Цялесны вугал

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Цялесны вугал

Цялесны вугал — частка прасторы, якая з'яўляецца аб'яднаннем усіх прамянёў, якія выходзяць з дадзенай кропкі (вяршыні вугла) і перасякаюць некаторую паверхню (якая называецца паверхняй, якая сцягвае дадзены цялесны вугал). Прыватнымі выпадкамі цялеснага вугла з'яўляюцца трохгранныя і шматгранныя вуглы. Мяжой цялеснага вугла з'яўляецца некаторая канічная паверхня.

Цялесны вугал вымяраецца стаўленнем плошчы той часткі сферы з цэнтрам у вяршыні вугла, якая выражаецца гэтым цялесным вуглом, да квадрата радыусу сферы:

\Omega\,=\,{S\over R^2}.

Відавочна, цялесныя вуглы вымяраюцца адцягненымі (беспамернымі) велічынямі. Адзінкай вымярэння цялеснага вугла ў сістэме СІ з'яўляецца стэрадыян, роўны цялеснаму вуглу, выразаючаму з сферы радыусу ~r паверхню з плошчай ~r^2. Поўная сфера ўтварае цялесны вугал, роўны ~4\pi стэрадыян (поўны цялесны вугал), для вяршыні, размешчанай унутры сферы, у прыватнасці, для цэнтра сферы; такім жа з'яўляецца цялесны вугал, пад якім бачная любая замкнёная паверхня з кропкі, якая цалкам ахопліваецца гэтай паверхняй, але якая не належыць ёй. Акрамя стэрадыянаў, цялесны вугал можа вымярацца ў квадратных градусах, квадратных хвілінах і квадратных секундах, а таксама ў долях поўнага цялеснага вугла.

Цялесны вугал мае нулявую фізічную памернасць.

Пазначаецца цялесны вугал звычайна літарай ~\Omega.

Дваісты цялесны вугал да дадзенага цялеснага вугла ~\Omega вызначаецца як вугал, які складаецца з прамянёў, якія ўтвараюць з любым прамянём вугла ~\Omega нявостры вугал.

Каэфіцыенты пераліку адзінак цялеснага вугла.

~\Omega
Стэрадыян Кв. градус Кв. хвіліна Кв. секунда Поўны вугал
1 стэрадыян =
1
(180/π)² ≈
≈ 3282,806 кв. градусаў
(180×60/π)² ≈
≈ 1,1818103×107 кв. хвілін
(180×60×60/π)² ≈
≈ 4,254517×1010 кв. секунд
1/4π ≈
≈ 0,07957747 поўнага вугла
1 кв. градус = (π/180)² ≈
≈ 3,0461742×10−4 стэрадыян
1
60² =
= 3600 кв. хвілін
(60×60)² =
= 12 960 000 кв. секунд
π/(2×180)² ≈
≈ 2,424068×10−5 поўнага вугла
1 кв. хвіліна = (π/(180×60))² ≈
≈ 8,461595×10−8 стэрадыян
1/60² ≈
≈ 2,7777778×10−4 кв. градусаў
1
60² =
= 3600 кв. секунд
π/(2×180×60)² ≈
≈ 6,73352335×10−9 поўнага вугла
1 кв. секунда = (π/(180×60×60))² ≈
≈ 2,35044305×10−11 стэрадыян
1/(60×60)² ≈
≈ 7,71604938×10−8 кв. градусаў
1/60² ≈
≈ 2,7777778×10−4 кв. хвілін
1
π/(2×180×60×60)² ≈
≈ 1,87042315×10−12 поўнага вугла
Поўны вугал = 4π ≈
≈ 12,5663706 стэрадыян
(2×180)²/π ≈
≈ 41252,96125 кв. градусаў
(2×180×60)²/π ≈
≈ 1,48511066×108 кв. хвілін
(2×180×60×60)²/π ≈
≈ 5,34638378×1011 кв. секунд
1

Вылічэнне цялесных вуглоў[правіць | правіць зыходнік]

Для адвольнай сцягвальнай паверхні S цялесны вугал \Omega, пад якім яна бачная з пачатку каардынат, роўны

\Omega = \iint\limits_S d\Omega 
= \iint\limits_S \sin \vartheta d\varphi d\vartheta
= \iint\limits_S \frac{(\mathbf{r}/r)\cdot \mathbf{n}dS}{r^2},

дзе r, \vartheta, \varphi — сферычныя каардынаты элемента паверхні dS, \mathbf{r} - яго радыус-вектар, \mathbf{n} — адзінкавы вектар, нармальны даdS.

Уласцівасці цялесных вуглоў[правіць | правіць зыходнік]

  • Поўны цялесны вугал (поўная сфера) роўны 4\pi стэрадыян.
  • Сума ўсіх цялесных вуглоў, дваістых да ўнутраных цялесных вуглоў выпуклага шматгранніка, роўная поўнаму вуглу.

Велічыні некаторых цялесных вуглоў[правіць | правіць зыходнік]

  • Трохвугольнік з каардынатамі вяршынь \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3 бачны з пачатку каардынат пад цялесным вуглом

\Omega = 2\, \mathrm{arctg}\, \frac{(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2}, дзе (\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3) - змяшаны твор дадзеных вектараў, (\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j) - скалярны твор адпаведных вектараў, паўтлустым шрыфтам пазначаныя вектары, нармальным шрыфтам - іх даўжыні. Выкарыстоўваючы гэту формулу, можна вылічаць цялесныя вуглы, сцягнутыя адвольнымі шматвугольнікамі з вядомымі каардынатамі вяршыняў (для гэтага дастаткова разбіць шматвугольнік на неперасякальныя трохвугольнікі).

  • Цялесны вугал пры вяршыні прамога кругавога конуса з вуглом раствора α роўны \Omega = 2\pi (1 - \cos \frac{\alpha}{2}). Екалі вядомы радыус падставы R і высата H конуса, то \Omega = 2\pi (1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}). Калі вугал раствора конусу малы,\Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4} (\alpha выражана ў радыянах), ці \Omega \approx 0,000239 \alpha^2 (\alpha выражана ў градусах). Так, цялесны вугал, пад якім з Зямлі бачныя Месяц і Сонца (іх вуглавы дыяметр прыкладна роўны 0,5°), складае каля 6.10−5 стэрадыян, або ≈ 0,0005% плошчы нябеснай сферы (гэта значыць поўнага цялеснага вугла).
  • Цялесны вугал двухграннага вугла ў стэрадыянах роўны падвоенаму значэнню двухграннага вугла ў радыянах:
  • Цялесны вугал трохграннага вугла выяўляецца па тэарэме Люіл'е праз яго плоскія вуглы \theta_a, \theta_b, \theta_c пры вяршыні, як:
\Omega = 4\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} , где \theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2} — паўперыметр.
Праз двухгранныя вуглы \alpha, \beta, \gamma цялесны вугал выражаецца, як:
\Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi
  • Цялесны вугал пры вяршыні куба (або любога іншага праставугольнага паралелепіпеда) роўны \frac{1}{8} поўнага цялеснага вугла, або \frac{\pi}{2} стэрадыян.
  • Цялесны вугал, пад якім бачная грань правільнага N-гранніка з яго цэнтра, роўны \frac{1}{N} поўнага цялеснага вугла, або \frac{4\pi}{N} стэрадыян.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Commons