Лагарыфм

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Лагары́фм ліку x па аснове b (ад грэч.: λόγος — «слова», «дачыненне» і ἀριθμός — «лік»[1]) — такое значэнне ступені, у якую трэба ўзвесці лік b, т. зв. асно́ву, каб атрымаць значэнне x. Запіс \log_b a чытаецца як «лагарыфм a па аснове b».

З азначэння вынікае, што знаходжанне x = \log_b a раўназначнае рашэнню ўраўнення

 b^x=a.

Напрыклад, лагарыфм 1000 па аснове 10 роўны 3, бо 1000 ёсць 10 у ступені 3: 1000 = 10·10·10 = 10³.

Вылічэнне лагарыфма называецца лагарыфмава́ннем.

Лагарыфмы маюць цікавыя ўласцівасці, якія дазваляюць спрашчаць працаёмкія вылічэнні[2]. Пры пераходзе «ў свет лагарыфмаў» множанне замяняецца на значна прасцейшае складанне, дзяленне — на адыманне, а ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня ператвараюцца адпаведна ў множанне і дзяленне на паказчык ступені. Лаплас казаў, што вынаходніцтва лагарыфмаў, «скараціўшы працу астранома, падвоіла яго жыццё»[3]. У прыкладаннях аснова b лагарыфма і лагарыфмуемы лік (аргумент лагарыфма) звычайна рэчаісныя. Тым не менш, існуе шэраг праблем (у тым ліку і прыкладных), дзе карысным аказваецца так званы камплексны лагарыфм.

Азначэнне лагарыфмаў і табліцу іх значэнняў (для трыганаметрычных функцый) упершыню надрукаваў у 1614 годзе шатландскі матэматык Джон Непер. Лагарыфмічныя табліцы, пашыраныя і ўдакладненыя іншымі матэматыкамі, паўсюдна выкарыстоўваліся ў навуковых і інжынерных разліках больш за тры стагоддзі, пакуль не з'явіліся электронныя вылічальныя машыны.

З цягам часу высветлілася, што лагарыфмічная функцыя y=\log_b x незаменная і ў шмат якіх іншых галінах чалавечай дзейнасці: развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, вымярэнні фізічных велічынь (напрыклад, частаты і магутнасці гуку), прыбліжэнні розных залежнасцей, тэорыі інфармацыі, тэорыі імавернасцей і г. д. Гэта функцыя ўваходзіць у лік элементарных, лагарыфм адваротны да паказчыкавай функцыі. Часцей за ўсё выкарыстоўваюцца рэчаісныя лагарыфмы па аснове e (натуральны), 10 (дзесятковы) і 2 (двайковы).

Рэчаісны лагарыфм[правіць | правіць зыходнік]

Лагарыфм  x=\log_b a па азначэнню ёсць рашэнне ўраўнення

b^x=a.

Выпадак b=1 не вельмі цікавы, бо пры a \ne 1 гэта ўраўненне не мае рашэння, а пры a=1 любы лік з'яўляецца рашэннем; у абодвух выпадках лагарыфм не вызначаны. Гэтак жа прыходзім да высновы, што лагарыфм не існуе пры нулявым і адмоўным b; акрамя таго, значэнне паказчыкавай функцыі b^x заўсёды дадатнае, таму варта выключыць і выпадак адмоўнага a. Канчаткова атрымліваем[4]:

Рэчаісны лагарыфм \log_b a вызначаны пры b>0, b \ne 1, a>0.

Як вядома, паказчыкавая функцыя y=b^x (пры выкананні вышэйзгаданых умоў на b) вызначана, манатонная і кожнае значэнне прымае толькі адзін раз, прычым абсяг яе значэнняў утрымлівае ўсе дадатныя рэчаісныя лікі[5]. Адсюль вынікае, што значэнне рэчаіснага лагарыфма дадатнага ліку заўсёды вызначана і адзінае.

Найбольш шырокі ўжытак і шматлікія дастасаванні маюць наступныя віды лагарыфмаў:

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Асноўная лагарыфмічная тоеснасць[правіць | правіць зыходнік]

З азначэння лагарыфма вынікае асноўная лагарыфмічная тоеснасць[6]:

  • a^{\log_a x} = x
  • \log_a \left(a^x\right) = x

Вывад: з роўнасці двух рэчаісных лагарыфмаў вынікае роўнасць лагарыфмаваных выразаў. Сапраўды, калі \log_a b=\log_a c, то a^{\log_a b} = a^{\log_a c}, адкуль, адпаведна асноўнай тоеснасці: b=c.

Лагарыфмы адзінкі і ліку, роўнага аснове[правіць | правіць зыходнік]

  • \log_a 1 = 0,
  • \log_a a = 1.

Арыфметычныя ўласцівасці лагарыфма[правіць | правіць зыходнік]

  • Лагарыфм здабытку:
 \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y)
  • Лагарыфм дзелі:
\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a (x) - \log_a (y)
  • Лагарыфм ступені:
\log_a(x^p) = p \log_a (x)
  • Лагарыфм кораня:
\log_a \sqrt[p]{x} = \frac{\log_a (x)}{p}
  • Калі аснова лагарыфма ёсць ступень некаторага выразу:
\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b.

Доказ: Гэта тоеснасць атрымліваецца адразу, калі ад лагарыфма па аснове a^k перайсці да лагарыфма па аснове a.

Вынікі:

  • \log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b;
    \log_{a^k}{b^p} = \frac{p}{k}\log_a{b};
    \log_{a^k} b^k = \log_a b.
  • Яшчэ адна карысная тоеснасць:
c^{\log_a b}=b^{\log_a c}

Доказ: Каб даказаць яе, заўважым, што лагарыфмы ў левай і правай частках супадаюць па аснове a, а тады, згодна з вынікам з асноўнай лагарыфмічнай тоеснасці, левая і правая часткі тоесна роўныя.

Існуе відавочнае абагульненне прыведзеных формул:

\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|
\log_a \left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|

Формула для лагарыфма здабытку без цяжкасцей абагульняецца на адвольную колькасць сумножнікаў:

 \log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)

Апісанымі ўласцівасцямі і тлумачыцца, чаму выкарыстанне лагарыфмаў (да вынаходніцтва калькулятараў) істотна палягчала вылічэнні. Напрыклад, множанне шматзначных лікаў x, y з дапамогай лагарыфмічных табліц адбывалася па наступнаму алгарытму:

  1. Знайсці ў табліцах лагарыфмы лікаў x, y.
  2. Скласці гэтыя лагарыфмы, атрымаўшы такім чынам (згодна з первай уласцівасцю) лагарыфм здабытку x \cdot y.
  3. Па лагарыфму здабытку знайсці ў табліцах сам здабытак.

Дзяленне, якое без дапамогі лагарыфмаў істотна больш працаёмкае чым множанне, выконвалася па таму ж алгарытму, толькі з заменай складання лагарыфмаў на адыманне. Гэтак жа спрашчаліся ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня.

Замена асновы лагарыфма[правіць | правіць зыходнік]

  • Ад лагарыфма \log_a b па аснове a можна перайсці да лагарыфма па другой аснове c[4]:
\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}
  • Вынік: перастаноўка асновы і лагарыфмуемага выразу:
\log_a b = \frac {1}{\log_b a}

Лагарыфмічная функцыя[правіць | правіць зыходнік]

Лагарыфмічная функцыя адваротная да паказчыкавай
Графікі лагарыфмічных функцый з асновамі: 2 (жоўты), e (чырвоны), 0.5 (сіні)
Двайковы лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 2
Лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 1/2

Асноўныя уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Калі разглядаць лагарыфмаваны лік як зменную, мы атрымаем лагарыфмічную функцыю y=\log_a x. Яна вызначана пры a>0;\ a \ne 1; x>0.

  • Абсяг вызначэння: x>0.
  • Абсяг значэнняў: E(y)=(-\infty; + \infty ).

Гэта крывая часта называецца лагарыфмікай[7].

  • З формулы замены асновы лагарыфма відаць, што графікі лагарыфмічных функцый з рознымі асновамі, большымі за адзінку, адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі расцяжэннем уздоўж восі y:
 \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}
  • Графікі для асноў a і 1/a сіметрычныя адносна восі x.
\lim_{x \to +0} \log_a x = - \infty пры a > 1;
\lim_{x \to +0} \log_a x = + \infty пры 0 < a < 1.

(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

\int \log_a x\,dx = x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C,

дзе C — адвольная сталая.

f(xy)=f(x)+f(y).

Натуральны лагарыфм[правіць | правіць зыходнік]

Прыведзеная вышэй агульная формула вытворнай выглядае найпрасцей у выпадку натуральнага лагарыфма:

\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.

З гэтай прычыны ў матэматычных даследаваннях пераважна выкарыстоўваюць іменна натуральныя лагарыфмы. Яны нярэдка з'яўляюцца пры развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, даследаванні статыстычных залежнасцей (напрыклад, размеркавання простых лікаў) і пад.

Натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай

Праінтэграваўшы формулу для вытворнай у прамежку ад x=1 да x=b, атрымліваем:

\ln b = \int\limits_1^b {\frac {dx}{x}}.

Інакш кажучы, натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай y=\frac {1}{x} на названым прамежку x.

Нявызначаны інтэграл ад натуральнага лагарыфма лёгка знайсці інтэграваннем па частках:

\int{\ln x\,\mathrm{d}x} = x\ln x-x+C.

У матэматычным аналізе і тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў вялікую ролю адыгрывае паняцце лагарыфмічнай вытворнай функцыі f(x):

\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.
Раскладанне ў рад і вылічэнне натуральнага лагарыфма[правіць | правіць зыходнік]

Раскладзём натуральны лагарыфм у рад Тэйлара каля адзінкі:

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots.

Гэты рад збягаецца пры -1 < x \le 1. У прыватнасці:

\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots.

Формула непрыдатная для практычнага вылічэння лагарыфмаў з-за таго, што рад збягаецца вельмі павольна і толькі на вузкім прамежку. Аднак нескладана атрымаць з яе зручнейшую формулу:

\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right).

Гэты рад збягаецца хутчэй, і акрамя таго, цяпер левая частка формулы можа прадставіць лагарыфм любога дадатнага ліку.

Карыстацца апошняй формулай трэба так. Няхай Z — лік, лагарыфм якога трэба вылічыць.

1) З ураўнення


Z = \frac{1+x}{1-x}

знаходзім x:


x = \frac{Z-1}{Z+1}.

2) Вылічанае значэнне x падстаўляем у рад і атрымліваем значэнне \ln Z.

Дадзены алгарытм ужо прыдатны да выкарыстання на практыцы пры вылічэнні значэнняў лагарыфмаў, аднак ён не найлепшы з пункту гледжання працаёмкасці. Існуюць больш дзейсныя алгарытмы[9].

Гранічныя суадносіны[правіць | правіць зыходнік]

Прывядзём некалькі карысных граніц, якія ўтрымліваюць лагарыфмы[10].

\lim_{x \to 0} \frac{\log_a (1+x)} {x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\lim_{x \to +0} x^b \log_a x = 0 \quad (b > 0)
\lim_{x \to +\infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0 \quad (b > 0)
\ln x = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) 
              = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)
\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}h

Іншыя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Камплексны лагарыфм[правіць | правіць зыходнік]

Ужыванне на практыцы[правіць | правіць зыходнік]

Табліцы лагарыфмаў[правіць | правіць зыходнік]

Лагарыфмічныя табліцы

З уласцівасцей лагарыфма вынікае, што замест працаёмкага множання шматзначных лікаў дастаткова адшукаць (па табліцах) і скласці іхнія лагарыфмы, а потым па тых жа табліцах («Антылагарыфмы») выканаць ступеняванне, г.зн. знайсці значэнне па яго лагарыфму. Выкананне дзялення адрозніваецца толькі тым, што лагарыфмы адымаюцца.

Першыя табліцы лагарыфмаў выдаў Джон Непер (1614), і яны ўтрымівалі толькі лагарыфмы трыганаметрычных функцый, прычым з памылкамі. Незалежна ад яго свае табліцы надрукаваў Ёст Бюргі, друг Кеплера (1620). У 1617 годзе оксфардскі прафесар матэматыкі Генры Брыгс выдаў табліцы, якія ўжо ўключалі дзесятковыя лагарыфмы лікаў ад 1 да 1000, з 8 (пазней — з 14) знакамі. Але і ў табліцах Брыгса выявіліся памылкі. Першае безпамылковае выданне на аснове табліц Георга Вегі (1783) з'явілася толькі ў 1857 годзе ў Берліне (табліцы Брэмікера, Carl Bremiker)[12].

У Расіі першыя табліцы лагарыфмаў былі выдадзены ў 1703 годзе пры ўдзеле Л. Ф. Магніцкага[13]. У СССР было выдадзена некалькі зборнікаў табліц лагарыфмаў[14]:

  1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Табліцы Брадзіса, выдаваныя з 1921 года, выкарыстоўваліся ў навучальных установах і ў інжынерных разліках, якія не патрабавалі вялікай дакладнасці. Яны ўтрымлівалі мантысы дзесятковых лагарыфмаў і трыганаметрычных функцый, натуральныя лагарыфмы і некаторыя іншыя карысныя разліковыя прылады.
  2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Адмысловы зборнік для дакладных вылічэнняў.
  3. Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Класічныя шасцізначныя табліцы, зручныя для разлікаў з трыганаметрычнымі функцыямі.
  4. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
  5. Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
  6. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

Лагарыфмічная лінейка[правіць | правіць зыходнік]

У 1620-я гады Эдмунд Уінгейт і Уільям Оўтрэд вынайшлі першую лагарыфмічную лінейку, якая да з'яўлення кішэнных калькулятараў была незаменнай вылічальнай прыладай інжынера[15]. З дапамогай гэтай невялічкай прылады можна было хутка выконваць усе алгебраічныя аперацыі, у тым ліку з трыганаметрычнымі функцыямі[16]. Дакладнасць разлікаў — каля 3 значных лічб.

Лагарыфмічная лінейка


Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 184-186.
  3. Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.
  4. 4,0 4,1 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 34.
  5. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.
  6. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
  7. Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах) — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  8. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 159-160.
  9. Sasaki T., Kanada Y. Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) (англ.)  // Journal of Information Processing. — 1982. — В. 4. — Т. 5. — С. 247–250.
  10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 164.
  11. Alan Baker Transcendental number theory — Cambridge University Press, 1975. — С. 10. — ISBN 978-0-521-20461-3.
  12. История математики, том II, 1970, с. 62.
  13. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е — М.: КомКнига, 2005. — С. 66. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
  14. Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.
  15. История математики, том II, 1970, с. 65-66.
  16. Березин С. И. Счётная логарифмическая линейка — М.: Машиностроение, 1968.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]