ, імпульсам \scriptstyle{\mathbf p} і момантам імпульсу \scriptstyle{\mathbf L}

Момант імпульсу \mathbf L матэрыяльнага пункта адносна некаторага пачатку адліку вызначаецца вектарным здабыткам яе радыус-вектара і імпульсу:

~\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p},

дзе ~\mathbf r — радыус-вектар часціцы адносна абранага нерухомага ў дадзенай сістэме адліку пачатку адліку, ~\mathbf p — імпульс часціцы.

Для некалькіх часціц момант імпульсу вызначаецца як (вектарная) сума такіх членаў:

~\mathbf{L}=\sum_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i,

дзе ~\mathbf r_i, \mathbf p_i — радыус-вектар і імпульс кожнай часціцы, якая ўваходзіць у сістэму, момант імпульсу якой вызначаецца.

(У мяжы колькасць часціц можа быць бясконцым, напрыклад, у выпадку цвёрдага цела з бесперапынна размеркаванай масай ці ўвогуле размеркаванай сістэмы гэта можа быць запісана як ~\mathbf{L}=\int\mathbf{r}\times\mathbf{dp}, дзе \mathbf{dp} — імпульс бясконца малога кропкавага элемента сістэмы).

У сістэме СІ момант імпульсу вымяраецца ў адзінках джоўль-секунда; Дж·с.

З вызначэння моманту імпульсу вынікае яго адытыўнасць: як, для сістэмы часціц у прыватнасці, так і для сістэмы, якая складаецца з некалькіх падсістэм, выконваецца:

\mathbf{L}_\Sigma = \sum\limits_i \mathbf{L}_i.

Заўвага: у прынцыпе момант імпульсу можа быць вылічаны датычна любога пачатку адліку (атрыманыя пры гэтым розныя значэнні звязаныя відавочным чынам); аднак часцей за ўсё (для зручнасці і пэўнасці) яго вылічаюць адносна цэнтра мас ці замацаванага пункту кручэння цвёрдага цела і т.п.).

Вылічэнне моманту[правіць | правіць зыходнік]

Так як момант імпульсу вызначаецца вектарным здабыткам, ён з'яўляецца псеўдавектарам, перпендыкулярным абодвум вектарам ~\mathbf r і ~\mathbf p.

Аднак, у выпадках кручэння вакол нязменнай восі, бывае зручна разглядаць не момант імпульсу як псеўдавектар, а яго праекцыю на вось кручэння як скаляр, знак якога залежыць ад кірунку кручэння. Калі абраная такая вось, якая праходзіць праз пачатак адліку, для вылічэнні праекцыі вуглавога моманту на яе можна паказаць шэраг рэцэптаў у адпаведнасці з агульнымі правіламі знаходжання вектарнага здабытку двух вектараў.

L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin \theta_{r,\;p},

дзе ~\theta_{r,\;p} — вугал паміж ~\mathbf r і ~\mathbf p, які вызначаецца так, каб паварот ад ~\mathbf r да ~\mathbf p праводзіўся супраць гадзіннікавай стрэлкі з пункту гледжання назіральніка, які знаходзіцца на дадатнай часткі восі кручэння. Напрамак павароту важны пры вылічэнні, так як вызначае знак шуканай праекцыі.

Запішам ~\mathbf r у выгядзе ~\mathbf{r} = \mathbf{r_{\parallel}}+\mathbf{r_{\perp}}, дзе ~\mathbf{r_{\parallel}} — складнік радыус-вектара, паралельны вектару імпульсу, а ~\mathbf{r_{\perp}} — аналагічна, перпендыкулярны яму. ~\mathbf{r_{\perp}} з'яўляецца, па сутнасці, адлегласцю ад восі кручэння да вектару ~\mathbf p, якую звычайна называюць «плячом». Аналагічна можна падзяліць вектар імпульсу на два складнікі: паралельны радыус-вектару ~\mathbf{p_{\parallel}} і перпендыкулярны яму ~\mathbf{p_{\perp}}. Зараз, выкарыстоўваючы лінейнасць вектарнага здабытку, а таксама уласцівасць, згодна з якім здабытак паралельных вектараў роўны нулю, можна атрымаць яшчэ два выразы для ~L.

\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = (\mathbf{r_{\perp}}+\mathbf{r_{\parallel}})\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p} + \mathbf{r_{\parallel}}\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p}.
\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} =  \mathbf{r}\times  (\mathbf{p_{\perp}}+\mathbf{p_{\parallel}}) = \mathbf{r}\times\mathbf{p_{\perp}}.

Захаванне вуглавога моманту[правіць | правіць зыходнік]

Шаблон:Сіметрыя у фізіцы

Закон захавання моманту імпульсу (закон захавання вуглавога моманту): вектарная сума ўсіх момантаў імпульсу адносна любога нерухомага пункту (або сума момантаў адносна любой нерухомай восі) для замкнёнай сістэмы застаецца пастаяннай з часам.

Вытворная моманту імпульсу па часе ёсць момант сілы:

\tau = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},

Такім чынам, патрабаванне замкнёнасці сістэмы можа быць аслаблена да патрабаванні роўнасці нуля галоўнага (сумарнага) моманту знешніх сіл:

\mathbf{L}_{\mathrm{system}} =  \mathrm{constant} \leftrightarrow \sum \tau_{\mathrm{ext}} = 0,

дзе ~\tau_{\rm ext} — момант адной з сіл, прыкладзеных да сістэмы часціц. (Але вядома, калі знешнія сілы наогул адсутнічаюць, гэтае патрабаванне таксама выконваецца).

Матэматычна закон захавання моманту імпульсу вынікае з ізатрапіі прасторы, гэта значыць з інварыянтавасці прасторы ў адносінах да павароту на адвольны вугал. Пры павароце на адвольны бясконца малы вугал ~\delta \varphi, радыус-вектар часціцы з нумарам ~i змяняецца на ~\delta \mathbf{r}_i  = \delta \varphi \times \mathbf{r}_i, а хуткасці — ~\delta \mathbf{v}_i  = \delta \varphi \times \mathbf{v}_i. Функцыя Лагранжа ~\mathcal L сістэмы пры такім павароце не зменіцца, з прычыны ізатрапіі прасторы. Таму \delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i  \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \frac{\partial  \mathcal L}{\partial  \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)= 0.

З ўлікам \frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}},\; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\dot p_{i}}, дзе ~\mathbf p_i — абагульнены імпульс ~i-тай часціцы, кожны складнік у суме з апошняга выразу можна перапісаць у выглядзе

\dot {\mathbf p_i} \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf {\dot r_i}.

Цяпер, карыстаючыся уласцівасцю змешанага здабытку, здзейснім цыклічную перастанову вектараў, у выніку чаго атрымаем, выносячы агульны множнік:

\delta \mathcal L = \delta \varphi  \sum \limits_i  \left( \mathbf r_i \times \dot {\mathbf p_i} + \dot {\mathbf r_i} \times \mathbf p_i \right) = \delta \varphi  \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi  \frac{d \mathbf L}{dt}  = 0,

дзе, \mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i — момант імпульсу сістэмы. З прычыны адвольнасці \delta \varphi, з роўнасці \delta \mathcal L = 0 вынікае ~\frac{d \mathbf L}{dt} = 0.

На арбіце момант імпульсу размяркоўваецца паміж момантамі імпульсу ўласнага кручэння планеты і яе арбітальнага руху:

\mathbf{L}_{\mathrm{total}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{orbit}}
.

Момант імпульсу у электрадынаміцы[правіць | правіць зыходнік]

Пры апісанні руху зараджанай часціцы ў электрамагнітным поле, кананічны імпульс ~p не з'яўляецца інварыянтным. Як следства, кананічны момант імпульсу ~ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times  \mathbf{p} таксама не інварыянты. Тады бярэм рэальны імпульс, які таксама называецца «кінетычным імпульсам»:

~ \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c},

дзе ~eэлектрычны зарад, ~cхуткасць святла, ~Aвектарны патэнцыял, Такім чынам, гамільтаныян (інварыянтный) зараджанай часціцы масы m ў электрамагнітным поле:

 H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\varphi,

дзе ~\varphiскалярны патэнцыял. З гэтага патэнцыялу вынікае закон Лорэнца. Інварыянтны момант імпульсу або «кінетычны момант імпульсу» вызначаецца:

K= \mathbf{r} \times \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right).


Момант імпульсу ў квантавай механіцы[правіць | правіць зыходнік]

Аператар моманту[правіць | правіць зыходнік]

У квантавай механіцы момант імпульсу квантуецца, гэта значыць ён можа змяняцца толькі па «квантавым ўзроўням» паміж дакладна пэўнымі значэннямі. Праекцыя на любую вось моманту імпульсу часціц, абумоўленага іх прасторавым рухам, павінна быць цэлым лікам, памножанае на \hbar (h з рысай), якая вызначаецца, як пастаянная Планка, падзеленая на 2 \pi . Эксперыменты паказваюць, што большасць часціц маюць пастаянны ўнутраны момант імпульсу, які не залежыць ад іх руху праз прастору. Гэты спінавы момант імпульсу заўсёды кратны \hbar/2. Напрыклад, электрон ў стане спакою мае момант імпульсу \hbar/2.

У класічным вызначэнні момант імпульсу залежыць ад 6 зменных ~r_x, ~r_y, ~r_z, ~p_x, ~p_y, и ~p_z. . Пераводзячы гэта на квантавамеханічныя вызначэнні, выкарыстоўваючы прынцып нявызначанасці Гейзенберга, атрымліваем, што немагчыма вылічыць усе шэсць зменных адначасова з любой дакладнасцю. Таму ёсць абмежаванне на тое, што мы можам даведацца або падлічыць аб практычным моманце імпульсу. Гэта значыць, што лепшае, што мы можам зрабіць - гэта падлічыць адначасова велічыню вектара моманту імпульсу і яго кампаненты па восях.

Матэматычна поўны момант імпульсу ў квантавай механіцы вызначаецца як аператар фізічнай велічыні з сумы двух частак, звязаных з прасторавым рухам - у атамнай фізіцы такі момант называюць арбітальным, і ўнутраным спінам часціцы - адпаведна, спінавай. Першы аператар дзейнічае на прасторавыя залежнасці хвалевай функцыі:

\hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}},

дзе \hat{\mathbf{r}} і \hat{\mathbf{p}} — каардынатны і імпульсны аператар, адпаведна, а другі - на ўнутраныя, спінавыя. У прыватнасці, для адной часціцы без электрычнага зарада і без спіна, аператар вуглавога моманту можа быць запісаны як::

\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla),

дзе \nablaаператар набла. Гэта самая распаўсюджаная форма аператара моманту імпульсу, але не самая галоўная, яна мае наступныя уласцівасці:

[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0, дзе \varepsilon_{ijk}сімвал Леві-Чівіты.

і нават больш важныя падстаноўкі з гамільтаныянам часціцы без зарада і спіна:

\left[L_i,\; H \right] = 0

Сіметрыя кручэння[правіць | правіць зыходнік]

Аператары моманту імпульсу звычайна сустракаюцца пры вырашэнні задач сферычнай сіметрыі ў сферычных каардынатах. Тады момант імпульсу ў прасторавым адлюстраванні:

 -\frac{1}{\hbar^2} \mathbf{L}^2 = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}

Калі знаходзяць уласныя значэнні гэтага аператара, атрымліваюць наступнае:

 L^2 \mid l,\; m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) \mid l,\; m \rang
 L_z \mid l,\; m \rang = \hbar m \mid l,\; m \rang,

дзе

\lang \theta ,\; \varphi \mid l,\; m \rang = Y_{l,\;m}(\theta,\;\varphi)

сферычныя функцыі.

Вылічэнне моманту імпульсу ў нерэлятывісцкай механіцы[правіць | правіць зыходнік]

Калі маецца матэрыяльны пункт масай ~m, які рухаецца з хуткасцю ~\mathbf{v} і які знаходзіцца ў пункце, апісанаму радыус-вектарам ~\mathbf{r}, то момант імпульсу вылічаецца па формуле:

~\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v},

дзе \times — знак вектарнага здабытку.

Каб разлічыць момант імпульсу цела, яго трэба разбіць на бясконца малыя кавалачкі і вектарна прасумаваць іх моманты як моманты імпульсу матэрыяльных пунктаў, гэта значыць узяць інтэграл:

\mathbf L = \int\limits_V {\mathbf{dL}} = \int\limits_V {\mathbf r\times \mathbf v \, dm}.

Можна перапісаць гэта праз шчыльнасць \rho:

\mathbf L = \int\limits_V {\mathbf r\times \mathbf v \rho dV}.

(Калі лічыць, што \rho(x,y,z) — абагульненая функцыя, якая ўключае, магчыма, і дэльтападобныя члены, то апошняя формула дастасоўная і да размеркаваных, і да дыскрэтных сістэм).

Для сістэм, што здзяйсняюць кручэнне як цэлае (як абсалютна цвёрдае цела) вакол адной з восяў сіметрыі (ці, больш агульна - вакол так званых галоўных восяў інерцыі цела), справядлівыя суадносіны

~\mathbf{L}= I \boldsymbol{\omega},

дзе ~I — момант інерцыі адносна восі кручэння, ~\boldsymbol\omega — вектар вуглавой хуткасці.

У агульным выпадку вектар моманту звязаны з вектарам вуглавой хуткасці праз лінейны аператар моманту інерцыі (тэнзар інерцыі):

\mathbf{L} = \hat I \boldsymbol{\omega}

За пачатак адліку пры вылічэнні момантаў інерцыі або тэнзара інерцыі ў прынцыпе можа быць ўзятая любыя вось або пункт, пры гэтым будуць атрыманы розныя велічыні, звязаныя адзін з адным праз тэарэму Штэйнера. Аднак практычна па змаўчанні звычайна выбіраецца цэнтр мас ці замацаваная вось (цэнтр), што з'яўляецца часцей за ўсё і больш зручным.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения — М., 1984 Т. 1. — 302 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики — М., 1976. — 664 с.
  • Квантовая механика: основы и приложения — М., 1990. — 720 с.
  • Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента — Л., 1975. — 441 с.
  • Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии — М., 1993. — 352 с.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]