Гамільтанава механіка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Класічная механіка
Гісторыя…
Гл. таксама «Фізічны партал»


Гамільтанава механіка з'яўляецца адной з фармулёвак класічнай механікі. Прапанаваная ў 1833 годзе Уільямам Гамільтанам. Яна паўстала з лагранжавой механікі, іншай фармулёўкі класічнай механікі, уведзенай Лагранжам ў 1788 годзе. Гамільтанава механіка можа быць сфармуляваная без прыцягнення лагранжавай механікі з выкарыстаннем сімплектычных разнастайнасцей і пуасонавых разнастайнасцей [1]

Нягледзячы на ​​фармальную эквівалентнасць лагранжавой і гамільтанавай механікі, апошняя, акрамя прыўнесеных ёю карысных тэхнічных дапаўненняў, адыграла істотную ролю для больш глыбокага разумення як матэматычнай структуры класічнай механікі, так і яе фізічнага сэнсу, уключаючы сувязь з механікай квантавай (Гамільтан першапачаткова хацеў сфармуляваць класічную механіку як караткахвалевую мяжу некаторай хвалевай тэорыі, што практычна цалкам адпавядае сучаснаму погляду).

Існуе пункт гледжання, што фармалізм Гамільтана наогул больш фундаментальны і арганічны, у тым ліку і ў асаблівасці для квантавай механікі (Дзірак), хоць гэты пункт гледжання і не стала агульнапрызнанай, у асноўным, мабыць з-за таго, што прыкметная частка такіх інтэрпрэтацый губляе відавочную (толькі відавочную) Лорэнц-каварыянтнасць, а таксама таму, што гэты пункт гледжання не даў такога практычнага выхаду, які пераканаў бы ў яе важнасці ўсіх. Зрэшты, варта заўважыць, што эўрыстычна яна, верагодна, была не апошняй сярод пабуджальных прычын, якія прывялі да адкрыцця ўраўнення Дзірака — аднаго з найбольш фундаментальных ураўнення квантавай тэорыі.

Перафармулёўка лагранжавай механікі[правіць | правіць зыходнік]

У лагранжавай механіцы механічная сістэма характарызуецца лагранжыянам: L(q,\;\dot{q},\;t) - функцыяй абагульненых каардынат ~q і адпаведных хуткасцей \dot{q}, а таксама магчыма часу t. У гамільтанавай механіцы ўводзіцца паняцце абагульненых імпульсаў, спалучаных абагульненым каардынатам, які (імпульсы) вызначаюцца праз лагранжыян наступным чынам:

p=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}.

У дэкартавых каардынатах абагульненыя імпульсы - гэта фізічныя лінейныя імпульсы. У палярных каардынатах абагульнены імпульс, які адпавядае кутняй хуткасці - фізічны вуглавы момант. Для адвольнага выбару абагульненых каардынат цяжка атрымаць інтуітыўную інтэрпрэтацыю спалучаных гэтым каардынатам імпульсаў або адгадаць іх выраз, не выкарыстоўваючы прама прыведзеную вышэй формулу.

Вектарнае ўраўненне Эйлера - Лагранжа тады прыме выгляд

\dot{p}=\frac{\partial L}{\partial q}.

Адсюль, у прыватнасці вынікае, што, калі нейкая каардыната апынулася цыклічнай, гэта значыць, калі функцыя Лагранжа ад яе не залежыць, а залежыць толькі ад яе вытворнай па часе, то для спалучанага ёй імпульсу \dot{p}=0, гэта значыць ён з'яўляецца інтэгралам руху (захоўваецца ў часе), што некалькі растлумачвае сэнс абагульненых імпульсаў.

У гэтай фармулёўцы, якая залежыць ад выбару сістэмы каардынат, не занадта відавочны той факт, што розныя абагульненыя каардынаты з'яўляюцца ў рэчаіснасці не чым іншым, як рознымі каардынатызацыямі адной і той жа сімплектычнай разнастайнасці.

З дапамогай пераўтварэння Лежандра лагранжыяна вызначаецца функцыя Гамільтана - гамильтаныян:

H\left(q,\;p,\;t\right)=\sum_i\dot{q}_i p_i-L(q,\;\dot{q},\;t).

Калі ўраўненні пераўтварэнні, якія вызначаюць абагульненыя каардынаты, незалежныя ад t, можна паказаць, што H роўны поўнай энергіі:

E=T+V.

Поўны дыферэнцыял гамільтаныяна запішацца ў выглядзе:

dH =\sum_i\left[\dot{q}_i\,dp_i+p_i\,d\dot{q}_i-\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\,d\dot{q}_i\right]-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)\,dt=\sum_i\left[\dot{q}_i\,dp_i+p_i\,d\dot{q}_i-\dot{p}_i\,dq_i-p_i\,d\dot{q}_i\right]-\frac{\partial L}{\partial t}\,dt=\sum_i\left[\dot{q}_i\,dp_i-\dot{p}_i\,dq_i\right]-\frac{\partial L}{\partial t}\,dt.

З улікам таго, што поўны дыферэнцыял гамільтаныяна таксама роўны

dH=\sum_i\left[\frac{\partial H}{\partial q_i}\,dq_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\,dp_i\right]+\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)\,dt.

Атрымаем ураўненні руху гамільтанавай механікі, вядомыя як кананічныя ўраўненні Гамільтана:

\frac{\partial H}{\partial q_j}=-\dot{p}_j,\qquad\frac{\partial H}{\partial p_j}=\dot{q}_j,\qquad\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}

Ураўненні Гамільтана ўяўляюць сабой дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку, і, такім чынам, іх лягчэй вырашаць, чым ураўненні Лагранжа, якія з'яўляюцца дыферэнцыяльнага ўраўнення другога парадку. Аднак крокі, якія прыводзяць да ўраўненняў руху, больш працаёмкія, чым у лагранжавай механіцы - пачынаючы з абагульненых каардынат і функцыі Лагранжа, мы павінны вылічыць гамільтаныян, выказаць кожную абагульненую хуткасць у тэрмінах спалучаных імпульсаў і замяніць абагульненыя хуткасці ў гамільтаныяне спалучанымі імпульсамі. У цэлым, ёсць невялікі выйгрыш у працы ад рашэння праблемы ў гамільтанавам, а не ў лагранжавам фармалізме, хоць у канчатковым рахунку гэта прыводзіць да тых жа рашэнняў, што і лагранжава механіка і законы руху Ньютана.

Асноўнае прызначэнне гамільтанавага падыходу - тое, што ён забяспечвае аснову для больш фундаментальных вынікаў у класічнай механіцы.

Для адвольнай функцыі кананічных зменных f(q,\;p,\;t) маем

\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q_i}+\frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p_i}\right)=\frac{\partial f}{\partial t}\,+\,\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial f} {\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)=\frac{\partial f}{\partial t}\,+\,\{H,\;f\},

дзе \{H,\;f\} - дужка Пуасона. Дадзенае ўраўненне з'яўляецца асноўным ураўненнем гамільтанавай механікі. Можна непасрэдна праверыць, што яно справядліва таксама і для саміх кананічных зменных f=q ці f=p.

З дадзенага ўраўнанне варта, што калі некаторая дынамічная зменная не з'яўляецца непасрэднай функцыяй часу, то яна з'яўляецца інтэгралам руху тады і толькі тады, калі яе дужка Пуасона роўная нулю.

Атрыманне ўраўненняў Гамільтана непасрэдна з прынцыпу стацыянарнага дзеяння[правіць | правіць зыходнік]

Простае прамое атрыманне гамільтанавай формы механікі зыходзіць з гамільтанавага запісу дзеянні:

S=\int\left(\sum_j p_j\,dq_j-H(p,\;q)\,dt\right)=\int\left(\sum_j p_j\dot{q}_j-H(p,\;q)\right)\,dt,

якое можна лічыць фундаментальных пастулатам механікі ў гэтай фармулёўцы[2]. (Пад p і q без індэксаў тут маецца на ўвазе ўвесь набор абагульненых імпульсаў і каардынат).

Умова стацыянарнага дзеяння

\delta S=0

дае магчымасць атрымаць кананічныя ўраўненні Гамільтана, прычым вар'іраванне тут вядзецца незалежна па \delta p_j и \delta q_j. Так атрымліваем (зноў, але цяпер без выкарыстання лагранжавага спосабу) кананічныя ўраўненні Гамільтана:

\dot{p}_j=-\frac{\partial H}{\partial q_j},
\dot{q}_j=\frac{\partial H}{\partial p_j}.

Выкарыстоўваючы другое, можна выказаць усё p_j праз набор q_i і \dot{q_i}, пасля чаго выраз пад інтэгралам стане, відавочна, проста функцыяй Лагранжа. Такім чынам мы атрымліваем лагранжаву фармулёўку прынцыпу стацыянарнага (найменшага) дзеяння з гамільтанавай.

Зноскі

  1. А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. М.: РХД, 1999. - 464с.
  2. Гэта (з дакладнасцю да пастаяннага множніка, які можна апусціць пры падыходным выбары адзінак вымярэння), мабыць, найбольш прама запісаны выраз для фазы
    \scriptstyle{\varphi=\int\left(\sum\limits_j k_j\,dx_j-\omega(k_j,\;x_j)\,dt\right)}
    ў квантавай механіцы (з пункту гледжання фейнманаўского інтэграла па траекторыях або пры простым квазікласічнам разглядзе руху хвалевага пакета), дзе імпульс і энергія з'яўляюцца з дакладнасцю да таго ж пастаяннага множніка (канстанты Планка) — частатой і хвалевым вектарам
    \scriptstyle{p_j=\hbar k_j,\quad E=\hbar\omega}
    (тут для прастаты выкарыстаны декартавыя каардынаты). Метад жа стацыянарнай фазы \scriptstyle{\delta\varphi=0} дае класічнае набліжэнне, што цалкам аналагічнае гамільтанаву спосабу, які выкладзены раней, іншымі словамі, проста яго паўтарае. Заўважым таксама, што ў цэлым гэта адзін з найбольш прамых спосабаў усталяваць аналогію паміж распаўсюджваннем «кропкавых» хвалевых пакетаў абурэнняў у шырокім класе асяроддзяў і рухам матэрыяльнага пункта механікі. Аналогія ж гэтая, у прыватнасці, дазваляе атрымаць яшчэ адзін карысны пункт гледжання на прыроду і ўласцівасці абагульненых імпульсаў.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]