Лагарыфм

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Лагары́фм ліку x па аснове b (ад грэч.: λόγος — «слова», «дачыненне» і ἀριθμός — «лік»[1]) — такое значэнне ступені, у якую трэба ўзвесці лік b, т. зв. асно́ву, каб атрымаць значэнне x. Запіс \log_b a чытаецца як «лагарыфм a па аснове b».

З азначэння вынікае, што знаходжанне x = \log_b a раўназначнае рашэнню ўраўнення

 b^x=a.

Напрыклад, лагарыфм 1000 па аснове 10 роўны 3, бо 1000 ёсць 10 у ступені 3: 1000 = 10·10·10 = 10³.

Вылічэнне лагарыфма называецца лагарыфмава́ннем.

Лагарыфмы маюць цікавыя ўласцівасці, якія дазваляюць спрашчаць працаёмкія вылічэнні[2]. Пры пераходзе «ў свет лагарыфмаў» множанне замяняецца на значна прасцейшае складанне, дзяленне — на адыманне, а ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня ператвараюцца адпаведна ў множанне і дзяленне на паказчык ступені. Лаплас казаў, што вынаходніцтва лагарыфмаў, «скараціўшы працу астранома, падвоіла яго жыццё»[3]. У прыкладаннях аснова b лагарыфма і лагарыфмуемы лік (аргумент лагарыфма) звычайна рэчаісныя. Тым не менш, існуе шэраг праблем (у тым ліку і прыкладных), дзе карысным аказваецца так званы камплексны лагарыфм.

Азначэнне лагарыфмаў і табліцу іх значэнняў (для трыганаметрычных функцый) упершыню надрукаваў у 1614 годзе шатландскі матэматык Джон Непер. Лагарыфмічныя табліцы, пашыраныя і ўдакладненыя іншымі матэматыкамі, паўсюдна выкарыстоўваліся ў навуковых і інжынерных разліках больш за тры стагоддзі, пакуль не з'явіліся электронныя вылічальныя машыны.

З цягам часу высветлілася, што лагарыфмічная функцыя y=\log_b x незаменная і ў шмат якіх іншых галінах чалавечай дзейнасці: развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, вымярэнні фізічных велічынь (напрыклад, частаты і магутнасці гуку), прыбліжэнні розных залежнасцей, тэорыі інфармацыі, тэорыі імавернасцей і г. д. Гэта функцыя ўваходзіць у лік элементарных, лагарыфм адваротны да паказчыкавай функцыі. Часцей за ўсё выкарыстоўваюцца рэчаісныя лагарыфмы па аснове e (натуральны), 10 (дзесятковы) і 2 (двайковы).

Рэчаісны лагарыфм[правіць | правіць зыходнік]

Лагарыфм  x=\log_b a па азначэнню ёсць рашэнне ўраўнення

b^x=a.

Выпадак b=1 не вельмі цікавы, бо пры a \ne 1 гэта ўраўненне не мае рашэння, а пры a=1 любы лік з'яўляецца рашэннем; у абодвух выпадках лагарыфм не вызначаны. Гэтак жа прыходзім да высновы, што лагарыфм не існуе пры нулявым і адмоўным b; акрамя таго, значэнне паказчыкавай функцыі b^x заўсёды дадатнае, таму варта выключыць і выпадак адмоўнага a. Канчаткова атрымліваем[4]:

Рэчаісны лагарыфм \log_b a вызначаны пры b>0, b \ne 1, a>0.

Як вядома, паказчыкавая функцыя y=b^x (пры выкананні вышэйзгаданых умоў на b) вызначана, манатонная і кожнае значэнне прымае толькі адзін раз, прычым абсяг яе значэнняў утрымлівае ўсе дадатныя рэчаісныя лікі[5]. Адсюль вынікае, што значэнне рэчаіснага лагарыфма дадатнага ліку заўсёды вызначана і адзінае.

Найбольш шырокі ўжытак і шматлікія дастасаванні маюць наступныя віды лагарыфмаў:

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Асноўная лагарыфмічная тоеснасць[правіць | правіць зыходнік]

З азначэння лагарыфма вынікае асноўная лагарыфмічная тоеснасць[6]:

  • a^{\log_a x} = x
  • \log_a \left(a^x\right) = x

Вывад: з роўнасці двух рэчаісных лагарыфмаў вынікае роўнасць лагарыфмаваных выразаў. Сапраўды, калі \log_a b=\log_a c, то a^{\log_a b} = a^{\log_a c}, адкуль, адпаведна асноўнай тоеснасці: b=c.

Лагарыфмы адзінкі і ліку, роўнага аснове[правіць | правіць зыходнік]

  • \log_a 1 = 0,
  • \log_a a = 1.

Арыфметычныя ўласцівасці лагарыфма[правіць | правіць зыходнік]

  • Лагарыфм здабытку:
 \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y)
  • Лагарыфм дзелі:
\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a (x) - \log_a (y)
  • Лагарыфм ступені:
\log_a(x^p) = p \log_a (x)
  • Лагарыфм кораня:
\log_a \sqrt[p]{x} = \frac{\log_a (x)}{p}
  • Калі аснова лагарыфма ёсць ступень некаторага выразу:
\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b.

Доказ: Гэта тоеснасць атрымліваецца адразу, калі ад лагарыфма па аснове a^k перайсці да лагарыфма па аснове a.

Вынікі:

  • \log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b;
    \log_{a^k}{b^p} = \frac{p}{k}\log_a{b};
    \log_{a^k} b^k = \log_a b.
  • Яшчэ адна карысная тоеснасць:
c^{\log_a b}=b^{\log_a c}

Доказ: Каб даказаць яе, заўважым, што лагарыфмы ў левай і правай частках супадаюць па аснове a, а тады, згодна з вынікам з асноўнай лагарыфмічнай тоеснасці, левая і правая часткі тоесна роўныя.

Існуе відавочнае абагульненне прыведзеных формул:

\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|
\log_a \left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|

Формула для лагарыфма здабытку без цяжкасцей абагульняецца на адвольную колькасць сумножнікаў:

 \log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)

Апісанымі ўласцівасцямі і тлумачыцца, чаму выкарыстанне лагарыфмаў (да вынаходніцтва калькулятараў) істотна палягчала вылічэнні. Напрыклад, множанне шматзначных лікаў x, y з дапамогай лагарыфмічных табліц адбывалася па наступнаму алгарытму:

  1. Знайсці ў табліцах лагарыфмы лікаў x, y.
  2. Скласці гэтыя лагарыфмы, атрымаўшы такім чынам (згодна з первай уласцівасцю) лагарыфм здабытку x \cdot y.
  3. Па лагарыфму здабытку знайсці ў табліцах сам здабытак.

Дзяленне, якое без дапамогі лагарыфмаў істотна больш працаёмкае чым множанне, выконвалася па таму ж алгарытму, толькі з заменай складання лагарыфмаў на адыманне. Гэтак жа спрашчаліся ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня.

Замена асновы лагарыфма[правіць | правіць зыходнік]

  • Ад лагарыфма \log_a b па аснове a можна перайсці да лагарыфма па другой аснове c[4]:
\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}
  • Вынік: перастаноўка асновы і лагарыфмуемага выразу:
\log_a b = \frac {1}{\log_b a}

Лагарыфмічная функцыя[правіць | правіць зыходнік]

Лагарыфмічная функцыя адваротная да паказчыкавай
Графікі лагарыфмічных функцый з асновамі: 2 (жоўты), e (чырвоны), 0.5 (сіні)
Двайковы лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 2
Лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 1/2

Асноўныя уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Калі разглядаць лагарыфмаваны лік як зменную, мы атрымаем лагарыфмічную функцыю y=\log_a x. Яна вызначана пры a>0;\ a \ne 1; x>0.

  • Абсяг вызначэння: x>0.
  • Абсяг значэнняў: E(y)=(-\infty; + \infty ).

Гэта крывая часта называецца лагарыфмікай[7].

  • З формулы замены асновы лагарыфма відаць, што графікі лагарыфмічных функцый з рознымі асновамі, большымі за адзінку, адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі расцяжэннем уздоўж восі y:
 \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}
  • Графікі для асноў a і 1/a сіметрычныя адносна восі x.
\lim_{x \to +0} \log_a x = - \infty пры a > 1;
\lim_{x \to +0} \log_a x = + \infty пры 0 < a < 1.

(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

\int \log_a x\,dx = x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C,

дзе C — адвольная сталая.

f(xy)=f(x)+f(y).

Натуральны лагарыфм[правіць | правіць зыходнік]

Прыведзеная вышэй агульная формула вытворнай выглядае найпрасцей у выпадку натуральнага лагарыфма:

\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.

З гэтай прычыны ў матэматычных даследаваннях пераважна выкарыстоўваюць іменна натуральныя лагарыфмы. Яны нярэдка з'яўляюцца пры развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, даследаванні статыстычных залежнасцей (напрыклад, размеркавання простых лікаў) і пад.

Натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай

Праінтэграваўшы формулу для вытворнай у прамежку ад x=1 да x=b, атрымліваем:

\ln b = \int\limits_1^b {\frac {dx}{x}}.

Інакш кажучы, натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай y=\frac {1}{x} на названым прамежку x.

Нявызначаны інтэграл ад натуральнага лагарыфма лёгка знайсці інтэграваннем па частках:

\int{\ln x\,\mathrm{d}x} = x\ln x-x+C.

У матэматычным аналізе і тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў вялікую ролю адыгрывае паняцце лагарыфмічнай вытворнай функцыі f(x):

\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.
Раскладанне ў рад і вылічэнне натуральнага лагарыфма[правіць | правіць зыходнік]

Раскладзём натуральны лагарыфм у рад Тэйлара каля адзінкі:

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots.

Гэты рад збягаецца пры -1 < x \le 1. У прыватнасці:

\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots.

Формула непрыдатная для практычнага вылічэння лагарыфмаў з-за таго, што рад збягаецца вельмі павольна і толькі на вузкім прамежку. Аднак нескладана атрымаць з яе зручнейшую формулу:

\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right).

Гэты рад збягаецца хутчэй, і акрамя таго, цяпер левая частка формулы можа прадставіць лагарыфм любога дадатнага ліку.

Карыстацца апошняй формулай трэба так. Няхай Z — лік, лагарыфм якога трэба вылічыць.

1) З ураўнення


Z = \frac{1+x}{1-x}

знаходзім x:


x = \frac{Z-1}{Z+1}.

2) Вылічанае значэнне x падстаўляем у рад і атрымліваем значэнне \ln Z.

Дадзены алгарытм ужо прыдатны да выкарыстання на практыцы пры вылічэнні значэнняў лагарыфмаў, аднак ён не найлепшы з пункту гледжання працаёмкасці. Існуюць больш дзейсныя алгарытмы[9].

Гранічныя суадносіны[правіць | правіць зыходнік]

Прывядзём некалькі карысных граніц, якія ўтрымліваюць лагарыфмы[10].

\lim_{x \to 0} \frac{\log_a (1+x)} {x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\lim_{x \to +0} x^b \log_a x = 0 \quad (b > 0)
\lim_{x \to +\infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0 \quad (b > 0)
\ln x = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) 
              = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)
\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}h

Іншыя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Камплексны лагарыфм[правіць | правіць зыходнік]

Вызначэнне і ўласцівасці

Для камплексных лікаў лагарыфм вызначаецца гэтак жа, як рэчаісны. На практыцы выкарыстоўваецца амаль выключна натуральны камплексны лагарыфм, які пазначаецца \mathrm{Ln}\, z і вызначаецца як рашэнне w ураўнення e^w=z (іншыя, эквівалентныя дадзеным, варыянты вызначэння прыведзены ніжэй).

У полі камплексных лікаў рашэнне гэтага ўраўнення, у адрозненне ад рэчаіснага выпадку, не вызначана адназначна. Напрыклад, згодна з тоеснасцю Эйлера, ~e^{\pi i}=-1; аднак таксама ~e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i} \dots =-1. Гэта звязана з тым, што паказальная функцыя ўздоўж ўяўнай восі з'яўляецца перыядычнай (з перыядам ~2 \pi)[12], і адно і тое ж значэнне функцыя прымае бясконца шмат разоў. Такім чынам, комплексная лагарыфмічная функцыя ~w=\mathrm{Ln}\,z з'яўляецца шматзначнай.

Камплексны нуль не мае лагарыфма, паколькі камплексная экспанента не прыймае нулявога значэння. Ненулявое z можна прадставіць у паказальнай форме:

z=r \cdot e^{i \varphi}

Тады \mathrm{Ln}\,z знаходзіцца па формуле:

\mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left( \varphi + 2 \pi k \right)

Тут \ln\,r= \ln\,|z| — рэчаісны лагарыфм, k — адвольны цэлы лік. Адсюль выцякае:

Камплексны лагарыфм \mathrm{Ln}\, z існуе для любога z \ne 0, і яго рэчаісная частка вызначаецца адназначна, у той час як уяўная частка мае бясконцае мноства значэнняў, якія адрозніваюцца на цэлае кратнае 2\pi..


Рэчаісная частка камплекснага лагарыфма

З формулы відаць, што ў аднаго і толькі аднаго са значэнняў уяўная частка знаходзіцца ў інтэрвале ~(-\pi, \pi]. Гэта значэнне называецца галоўным значэннем комплекснага натуральнага лагарыфма. Адпаведная (ужо адназначная) функцыя называецца галоўнай галіной лагарыфма і пазначаецца \ln\,z. Часам праз \ln\, z таксама пазначаюць значэнне лагарыфма, якое ляжыць не на галоўнай галіне. Калі z — рэчаісны лік, то галоўнае значэнне яго лагарыфма супадае з звычайным рэчаісным лагарыфмам.

З прыведзенай формулы таксама вынікае, што рэчаісная частка лагарыфма вызначаецца наступным чынам праз кампаненты аргумента:

\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)

На малюнку паказана, што рэчаісная частка як функцыя кампанентаў цэнтральна-сіметрычна і залежыць толькі ад адлегласці да пачатку каардынатаў. Яна атрымліваецца кручэннем графіка рэчаіснага лагарыфма вакол вертыкальнай восі. З набліжэннем да нуля функцыя імкнецца да -\infty.

Прыклады значэнняў комплекснага лагарыфма[правіць | правіць зыходнік]

Прывядзем галоўнае значэнне лагарыфма (\ln) і агульны яго выраз (\mathrm{Ln}) для некаторых аргументаў:

\ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i
\ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi
\ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi

Варта быць асцярожным пры пераўтварэннях комплексных лагарыфмаў, прымаючы пад увагу, што яны шматзначныя, і таму з роўнасці лагарыфмаў якіх-небудзь выразаў не варта роўнасць гэтых выразаў. Прыклад памылковай развагі:

 i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi — відавочная памылка.

Адзначым, што злева варта галоўнае значэнне лагарыфма, а справа — значэнне з ніжэйшай галіны (k=-1). Прычына памылкі — неасцярожнае выкарыстанне ўласцівасці \log_a{(b^p)} = p~\log_a b, якая, наогул кажучы, мае на ўвазе ў комплексным выпадку ўвесь бясконцы набор значэнняў лагарыфма, а не толькі галоўнае значэнне.

Камплексная лагарыфмічная функцыя і рыманавая паверхня[правіць | правіць зыходнік]

Камплексны лагарыфм (уяўная частка)

У камплексным аналізе замест разгляду мнагазначных функцый на камплекснай плоскасці прынята іншае рашэнне: разглядаць функцыю як адназначную, але вызначаную не на плоскасці, а на больш складанай разнастайнасці, якоая называецца рыманавай паверхняй[13]. Камплексная лагарыфмічная функцыя таксама адносіцца да гэтай катэгорыі: яе вобраз складаецца з бясконцага ліку галін, закручаных ў выглядзе спіралі. Гэтая паверхню бесперапынная і аднасувязная. Адзіны нуль у функцыі (першага парадку) атрымліваецца пры z=1. Асаблівыя пункты: z=0 і z=\infty (пункты разгалінавання бясконцага парадку).

У сілу аднасувязнасці рыманавая паверхня лагарыфма з'яўляецца універсальнай накрываючай[14] для камплекснай плоскасці без пункту 0.

Аналітычны працяг[правіць | правіць зыходнік]

Лагарыфм камплекснага ліку таксама можа быць вызначаны як аналітычны працяг рэчаіснага лагарыфма на ўсю камплексную плоскасць. Хай крывая \Gamma пачынаецца ў адзінцы, не праходзіць праз нуль і не перасякае адмоўную частку рэчаіснай восі. Тады галоўнае значэнне лагарыфма ў канчатковым пункце w крывой \Gamma можна вызначыць па формуле[15]:

\ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}

Калі \Gamma — простая крывая (без самаперасячэнняў), то для лікаў, якія ляжаць на ёй, лагарыфмічныя тоеснасці можна ўжываць без боязі, напрыклад:

\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Галоўная галіна лагарыфмічнай функцыі бесперапынная і дыферэнцыруема на ўсёй камплекснай плоскасці, акрамя адмоўнай часткі рэчаіснай восі, на якой уяўная частка скокам мяняецца на 2\pi. Але гэты факт ёсць следства штучнага абмежавання ўяўнай часткі галоўнага значэння інтэрвалам ~(-\pi, \pi]. Калі разгледзець усе галіны функцыі, то бесперапыннасць мае месца ва ўсіх пунктах, акрамя нуля, дзе функцыя не вызначана. Калі дазволіць крывой \Gamma перасякаць адмоўную частка рэчаіснай восі, то першае такое скрыжаванне пераносіць вынік з галіны галоўнага значэння на суседнюю галіну, а кожнае наступнае скрыжаванне выклікае аналагічнае зрушэнне па галінах лагарыфмічнай функцыі.

З формулы аналітычнага працягу вынікае, што на любой галіне лагарыфма:

\frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}

Для любой акружнасці S, якая ахоплівае пункт 0:

\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i

Інтэграл бярэцца ў станоўчым напрамку (супраць гадзіннікавай стрэлкі). Гэта тоеснасць ляжыць у аснове тэорыі вылікаў.

Можна таксама вызначыць аналітычнае працяг комплекснага лагарыфма з дапамогай вышэйпрыведзеных радоў: раду 1 або раду 2, — абагульненых на выпадак камплекснага аргументу. Аднак з выгляду гэтых радоў вынікае, што ў адзінцы сума раду роўная нулю, шэта значыць рад адносіцца толькі да галоўнай галіны шматзначнай функцыі камплекснага лагарыфма. Радыус збежнасці абодвух радоў роўны 1.

Сувязь са зваротнымі трыганаметрычнымі і гіпербалічнымі функцыямі[правіць | правіць зыходнік]

Паколькі камплексныя трыганаметрычныя функцыі звязаныя з экспанентай (формула Эйлера), то камплексны лагарыфм як зваротная да экспаненты функцыя звязаны са зваротнымі трыганаметрычнымі функцыямі[16]:

\operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2})
\operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2})
\operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i)
\operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i)

Гіпербалічныя функцыі на камплекснай плоскасці можна разглядаць як трыганаметрычныя функцыі ўяўнага аргументу, таму і тут мае месца сувязь з лагарыфмам[17]:

\operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1}) — зваротны гіпербалічны сінус
\operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left( z+\sqrt{z^{2}-1} \right) — зваротны гіпербалічны косінус
\operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right) — зваротны гіпербалічны тангенс
\operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) — зваротны гіпербалічны катангенс

Ужыванне на практыцы[правіць | правіць зыходнік]

Табліцы лагарыфмаў[правіць | правіць зыходнік]

Лагарыфмічныя табліцы

З уласцівасцей лагарыфма вынікае, што замест працаёмкага множання шматзначных лікаў дастаткова адшукаць (па табліцах) і скласці іхнія лагарыфмы, а потым па тых жа табліцах («Антылагарыфмы») выканаць ступеняванне, г.зн. знайсці значэнне па яго лагарыфму. Выкананне дзялення адрозніваецца толькі тым, што лагарыфмы адымаюцца.

Першыя табліцы лагарыфмаў выдаў Джон Непер (1614), і яны ўтрымівалі толькі лагарыфмы трыганаметрычных функцый, прычым з памылкамі. Незалежна ад яго свае табліцы надрукаваў Ёст Бюргі, друг Кеплера (1620). У 1617 годзе оксфардскі прафесар матэматыкі Генры Брыгс выдаў табліцы, якія ўжо ўключалі дзесятковыя лагарыфмы лікаў ад 1 да 1000, з 8 (пазней — з 14) знакамі. Але і ў табліцах Брыгса выявіліся памылкі. Першае безпамылковае выданне на аснове табліц Георга Вегі (1783) з'явілася толькі ў 1857 годзе ў Берліне (табліцы Брэмікера, Carl Bremiker)[18].

У Расіі першыя табліцы лагарыфмаў былі выдадзены ў 1703 годзе пры ўдзеле Л. П. Магніцкага[19]. У СССР было выдадзена некалькі зборнікаў табліц лагарыфмаў[20]:

  1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Табліцы Брадзіса, выдаваныя з 1921 года, выкарыстоўваліся ў навучальных установах і ў інжынерных разліках, якія не патрабавалі вялікай дакладнасці. Яны ўтрымлівалі мантысы дзесятковых лагарыфмаў і трыганаметрычных функцый, натуральныя лагарыфмы і некаторыя іншыя карысныя разліковыя прылады.
  2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Адмысловы зборнік для дакладных вылічэнняў.
  3. Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Класічныя шасцізначныя табліцы, зручныя для разлікаў з трыганаметрычнымі функцыямі.
  4. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
  5. Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
  6. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

Лагарыфмічная лінейка[правіць | правіць зыходнік]

У 1620-я гады Эдмунд Уінгейт і Уільям Оўтрэд вынайшлі першую лагарыфмічную лінейку, якая да з'яўлення кішэнных калькулятараў была незаменнай вылічальнай прыладай інжынера[21]. З дапамогай гэтай невялічкай прылады можна было хутка выконваць усе алгебраічныя аперацыі, у тым ліку з трыганаметрычнымі функцыямі[22]. Дакладнасць разлікаў — каля 3 значных лічб.

Лагарыфмічная лінейка

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 184-186.
  3. Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.
  4. 4,0 4,1 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 34.
  5. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.
  6. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
  7. Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах) — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  8. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 159-160.
  9. Sasaki T., Kanada Y. Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) (англ.)  // Journal of Information Processing. — 1982. — В. 4. — Т. 5. — С. 247–250.
  10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 164.
  11. Alan Baker Transcendental number theory — Cambridge University Press, 1975. — С. 10. — ISBN 978-0-521-20461-3.
  12. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 520-522.
  13. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 92-94.
  14. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология — М.: Наука, 1982. — С. 112. — (Библиотечка Квант, выпуск 21).
  15. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 45-46, 99-100.
  16. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 522-526.
  17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 624.
  18. История математики, том II, 1970, с. 62.
  19. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е — М.: КомКнига, 2005. — С. 66. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
  20. Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.
  21. История математики, том II, 1970, с. 65-66.
  22. Березин С. И. Счётная логарифмическая линейка — М.: Машиностроение, 1968.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]