Лагранжава механіка

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Класічная механіка
Гісторыя…
Гл. таксама «Фізічны партал»


Лагранжава механіка з'яўляецца перафармулёўкай класічнай механікі, уведзенай Лагранжам ў 1788 годзе. У лагранжавай механіцы траекторыя аб'екта атрымліваецца пры дапамозе адшукання шляху, які мінімізуе дзеянне - інтэграл ад функцыі Лагранжа па часе. Функцыя Лагранжа для класічнай механікі ўводзіцца ў выглядзе рознасці паміж кінетычнай энергіяй і патэнцыйнай энергіяй.

Гэта значна спрашчае мноства фізічных задач. Напрыклад, разгледзім пацерку на абручы. Калі вылічаць рух, выкарыстоўваючы другі закон Ньютана, то трэба запісаць складаны набор ураўненняў, якія прымаюць пад увагу ўсе сілы, якія дзейнічаюць на абруч з боку пацеркі ў кожны момант часу. З выкарыстаннем лагранжавай механікі рашэнне той жа самай праблемы становіцца нашмат прасцей. Трэба разгледзець усе магчымыя руху пацеркі па заручу, і матэматычна знайсці тое, якое мінімізуе дзеянне. Тут менш ураўненняў, так як не трэба непасрэдна вылічаць уплыў абруча на пацерку ў дадзены момант. Праўда, у дадзенай задачы ўраўненне ўсяго толькі адно, і яго можна атрымаць таксама з закона захавання механічнай энергіі.

Сутнасць лагранжавай механікі[правіць | правіць зыходнік]

Лагранжыян і прынцып найменшага дзеяння[правіць | правіць зыходнік]

Механічная сістэма характарызуецца абагульненымі каардынатамі q і абагульненымі хуткасцямі \dot{q}. Механічнай сістэме ставіцца ў адпаведнасць функцыя Лагранжа - лагранжыян, якая залежыць ад абагульненых каардынат і хуткасцей, і, магчыма, непасрэдна ад часу - L(q,\dot{q},t). Інтэграл па часе ад лагранжыяна пры зададзенай траекторыі называюць дзеяннем S:

S=\int^{t_1}_{t_0} L(q,\dot{q},t) dt

Ураўненні руху ў лагранжавай механіцы заснаваныя на прынцыпе найменшага (стацыянарнага) дзеяння (прынцып Гамільтана) - сістэма рухаецца па траекторыі, якая адпавядае мінімальнаму дзеянню (хоць бы ў некатораму малой наваколлі мноства магчымых траекторый). Пад стацыянарнасцю маецца на ўвазе, што дзеянне не мяняецца ў першым парадку драбніцы пры бясконца малым змене траекторыі, з замацаванымі пачатковай math>(q_0,\;t_0)</math> і канчатковай (q_1,\;t_1) кропкамі. Прынцып Гамільтана запішацца ў выглядзе

\delta S=0.

Любая такая траекторыя называецца прамым шляхам паміж дзвюма кропкамі. Усе астатнія шляхі называюцца вакольнымі.

Трэба быць асцярожным і памятаць, што з роўнасці нуля першай варыяцыі дзеяння варта толькі яго стацыянарнасць, але не мінімальнае дзеянне. Лёгка заўважыць, што максімальнага значэння функцыянал дзеяння ў класічнай механіцы прымаць не можа, так як часціца можа прайсці той жа самы шлях з большай хуткасцю, пры гэтым яе кінетычная энергія на ўсім шляху будзе больш, а патэнцыйная энергія не зменіцца, гэта значыць дзеянне не абмежаванае зверху (калі не накладваць абмежаванняў на хуткасці). Аднак дзве кропкі могуць злучацца некалькімі шляхамі, на якіх дзеянне прымае стацыянарнае значэнне. Прасцейшы прыклад - свабодны рух кропкі па сферы, пры якім існуе бясконца шмат раўнапраўных спосабаў трапіць у дыяметральна супрацьлеглы пункт. Магчымы больш складаныя выпадкі, калі кропкі злучаюцца некалькімі прамымі шляхамі, але значэнне дзеяння на іх розна.

Кропка M_2 завецца спалучаным кінетычным фокусам для кропкі M_1, калі праз M_1 і M_2 праходзяць некалькі прамых шляхоў.

У літаральным сэнсе прынцып найменшага дзеянні справядлівы толькі лакальна. А менавіта, мае месца тэарэма Бобылява: дзеянне ўздоўж прамога шляху M_1M_2 мае найменшае значэнне ў параўнанні з вакольнымі шляхамі, калі на дузе M_1M_2 няма спражанага для M_1 кінетычнага фокуса.

З прынцыпу Гамільтана, зыходзячы ў адпаведнасці з варыяцыйным вылічэннем, атрымліваюцца ўраўненні Эйлера-Лагранжа:

\frac {d}{dt}\frac {\partial L} {\partial \dot {q}}-\frac {\partial L}{\partial q}=0

Калі ўвесці абазначэнні

p=\frac {\partial L} {\partial \dot {q}} - абагульненыя імпульсы

F=\frac {\partial L}{\partial q} - абагульненыя сілы

то ўраўненні Эйлера-Лагранжа прымуць выгляд

\frac {dp}{dt}=F

Гэта значыць, у форме абагульненага другога закона Ньютана.

Лагранжыян сістэмы вызначаецца з дакладнасцю да поўнай вытворнай па часе ад адвольнай функцыі каардынат і часу. Даданне такой функцыі ў лагранжыян не ўплывае на выгляд ураўненняў руху.

Лагранжыян у неінерцыйных сістэмах адліку[правіць | правіць зыходнік]

Прынцыпова важная асаблівасць лагранжыяна - адытыўная для неўзаемадзеючых сістэм - лагранжыян сукупнасці неўзаемадзеючых сістэм роўны суме іх лагранжыянаў. Іншы важны прынцып класічнай механікі - прынцып адноснасці Галілея — аднолькавасць законаў у розных інерцыйных сістэмах. Акрамя гэтага выкарыстоўваюцца агульныя здагадкі аднастайнасці і ізатропнасці прасторы і часу. Гэтыя прынцыпы азначаюць інварыянтнасць (з дакладнасцю да названай невызначанасці) лагранжыяна адносна тых ці іншых пераўтварэнняў.

У прыватнасці, для сістэмы, якая свабодна рухаецца, (матэрыяльнага пункта) у інерцыяльнай сістэме з прынцыпаў аднастайнасці прасторы і часу вынікае, што лагранжыян павінен быць функцыяй толькі хуткасці. Ізатропнасць прасторы азначае, што лагранжыян залежыць толькі ад абсалютнай велічыні хуткасці, а не ад напрамку, то ёсць фактычна L=L(v^2). Далей скарыстаемся прынцыпам адноснасці. Варыяцыя лагранжыяна роўная \delta L =\frac {\partial L}{\partial v^2}v \delta v. Гэтая варыяцыя будзе поўнай вытворнай па часе, толькі калі \frac {\partial L}{\partial v^2}=const, адкуль атрымліваем, што лагранжыян прама прапарцыйны квадрату хуткасці L=\frac {m}{2} v^2

Параметр m гэта, як можна паказаць з ураўненняў руху, - маса часціцы, а лагранжыян па сутнасці роўны кінетычнай энергіі.

З ураўненняў руху варта тады, што вытворная лагранжыяна па хуткасці з'яўляецца пастаяннай велічынёй. Але гэтая вытворная роўная mv зыходзячы з выгляду лагранжыяна. Такім чынам, вектар хуткасці часціцы, якая свабодна рухаецца ў інерцыяльнай сістэме, з'яўляецца пастаяннай (першы закон Ньютана)

З адытыўнасці лагранжыяна вынікае, што для сістэмы неўзаемадзеючых часціц лагранжыян будзе роўны

L=\sum^n_i \frac {m_i}{2} v^2_i

У выпадку замкнёнай сістэмы часціц, што ўзаемадзейнічаюць, да дадзенага лагранжыяну варта дадаць функцыю каардынат (а часам і хуткасцей), якая залежыць ад характару ўзаемадзеяння

L=\sum_i \frac {m_i}{2} v^2_i-U(r_1,r_2,..., r_n)

Аналагічны выгляд мае лагранжыян адкрытай сістэмы ў вонкавым полі. У гэтым выпадку функцыі каардынат і хуткасцей поля лічацца зададзенымі, таму кінетычную частку лагранжыяна поля можна не браць да ўвагі як функцыю толькі часу. Таму лагранжыян вялікай сістэмы (якая ўключае вонкавае поле) апісваецца лагранжыянам дадзенай сістэмы плюс функцыя поля ад каардынат і хуткасцей сістэмы, а таксама, магчыма часу.

Для адной часціцы ў вонкавым поле лагранжыян будзе роўны

L=mv^2/2+U(r,t)

Адсюль няцяжка вывесці ўраўненні руху

m\dot v=-\frac {\partial U}{\partial r}=F

Гэта другі закон Ньютана.

Законы захавання (інтэгралы руху)[правіць | правіць зыходнік]

Аднастайнасць і ізатропнасць прасторы і часу прыводзяць да найбольш часта выкарыстоўваных законах захавання - т.зв. адытыўных інтэгралах руху.

Закон захавання энергіі[правіць | правіць зыходнік]

З аднастайнасці часу вынікае, што лагранжыян не залежыць ад часу непасрэдна, такім чынам


\frac {dL}{dt}=\sum_i \frac {\partial L}{\partial q_i}\dot{q_i}+\frac {\partial L}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q_i}

Выкарыстоўваючы ўраўненні Эйлера-Лагранжа, адсюль атрымліваем


\frac {dL}{dt}=\sum_i\frac {d}{dt} \frac {\partial L}{\partial \dot q_i}\dot{q_i}+\sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot{q}}\ddot{q_i}=\sum_i \frac {d}{dt}(\frac {\partial L}{\partial \dot q_i}\dot{q_i})

Адсюль


\frac {d}{dt} (\sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot q_i}\dot{q_i}-L)=0

Такім чынам, велічыня


E=\sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot q_i}\dot{q_i}-L=\sum_i p_i\dot{q_i}-L

званая энергіяй сістэмы не змяняецца з часам. Гэта закон захавання энергіі.

Улічваючы выгляд лагранжыяна для замкнёнай або для сістэмы, якая знаходзіцца ў вонкавым поле, роўная

L=T(q,\dot q)-U(q)

дзе T(q,\dot q) - аднастайная квадратычная функцыя хуткасцей, то зыходзячы з тэарэмы Эйлера аб аднародных функцыях, атрымліваем

E=2T-(T-U)=T+U

Такім чынам, энергія сістэмы складаецца з двух кампанент - кінетычнай энергіі і патэнцыйнай.

Закон захавання імпульсу[правіць | правіць зыходнік]

Аднастайнасць прасторы азначае інварыянтнасць лагранжыяна адносна паралельных пераносаў. Маем для варыяцыі лагранжыяна

\delta L= \sum_i \frac {\partial L}{\partial \mathbf{r}} \delta \mathbf{r}_i=(\sum_i \frac {\partial L}{\partial \mathbf{r}_i}) \delta \mathbf{r}_i=0

Паколькі \delta \mathbf{r} - любая, то маем

\sum_i \frac {\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0

Дадзеныя суадносіны з улікам уведзенага паняцця абагульненай сілы азначаюць, што вектарная сума сіл роўная нулю (у прыватным выпадку двух целаў - дзеянне роўна процідзеянню - трэці закон Ньютана).

Падстаўляючы дадзенае роўнасць ва ўраўненні Эйлера-Лагранжа, атрымаем

\frac {d}{dt} (\sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot \mathbf{r_i}})=0

Такім чынам, выраз у дужках

P=\sum_i \frac {\partial L}{\partial \mathbf{v}_i}=\sum_i m_i \mathbf{v}_i

з'яўляецца вектарнай велічынёй, званай імпульсам, захоўваецца ў часе. Гэта закон захавання імпульсу.

Закон захавання імпульсу сістэмы часціц можа быць сфармуляваны як раўнамернасць і просталінейнасць руху цэнтра цяжару сістэмы.

Закон захавання моманту імпульсу[правіць | правіць зыходнік]

Ізатропнасць прасторы азначае інварыянтнасць лагранжыяна замкнёнай механічнай сістэмы адносна паваротаў. Калі вызначыць па правілу шрубы вектар бясконца малога павароту \delta \mathbf{\phi}, то змены радыус-вектара і вектара хуткасці будуць роўныя вектарнаму творы вектара павароту на радыус вектар або вектар хуткасці адпаведна:

\delta \mathbf{r}=[\delta \mathbf{\phi},\mathbf{r}], \delta \mathbf{v}=[\delta \mathbf{\phi},\mathbf{v}]

Нязменнасць лагранжыяна азначае, што

\delta L=\sum_i (\frac {\partial L}{\partial\mathbf{r}_i}\delta \mathbf{r}_i+\frac {\partial L}{\partial\mathbf{v}_i}\delta \mathbf{v}_i)=\sum_i (\mathbf{\dot{p}}_i \delta \mathbf{r}_i+\mathbf{p}_i \delta \mathbf{v}_i)=0

Падстаўляючы сюды выразы для змен радыус-вектара і вектара хуткасці, атрымліваем:

\sum_i (\dot{\mathbf{p}}_i[\delta \mathbf{\phi},\mathbf{r}_i]+\mathbf{p}_i[\delta \mathbf{\phi},\mathbf{v}_i])=\delta \phi \sum_i ([\mathbf{r}_i,\dot{\mathbf{p}}_i]+[\mathbf{v}_i,\mathbf{p}_i])=\delta \phi \sum_i \frac{d[\mathbf{r}_i,\mathbf{p}_i]}{dt}=0

Улічваючы адвольнасць вектара павароту, канчаткова можна запісаць

  \frac{d}{dt}\sum_i[\mathbf{r}_i,\mathbf{p}_i]=0

Гэта значыць, што вектарная велічыня

\mathbf{M}=\sum_i[\mathbf{r}_i,\mathbf{p}_i]

захоўваецца. Гэтая велічыня і называецца момантам імпульсу ці проста момантам.

Рэлятывісцкая лагранжава механіка[правіць | правіць зыходнік]

Базавы пастулат тэорыі адноснасці - сталасць хуткасці святла ва ўсіх інерцыйных сістэмах прыводзіць да інварыянтнай велічыні, званай інтэрвалам s, якая з'яўляецца спецыфічнай метрыкай у четырехмерном прасторы-часу:

s^2=c^2t^2-\mathbf{x}^2

Для сістэмы, якая адвольна (гэта значыць не абавязкова раўнамерна і прамалінейна) рухаецца, можна разгледзець бясконца малыя прамежкі часу, на працягу якіх рух можна лічыць раўнамерным. Хай за прамежак часу dt па нерухомаму гадзінніку аб'ект праходзіць адлегласць dx. Тады для інтэрвалу маем выраз

ds^2=c^2dt^2-dx^2=c^2dt^2(1-dx^2/c^2dt^2)=c^2dt^2(1-v^2/c^2)

Такім чынам,

ds=cdt\sqrt{1-v^2/c^2}

Інтэгруючы, атрымаем

S=\int^{t_2}_{t_1}cdt\sqrt{1-v^2/c^2}

Такім чынам, калі прыняць лагранжыян рэлятывісцкай часціцы прапарцыйным падынтэгральны функцыі ад хуткасці, то паказаны інтэграл будзе інварыянтнай адносна інерцыйных сістэм дзеяннем.

З меркаванняў супадзення з класічнай механікай пры малых хуткасцях лагранжыян свабоднай рэлятывісцкай часціцы ў інерцыяльны сістэме ў канчатковым выніку роўны

L=-mc^2 \sqrt {1-v^2/c^2}

Адпаведна, рэлятывісцкі імпульс роўны

\mathbf {p}=\frac {\partial L}{\partial \mathbf{v}}=\frac {m \mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

рэлятывісцкая энергія роўная

 E=\mathbf{pv}-L=\frac {mc^2} {\sqrt {1-v^2/c^2} }

Відна, што нават пры нулявой хуткасці часціца валодае энергіяй (у адрозненне ад класічнай механікі), якую называюць энергіяй спакою.

Адсюль нескладана атрымаць рэлятывісцкай суадносіны паміж энергіяй і імпульсам

E^2=p^2c^2+m^2c^4

Лагранжавы фармалізм у тэорыі поля[правіць | правіць зыходнік]

У тэорыі поля сума лагранжыянаў часціц механічнай сістэмы замяняецца інтэгралам па некаторым аб'ёме прасторы ад так званай лагранжавай шчыльнасці (у тэорыі поля лагранжеву шчыльнасць часам і называюць лагранжыяном):

L=\int_V \mathcal{L} d^3 r

Адпаведна дзеянне роўнае

S=\int^{t}_{t_0}\int_V \mathcal{L} d^3 r dt=\int_X \mathcal{L} d^4 x

дзе ў апошняй формуле мяркуецца інтэграванне па четырехмерного прасторы-часу.

Мяркуецца, што лагранжава шчыльнасць не залежыць непасрэдна ад каардынат, а залежыць ад палявой функцыі і яе першых вытворных. Ураўненні Эйлера-Лагранжа ў дадзеным выпадку маюць выгляд:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_a(x)}-\partial_{\nu}\left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu}u_a(x))}\right )=0

Расшырэнні лагранжавай механікі[правіць | правіць зыходнік]

Гамільтаныян, які пазначаюць \mathbf{H}, атрымліваецца пры выкананні пераўтварэнняў Лежандра над функцыяй Лагранжа. Гамільтаныян - падстава для альтэрнатыўнай фармулёўкі класічнай механікі, вядомай як гамільтанава механіка. Гэтая функцыя асабліва распаўсюджана ў квантавай механіцы.

У 1948 годзе Фейнман вынайшаў фармулёўку з прыцягненнем інтэгралаў па траекторыях і распаўсюдзіў прынцып найменшага дзеяння на квантавую механіку. У гэтай фармулёўцы часціцы падарожнічаюць па ўсіх магчымых траекторыях паміж пачатковым і канчатковым станамі; верагоднасць пэўнага канчатковага стану вылічаецца сумаваннем (інтэграваннем) па ўсіх магчымых траекторыях, якія прыводзяць да яго. У класічным выпадку фармулёўка інтэграла па траекторыях цалкам прайгравае прынцып Гамільтана.

Класічныя працы[правіць | правіць зыходнік]