Камплексны лік

Камплексны лік можна наглядна пада́ць як пару лікаў (a,b), якія ўтвараюць вектар на так званай дыяграме Арганда, якая адлюстоўвае камплексную плоскасць. Re — рэчаісная вось, Im — уяўная вось, а i — уяўная адзінка, якая задавальняе i² = −1.

Кампле́ксныя лі́кі — пашырэнне мноства рэчаісных лікаў. Мноства камплексных лікаў звычайна пазначаецца праз $\mathbb {C}$.

Камплексны лік вызначаюць як фармальную суму x + iy, дзе x і y — рэчаісныя лікі, i — уя́ўная адзі́нка, гэта значыць лік, які задавальняе раўнанне

$i^{2}=-1.$

Агульнапрынята гаварыць кампле́ксны лік, хаця часам сустракаецца і вымаўленне ко́мплексны лік. Рэчаісныя лікі ёсць асобным выпадкам камплексных лікаў і маюць выгляд z = x + i0.

Камплексныя лікі ўтвараюць алгебраічна замкнёнае поле. Гэта азначае, што мнагачлен ступені n з камплекснымі каэфіцыентамі мае роўна n камплексных каранёў. Тэарэма, якая сцвярджае гэта, называецца асноўнай тэарэмай алгебры.

Азначэнні

Стандартнае

Фармальна, камплексны лік z — гэта ўпарадкаваная пара сапраўдных лікаў (x,y) з аперацыямі складання і множання, вызначанымі наступным чынам:

• $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')\,$
• $(x,y)\cdot (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx').\,$

Пры такім азначэнні ролю ўяўнай адзінкі выконвае пара $i=(0,1)$. Заўважым, што ў якасці ўяўнай адзінкі можна ўзяць таксама пару $i_{2}=-i=(0,-1)$ (гэта прывядзе да замены кожнага камплекснага лікі спалучаным да яго).

Заўвага. Выраз выгляду $i={\sqrt {-1}}$ неадназначны і можа выклікаць шэраг непаразуменняў, бо арыфметычны корань вызначаецца над мноствам неадмоўных лікаў. Аж да канца XIX стагоддзя запіс на ўзор $5+{\sqrt {-3}}$ лічылі дапушчальным, аднак цяпер, каб пазбегнуць памылак, прынята запісваць гэты выраз як $5+i{\sqrt {3}}.$ Прыклад магчымай памылкі пры неасцярожным выкарыстанні састарэлага запісу:

${\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {(-3)\cdot (-3)}}={\sqrt {9}}=3,$

тым часам правільны запіс дае іншы адказ:

$\left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=i\cdot i\cdot {\sqrt {9}}=-3.$

Матрычнае

Камплексныя лікі можна таксама азначыць як сямейства рэчаісных матрыц выгляду

${\begin{pmatrix}x&y\\-y&\;\;x\end{pmatrix}}$

са звычайным матрычным складаннем і множаннем. Рэчаіснай адзінцы будзе адпавядаць

${\begin{pmatrix}1&0\\0&\;\;1\end{pmatrix}},$

уяўнай адзінцы —

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}.$

Акрамя таго, квадрат абсалютнай велічыні камплекснага ліку раўняецца вызначніку матрыцы, якая адпавядае гэтаму ліку:

$|z|^{2}={\begin{vmatrix}a&-b\\b&a\end{vmatrix}}=(a^{2})-((-b)(b))=a^{2}+b^{2}.$

Камплекснаму спалучэнню ${\overline {z}}$ адпавядае транспанаванне матрыцы.

Усе гэтыя азначэнні прыводзяць да ізаморфных пашырэнняў поля сапраўдных лікаў $\mathbb {R}$, як і любыя іншыя пабудовы поля раскладання мнагаскладу x²+1.

Дзеянні над камплекснымі лікамі

• Складанне

  $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

• Адыманне

  $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

• Множанне

  $(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$

• Дзяленне

  $\,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i\,$

Звязаныя азначэнні

Камплексную зменную звычайна пазначаюць як z. Хай x і y ёсць рэчаіснымі лікамі, такімі, што z = x + iy. Тады

• Лікі $x=\Re (z)$ або $\operatorname {Re} (z)$ і $y=\Im (z)$ або $\operatorname {Im} (z)$ называюцца адпаведна рэчаіснай (Real) і уяўнай (Imaginary) часткамі ліку z.
  • Калі x = 0, то лік z называюць уяўным або чыста ўяўным.
• Камплексны лік ${\bar {z}}=x-iy$ называецца спалу́чаным (або камплексна спалучаным) да $z$.
• Лік $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}$ называецца мо́дулем ліку $z$
• Вугал $\varphi$ такі, што $\cos \varphi =x\cdot |z|^{-1}$ і $\sin \varphi =y\cdot |z|^{-1}$, называецца аргуме́нтам ліку $z$.

Паданне камплексных лікаў

Алгебраічная форма

Запіс камплекснага ліку $z$ у выглядзе $x+iy$, $x,y\in \mathbb {R}$, называюць алгебраічнай формай камплекснага ліку.

Суму і здабытак камплексных лікаў можна вылічыць непасрэдным сумаваннем і перамнажэннем такіх выразаў, з улікам тоеснасці $i^{2}=-1$.

Трыганаметрычная і паказнікавая формы

Калі рэчаісную $x$ і ўяўную $y$ часткі камплекснага ліку выразіць праз модуль $r=|z|$ і аргумент $\varphi$ ($x=r\cos \varphi$, $y=r\sin \varphi$), то камплексны лік $z$ можна запісаць у трыганаметрычнай форме

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$.

Таксама можа быць карыснай так званая паказнікавая форма запісу камплексных лікаў, цесна звязаная з трыганаметрычнай праз формулу Ойлера:

$z=re^{i\varphi }$,

дзе $e^{i\varphi }$ — пашырэнне экспаненты на выпадак камплекснага паказчыка ступені.

Геаметрычнае паданне

Калі на плоскасці па восі абсцыс размясціць рэчаісную частку, а па восі ардынат — уяўную, то камплекснаму ліку будзе адпавядаць кропка з дэкартавымі каардынатамі $x$ і $y$ (або яе радыус-вектар, што тое ж самае), а модуль і аргумент будуць палярнымі каардынатамі гэтай кропкі.

У геаметрычным паданні сума камплексных лікаў адпавядае вектарнай суме адпаведных вектараў. Пры перамнажэнні камплексных лікаў іх модулі перамнажаюцца, а аргументы складаюцца. Адсюль, у прыватнасці, атрымоўваецца Формула Муаўра.

Формула Муаўра

Карані пятай ступені з адзінкі (вяршыні пяцівугольніка)

Формула Муаўра дазваляе ўзводзіць у ступень камплексны лік, які пададзены ў трыганаметрычнай форме. Формула Муаўра мае выгляд:

$z^{n}=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi )]^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ),$,

дзе $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент камплекснага ліку. У сучасных абазначэннях яна апублікавана Ойлерам у 1722 г.

Гэтая формула дастасавальная пры вылічэнні каранёў n-й ступені з камплекснага ліку.

$z^{1/n}=[r(\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k))]^{1/n}=$
$=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),$
$\quad k=0,1..n-1$

Гісторыя

Упершыню, відаць, уяўныя велічыні з’явіліся ў вядомай працы «Вялікае мастацтва, або аб алгебраічных правілах» Кардана (1545), які злічыў іх непрыдатнымі да ўжывання.

Карысць уяўных велічынь, у прыватнасці, пры развязанні кубічнага раўнання, у так званым непрыводным выпадку (калі рэчаісныя карані выражаюцца праз кубічныя карані з уяўных велічынь), упершыню ацаніў Бамбелі (1572). Ён жа даў некаторыя найпрасцейшыя правілы дзеянняў з камплекснымі лікамі.

Выразы выгляду $a+b{\sqrt {-1}}$, якія з’яўляюцца пры развязанні квадратных і кубічных раўнанняў, сталі называць «уяўнымі» ў XVI-XVII стагоддзях, аднак нават для многіх буйных вучоных XVII ст. алгебраічная і геаметрычная сутнасць уяўных велічынь здавалася няяснай. Вядома, напрыклад, што Ньютан не ўключаў уяўныя велічыні ў паняцце ліку, а Лейбніцу належыць фраза: «Уяўныя лікі — гэтае выдатнае і цудоўнае сховішча чароўнага духу, амаль што амфібія быцця з нябытам».

Задача аб выразе каранёў ступені $n$ з дадзенага ліку была ў асноўным развязаная ў працах Муаўра (1707) і Котэса (1722).

Знак $i={\sqrt {-1}}$ прапанаваў Ойлер (1777, апубл. 1794), які ўзяў для гэтага першую літару слова imaginarius. Ён жа выказаў у 1751 думку аб алгебраічнай замкнёнасці поля камплексных лікаў, да такой жа высновы прыйшоў Д’Аламбер (1747), але першы строгі доказ гэтага факта належыць Гаўсу (1799). Ён жа пачаў шырока ўжываць тэрмін «камплексны лік» у 1831 г, хоць у навуковай літаратуры тэрмін «камплексны лік» выкарыстаў яшчэ раней французскі матэматык Лазар Карно ў 1803 г.

Геаметрычнае вытлумачэнне камплексных лікаў і дзеянняў над імі з’явілася ўпершыню ў працы Веселя, (1799). Першыя крокі ў гэтым кірунку былі зроблены Ўолісам (Англія) у 1685 г. Геаметрычнае паданне камплексных лікаў, часам называнае «дыяграмай Аргана», увайшло ва ўжытак пасля апублікавання ў 1806 і 1814 працы Аргана, якая паўтарала незалежна высновы Веселя.

Арыфметычная тэорыя камплексных лікаў як пар рэчаісных лікаў была пабудавана Гамільтанам (1837). Яму ж прыналежыць абагульненне камплексных лікаў — кватэрніёны, алгебра якіх некамутатыўна.

Функцыі камплекснага пераменнага

• Гама-функцыя
• Гіпербалічныя функцыі
• Дзэта-функцыя Рымана
• Лагарыфм
• Сталая функцыя
• W-функцыя Ламберта

Абагульненні

• Гіперкамплексныя лікі — канечнамерныя алгебры над полем рэчаісных лікаў.

Спасылкі

• Понтрягин Л., «Комплексные числа», Квант, № 3, 1982.
• Арнольд В. И., «Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов», МЦНМО, 2002
• Просты калькулятар камплексных лікаў Архівавана 6 чэрвеня 2008.
• CaRevol Jet — Формульны калькулятар камплексных лікаў пад Windows.
• Елисеев В. И., «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Цэнтр навукова-тэхнічнай творчасці моладзі «Алгоритм». — М.:, НИАТ. — 1990. Шыфр Д7-90/83308

Дадатковыя спасылкі

• Просты калькулятар камплексных лікаў Архівавана 6 чэрвеня 2008..
• CaRevol Jet — Формульны калькулятар камплексных лікаў пад Windows.