Зваротнае ўраўненне

Зваро́тнае ўраўне́нне — алгебраічнае ўраўненне віду:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0,$

дзе каэфіцыенты, якія стаяць на сіметрычных адносна сярэдзіны месцах, роўныя, г.зн.

$a_{n-k}=a_{k}$  пры k = 0, 1, …, n.

Ураўненне чацвёртай ступені

Разгледзім зваротнае ўраўненне чацвёртай ступені віду

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,$

дзе a, b і c — некаторыя лікі, прычым a ≠ 0.

Алгарытм рашэння такіх ураўненняў:

• падзяліць левую і правую часткі ўраўнення на $x^{2}$. Пры гэтым рашэнні не губляюцца, бо x = 0 не з'яўляецца коранем зыходнага ўраўнення пры a ≠ 0;
• групоўкай прывесці атрыманае ўраўненне да выгляду

  $a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0;$

• увесці новую пераменную

  $t={x+{1 \over x}},$

  тады выконваецца

  $t^{2}={x^{2}+2+{1 \over {x^{2}}}},$  г.зн.  ${x^{2}+{1 \over {x^{2}}}}={t^{2}-2};$

• у новых пераменных ураўненне будзе квадратным:

  $at^{2}+bt+c-2a=0;$

• рашыць яго адносна t, вярнуцца да зыходнай пераменнай.

Ураўненні, падобныя на зваротныя

Калі для каэфіцыентаў ураўнення

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

выконваецца роўнасць

${\frac {e}{a}}=\left({\frac {d}{b}}\right)^{2},$

тады такое ўраўненне можна звесці да квадратнага ўраўнення адносна t падстаноўкай

$t=bx+{\frac {d}{x}}.$

Адсюль, напрыклад, вынікае, што ўраўненне

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0$

зводзіцца да квадратнага адносна t падстаноўкай

$t=x-{\frac {1}{x}}.$

Ураўненні пятай і вышэйшых ступеней

Для зваротных ураўненняў вышэйшых ступеней справядлівыя наступныя сцвярджэнні:

• Зваротнае ўраўненне цотнай ступені зводзіцца да ўраўнення ўдвая меншай ступені падстаноўкай

  $x+{\frac {1}{x}}=t.$

• Зваротнае ўраўненне няцотнай ступені абавязкова мае корань x = −1 і пасля дзялення мнагачлена ў левай частцы гэтага ўраўнення на двухчлен x + 1, прыводзіцца да зваротнага ўраўнення цотнай ступені.

Гл. таксама

• Біквадратнае ўраўненне
• Паліндром

Спасылкі

• The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials (англ.) на MathPages