Трохвугольнік

Стандартныя пазначэнні

Трохвуго́льнік – геаметрычная фігура, утвораная трыма адрэзкамі, якія злучаюць тры пункты, што не належаць да адной прамой. Гэтыя адрэзкі называюць бакамі трохвугольніка, а пункты, што злучаюцца бакамі – яго вяршынямі.

Трохвугольнік – найпрасцейшы з шматвугольнікаў.

Вяршыні трохвугольніка звычайна пазначаюцца вялікімі лацінскімі літарамі (A, B, C), велічыні вуглоў пры адпаведных вяршынях — грэчаскімі літарамі (α, β, γ), а даўжыні процілеглых бакоў — маленькімі лацінскімі літарамі (a, b, c).

Трохвугольнік з'яўляецца шматграннікам. У еўклідавай геаметрыі трохвугольнік адназначна задае плоскасць. Усе трохвугольнікі двухмерныя.

Класіфікацыя трохвугольнікаў

Віды трохвугольнікаў паводле велічыні вуглоў
Востравугольны	Тупавугольны	Прамавугольны

Паводле велічыні вуглоў

Паколькі сума вугоў трохвугольніка роўная 180°, то не менш за два вуглы ў трохвугольніку павінны быць вострымі (меншымі за 90°). Вылучаюць наступныя віды трохвугольнікаў:

• Калі ўсе вуглы трохвугольніка вострыя, то трохвугольнік завецца востравугольным;
• Калі адзін з вуглоў трохвугольніка тупы (большы за 90°), то трохвугольнік завецца тупавугольным;
• Калі адзін з вуглоў трохвугольніка прамы (роўны 90°), то трохвугольнік завецца прамавугольным. Два бакі, што ўтвараюць прамы вугал, завуцца катэтамі, а бок, процілеглая прамому вуглу, завецца гіпатэнузай.

Віды трохвугольнікаў паводле колькасці роўных бакоў
Рознабаковы	Раўнабедраны	Роўнабаковы

Паводле колькасці роўных бакоў

• Рознабаковым завецца трохвугольнік, у якога даўжыні трох бакоў парамі розныя.
• Раўнабедраным завецца трохвугольнік, у якога два бакі роўныя. Гэтыя бакі завуцца бакавымі, трэці бок завецца асновай. У раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры аснове роўныя. Вышыня, медыяна і бісектрыса раўнабедранага трохвугольніка, апушчаныя на аснову, супадаюць.
• Роўнабаковым завецца трохвугольнік, у якога ўсе тры бакі роўныя. У роўнабаковым трохвугольніку ўсе вуглы роўныя 60°, а цэнтры упісанай і апісанай акружнасцяў супадаюць.

Няроўнасць трохвугольніка

Бакі трохвугольніка нельга задаваць адвольна, яны звязаныя наступнымі няроўнасцямі

• $a<b+c$
• $b<c+a$
• $c<a+b$

У выпадку выканання роўнасці ў адным з іх трохвугольнік завецца выраджаным, далей усюды мяркуецца нявыраджаны выпадак.

Прыкметы роўнасці трохвугольнікаў

Трохвугольнік адназначна можна вызначыць па наступных тройках асноўных элементаў:

• a, b, c (роўнасць паводле трох бакоў);
• a, b, γ (роўнасць паводле двух бакоў і вуглу паміж імі);
• a, β, γ (роўнасць паводле бока і двух прылеглых вуглоў).

Адрэзкі і акружнасці, звязаныя з трохвугольнікам

Акружнасць, датычная ўсіх трох бакоў трохвугольніка, завецца яго упісанай акружнасцю. Яна адзіная. Акружнасць, якая праходзіць праз усё тры вяршыні трохвугольніка, завецца яго апісанай акружнасцю. Апісаная акружнасць таксама адзіная.

Медыянай трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адрэзак, які злучае гэтую вяршыню з сярэдзінай процілеглага боку. Усе тры медыяны трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт скрыжавання завецца цэнтроідам або цэнтрам цяжару трохвугольніка. Апошні назоў звязаны з тым, што ў трохвугольніка, зробленага з аднастайнага матэрыялу, цэнтр цяжару знаходзіцца ў пункце скрыжавання медыянаў. Цэнтроід дзеліць кожную медыяну ў дачыненні 1:2, калі лічыць ад асновы медыяны.

Перпендыкуляр, апушчаны з вяршыні трохвугольніка на процілеглы бок або яго працяг, завецца вышынёй трохвугольніка. Тры вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які называецца артацэнтрам трохвугольніка.

Бісектрысай трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адрэзак, які злучае гэтую вяршыню з пунктам на процілеглым боку і якая дзеліць вугол пры дадзенай вяршыні напалову. Бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з цэнтрам упісанай акружнасці.

Як было зазначана, у роўнабаковым трохвугольніку бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Дакладна і зваротнае: калі бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трохвугольнік роўнабаковы. Калі трохвугольнік рознабаковы, то для любой яго вяршыні бісектрыса, праведзеная з яе, ляжыць паміж медыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.

Пасярэднія перпендыкуляры да бакоў трохвугольніка таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам апісанай акружнасці.

Пазаўпісанай акружнасцю завецца акружнасць, датычная аднаго боку трохвугольніка і працягу двух іншых бакоў.

Сярэдзіны трох бакоў трохвугольніка, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адрэзкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружнасці, якая завецца акружнасцю дзевяці пунктаў.

У любым трохвугольніку цэнтр цяжару, артацэнтр, цэнтр апісанай акружнасці і цэнтр акружнасці дзевяці пунктаў ляжаць на адной прамой, якая называецца прамой Эйлера.

Суадносіны ў трохвугольніку

Калі вядомыя тры велічыні, паказаныя вышэй, то астатнія можна знайсці па наступных формулах:

Тэарэма сінусаў

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

(З тэарэмы вынікае, што калі a < b < c, то α < β < γ)

Тэарэма косінусаў

c² = a² + b² — 2ab cos γ

(З'яўляецца абагульненнем тэарэмы Піфагора)

Тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка

α + β + γ = 180° (π)

Іншыя суадносіны

Метрычныя суадносіны ў трохвугольніку прыведзеныя для трохвугольніка $\triangle ABC$:

1. ${a\over b}={a_L\over b_L}$
2. $l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L} = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}$
3. $m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$
4. $h_c = b\sin\alpha = a\sin\beta = \frac {2S}{c}$
5. $\ d^2 = R^2 - 2Rr$ — формула Эйлера
6. $\frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1$

Дзе:
$\ l_a, l_b, l_c$ — адпаведна бісектрысы вуглоў $A$, $B$ і $C$,
$\ a_L, b_L$ — адрэзкі, на якія бісектрысы $\ l_c$ дзеліць бок $\ c$,
$\ m_a, m_b, m_c$ — медыяны, праведзеныя адпаведна да бакоў $a$, $b$ і $c$,
$\ h_a, h_b, h_c$ — вышыні, апушчаныя адпаведна на бакі $a$, $b$ і $c$,
$\ r$ — радыус упісанай акружнасці,
$\ R$ — радыус апісанай акружнасці,
$p=\frac {a+b+c}{2}$ — напаўперыметр,
$\ S$ — плошча,
$\ d$ — адлегласць паміж цэнтрамі ўпісанай і апісанай акружнасцяў.

Плошча трохвугольніка

Найвядомейшая і найпрасцейшая формула:

$S=\frac{1}{2}bh_b$

Дзе:

$\ b$ — даўжыня асновы трохвугольніка (бок, на які праведзены перпендыкуляр)
$\ h_b$ — вышыня, праведзеная на бок $\ b$,

Гэтая формула можа быць выкарыстана толькі тады, калі можна лёгка знайсці вышыню.

Трыганаметрычны спосаб вылічэння вышыні h.

Трыганаметрычны спосаб

Вышыню трохвугольніка можна вызначыць з выкарыстаннем трыганаметрычных формулаў. У адпаведнасці з пазначэннямі на выяве леваруч, вышыня роўная $\ h_b = a \sin \gamma$. Калі падставіць вышыню ў формулу $S= \frac{1}{2}bh_b$ якая прыведзеная вышэй, атрымаем:

$S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta.$

Апроч гэтага, $\ sin \alpha = sin ( \pi - \alpha ) = sin (\beta + \gamma)$, што справядліва і для іншых двух вуглоў:

$S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).$

З выкарыстаннем вектараў

Плошчу паралелаграма можна вылічыць з дапамогай вектараў. Няхай вектары AB і AC спраставаны адпаведна ад A да B і ад A да C. Тады плошча паралелаграма ABDC роўная |AB × AC|, г.зн. лічбаваму значэнню вектарнаму памнажэнню AB і AC. |AB × AC| роўнае |h × AC|, дзе h — вышыня паралелаграма як вектар.

Плошча трохвугольніка ABC роўная палове плошчы паралелаграма S = ½|AB × AC|.

Плошчу трохвугольніка ABC таксама можна вылічыць як скалярнае памнажэнне вектараў.

$\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \,.$

Выкарыстанне каардынатаў

Калі пункт А размешчаны ў пункце адліку (0, 0) Дэкартавай каардынатнай сістэмы, а каардынаты іншых двух пунктаў B = (x_B, y_B) і C = (x_C, y_C), тады плошча S можа быць вылічана як ½ абсалютнага значэння дэтэрмінанту:

$S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.$

У больш агульным выпадку:

$S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|.$

У трохмернай прасторы плошча трохвугольніка {A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) і C = (x_C, y_C, z_C)} роўная Піфагоравай суме адпаведных праекцыяў на тры галоўныя плоскасці (для якіх x = 0 або y = 0 або z = 0):

$S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }.$

Формула Герона

Форма трохвугольніка адназначна вызначаецца трыма бакамі. Адпаведна, для таго каб палічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыню бакоў. Паводле формулы Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ дзе $p=\frac {a+b+c}{2}$ — паўперыметр.

Іншы спосаб запісу формулы Герона:

$S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}.$

Іншыя формулы

1. $S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr = (p-b)r_b$
2. $S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}$
3. $S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}$
4. $S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}$
5. $S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)]$ у дадзенай формуле варта звярнуць увагу на абыход вяршыняў, калі ісці паводле гадзіннікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
6. $S_{\triangle ABC}=r^2+2rR$ — для прамавугольнага трохвугольніка

Дзе:

$p=\frac {a+b+c}{2}$ — напаўперыметр,
$\ r$ — радыус упісанай акружнасці,
$\ r_b$ — радыус пазаўпісанай акружнасці, датычны боку $\ b$,
$\ R$ — радыус апісанай акружнасці,
$\ (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C)$ — каардынаты вяршыняў трохвугольніка.

Спасылкі

• На ВікіСховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Трохвугольнік