Трохвугольнік
Трохвуго́льнік – геаметрычная фігура, утвораная трыма адрэзкамі, якія злучаюць тры пункты, што не належаць да адной прамой. Гэтыя адрэзкі называюць бакамі трохвугольніка, а пункты, што злучаюцца бакамі – яго вяршынямі.
Трохвугольнік – найпрасцейшы з шматвугольнікаў.
Вяршыні трохвугольніка звычайна пазначаюцца вялікімі лацінскімі літарамі (A, B, C), велічыні вуглоў пры адпаведных вяршынях — грэчаскімі літарамі (α, β, γ), а даўжыні процілеглых бакоў — маленькімі лацінскімі літарамі (a, b, c).
Трохвугольнік з'яўляецца шматграннікам. У еўклідавай геаметрыі трохвугольнік адназначна задае плоскасць. Усе трохвугольнікі двухмерныя.
Змест |
Класіфікацыя трохвугольнікаў[правіць]
| Віды трохвугольнікаў паводле велічыні вуглоў | ||
|---|---|---|
Востравугольны |
Тупавугольны |
Прамавугольны |
Паводле велічыні вуглоў[правіць]
Паколькі сума вугоў трохвугольніка роўная 180°, то не менш за два вуглы ў трохвугольніку павінны быць вострымі (меншымі за 90°). Вылучаюць наступныя віды трохвугольнікаў:
- Калі ўсе вуглы трохвугольніка вострыя, то трохвугольнік завецца востравугольным;
- Калі адзін з вуглоў трохвугольніка тупы (большы за 90°), то трохвугольнік завецца тупавугольным;
- Калі адзін з вуглоў трохвугольніка прамы (роўны 90°), то трохвугольнік завецца прамавугольным. Два бакі, што ўтвараюць прамы вугал, завуцца катэтамі, а бок, процілеглая прамому вуглу, завецца гіпатэнузай.
| Віды трохвугольнікаў паводле колькасці роўных бакоў | ||
|---|---|---|
Рознабаковы |
Раўнабедраны |
Роўнабаковы |
Паводле колькасці роўных бакоў[правіць]
- Рознабаковым завецца трохвугольнік, у якога даўжыні трох бакоў парамі розныя.
- Раўнабедраным завецца трохвугольнік, у якога два бакі роўныя. Гэтыя бакі завуцца бакавымі, трэці бок завецца асновай. У раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры аснове роўныя. Вышыня, медыяна і бісектрыса раўнабедранага трохвугольніка, апушчаныя на аснову, супадаюць.
- Роўнабаковым завецца трохвугольнік, у якога ўсе тры бакі роўныя. У роўнабаковым трохвугольніку ўсе вуглы роўныя 60°, а цэнтры упісанай і апісанай акружнасцяў супадаюць.
Няроўнасць трохвугольніка[правіць]
Бакі трохвугольніка нельга задаваць адвольна, яны звязаныя наступнымі няроўнасцямі
У выпадку выканання роўнасці ў адным з іх трохвугольнік завецца выраджаным, далей усюды мяркуецца нявыраджаны выпадак.
Прыкметы роўнасці трохвугольнікаў[правіць]
Трохвугольнік адназначна можна вызначыць па наступных тройках асноўных элементаў:
- a, b, c (роўнасць паводле трох бакоў);
- a, b, γ (роўнасць паводле двух бакоў і вуглу паміж імі);
- a, β, γ (роўнасць паводле бока і двух прылеглых вуглоў).
Адрэзкі і акружнасці, звязаныя з трохвугольнікам[правіць]
Акружнасць, датычная ўсіх трох бакоў трохвугольніка, завецца яго упісанай акружнасцю. Яна адзіная. Акружнасць, якая праходзіць праз усё тры вяршыні трохвугольніка, завецца яго апісанай акружнасцю. Апісаная акружнасць таксама адзіная.
Медыянай трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адрэзак, які злучае гэтую вяршыню з сярэдзінай процілеглага боку. Усе тры медыяны трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт скрыжавання завецца цэнтроідам або цэнтрам цяжару трохвугольніка. Апошні назоў звязаны з тым, што ў трохвугольніка, зробленага з аднастайнага матэрыялу, цэнтр цяжару знаходзіцца ў пункце скрыжавання медыянаў. Цэнтроід дзеліць кожную медыяну ў дачыненні 1:2, калі лічыць ад асновы медыяны.
Перпендыкуляр, апушчаны з вяршыні трохвугольніка на процілеглы бок або яго працяг, завецца вышынёй трохвугольніка. Тры вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які называецца артацэнтрам трохвугольніка.
Бісектрысай трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адрэзак, які злучае гэтую вяршыню з пунктам на процілеглым боку і якая дзеліць вугол пры дадзенай вяршыні напалову. Бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з цэнтрам упісанай акружнасці.
Як было зазначана, у роўнабаковым трохвугольніку бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Дакладна і зваротнае: калі бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трохвугольнік роўнабаковы. Калі трохвугольнік рознабаковы, то для любой яго вяршыні бісектрыса, праведзеная з яе, ляжыць паміж медыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.
Пасярэднія перпендыкуляры да бакоў трохвугольніка таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам апісанай акружнасці.
Пазаўпісанай акружнасцю завецца акружнасць, датычная аднаго боку трохвугольніка і працягу двух іншых бакоў.
Сярэдзіны трох бакоў трохвугольніка, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адрэзкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружнасці, якая завецца акружнасцю дзевяці пунктаў.
У любым трохвугольніку цэнтр цяжару, артацэнтр, цэнтр апісанай акружнасці і цэнтр акружнасці дзевяці пунктаў ляжаць на адной прамой, якая называецца прамой Эйлера.
Суадносіны ў трохвугольніку[правіць]
Калі вядомыя тры велічыні, паказаныя вышэй, то астатнія можна знайсці па наступных формулах:
Тэарэма сінусаў[правіць]
(З тэарэмы вынікае, што калі a < b < c, то α < β < γ)
Тэарэма косінусаў[правіць]
- c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ
(З'яўляецца абагульненнем тэарэмы Піфагора)
Тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка[правіць]
- α + β + γ = 180° (π)
Іншыя суадносіны[правіць]
Метрычныя суадносіны ў трохвугольніку прыведзеныя для трохвугольніка
:
Дзе:
— адпаведна бісектрысы вуглоў
,
і
,
— адрэзкі, на якія бісектрысы
дзеліць бок
,
— медыяны, праведзеныя адпаведна да бакоў
,
і
,
— вышыні, апушчаныя адпаведна на бакі
,
і
,
— радыус упісанай акружнасці,
— радыус апісанай акружнасці,
— напаўперыметр,
— плошча,
— адлегласць паміж цэнтрамі ўпісанай і апісанай акружнасцяў.
Плошча трохвугольніка[правіць]
Найвядомейшая і найпрасцейшая формула:
Дзе:
— даўжыня асновы трохвугольніка (бок, на які праведзены перпендыкуляр)
— вышыня, праведзеная на бок
,
Гэтая формула можа быць выкарыстана толькі тады, калі можна лёгка знайсці вышыню.
Трыганаметрычны спосаб[правіць]
Вышыню трохвугольніка можна вызначыць з выкарыстаннем трыганаметрычных формулаў. У адпаведнасці з пазначэннямі на выяве леваруч, вышыня роўная
. Калі падставіць вышыню ў формулу
якая прыведзеная вышэй, атрымаем:
Апроч гэтага,
, што справядліва і для іншых двух вуглоў:
З выкарыстаннем вектараў[правіць]
Плошчу паралелаграма можна вылічыць з дапамогай вектараў. Няхай вектары AB і AC спраставаны адпаведна ад A да B і ад A да C. Тады плошча паралелаграма ABDC роўная |AB × AC|, г.зн. лічбаваму значэнню вектарнаму памнажэнню AB і AC. |AB × AC| роўнае |h × AC|, дзе h — вышыня паралелаграма як вектар.
Плошча трохвугольніка ABC роўная палове плошчы паралелаграма S = ½|AB × AC|.
Плошчу трохвугольніка ABC таксама можна вылічыць як скалярнае памнажэнне вектараў.
Выкарыстанне каардынатаў[правіць]
Калі пункт А размешчаны ў пункце адліку (0, 0) Дэкартавай каардынатнай сістэмы, а каардынаты іншых двух пунктаў B = (xB, yB) і C = (xC, yC), тады плошча S можа быць вылічана як ½ абсалютнага значэння дэтэрмінанту:
У больш агульным выпадку:
У трохмернай прасторы плошча трохвугольніка {A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB) і C = (xC, yC, zC)} роўная Піфагоравай суме адпаведных праекцыяў на тры галоўныя плоскасці (для якіх x = 0 або y = 0 або z = 0):
Формула Герона[правіць]
Форма трохвугольніка адназначна вызначаецца трыма бакамі. Адпаведна, для таго каб палічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыню бакоў. Паводле формулы Герона:
дзе
— паўперыметр.
Іншы спосаб запісу формулы Герона:
Іншыя формулы[правіць]
-




у дадзенай формуле варта звярнуць увагу на абыход вяршыняў, калі ісці паводле гадзіннікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
— для прамавугольнага трохвугольніка
Дзе:
— напаўперыметр,
— радыус упісанай акружнасці,
— радыус пазаўпісанай акружнасці, датычны боку
,
— радыус апісанай акружнасці,
— каардынаты вяршыняў трохвугольніка.
Спасылкі[правіць]
На ВікіСховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Трохвугольнік
| Шматвугольнікі | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Тыпы |
|
||||||
| Тэорыя і практыка |
Прыналежнасць пункта многавугольніку • Тэарэма Бояі — Гервіна • Тэарэма Брахмагупты • Тэарэма Гаўса — Ванцеля • Тэарэма Піка • Тэарэма пра суму вуглоў многавугольніка | ||||||
| Іншае: | Выпуклы многавугольнік • Гексаграма • Дэльтоід • Зорка • Пентаграма • Планігон | ||||||









— 






дзе 




у дадзенай формуле варта звярнуць увагу на абыход вяршыняў, калі ісці паводле гадзіннікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
— для прамавугольнага трохвугольніка