e (лік)

Не блытаць з Пастаянная Эйлера — Маскероні.

Паказана некалькі функцый выгляду f(x) = a^x з рознымі значэннямі асновы a. Лік e — адзіная аснова, пры якой вытворная функцыі f(x) = a^x у пункце x = 0 раўняецца 1. Дзеля параўнання паказаны графікі для асноў 2 і 4.
Сіняя крывая: e^x;
пункцірная крывая: 2^x;
штрыхавая крывая: 4^x.
На рысунку відаць, што чырвоная прамая, праведзеная праз пункт (0,1) з нахілам 1, не з'яўляецца датычнай да графікаў апошніх дзвюх функцый.

Лік e (таксама лік Эйлера або пастаянная Непера) — важная матэматычная пастаянная, якая акрамя іншага з'яўляецца асновай натуральнага лагарыфма. Звычайна ў курсах матэматычнага аналізу пастаянную азначаюць як граніцу паслядоўнасці

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

пры імкненні n да бесканечнасці. Такі выраз ўзнікае пры вывучэнні складанага працэнта.

Эйлераў лік можна вылічыць і як суму бесканечнага рада

$e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots .$

Пастаянную можна вызначыць мноствам спосабаў. Напрыклад, іншы раз за азначэнне бяруць наступны факт: e — адзіны рэчаісны лік, такі што вытворная (нахіл датычнай прамой) функцыі f(x) = e^x у пункце x = 0 роўная 1. Функцыя e^x, вызначаная такім чынам, называецца экспаненцыяльнай функцыяй (або натуральнай паказчыкавай функцыяй), адваротнай да яе функцыяй з'яўляецца лагарыфм па аснове e — т.зв. натуральны лагарыфм. Натуральны лагарыфм дадатнага ліку k можна таксама вызначыць напрамую, як плошчу пад крывой y = 1/x, якая заключана паміж значэннямі аргумента x = 1 і x = k. Лік e — такі лік, натуральны лагарыфм якога роўны 1. Ёсць і іншыя іншыя азначэнні.

Пастаянную e часам называюць Эйлеравым лікам у гонар швейцарскага матэматыка Леанарда Эйлера (не блытаць з γ — пастаяннай Эйлера-Маскероні, якую іншы раз называюць проста пастаяннай Эйлера). Лік e таксама вядомы як пастаянная Непера, бо першыя вядомыя ўпамінанні гэтага ліку былі знойдзены ў працах Джона Непера, які выкарыстоўваў гэты лік у якасці асновы лагарыфма. Абазначаць лік літарай e пачаў Эйлер. Лік e мае вялікае значэнне ў матэматыцы і па важнасці стаіць побач с такімі лікамі як 0, 1, π і ўяўная адзінка i. Усе пяць лікаў сустракаюцца, мабыць, ва ўсіх галінах матэматыкі. Цікава, што ўсе яны ўваходзяць у тоеснасць Эйлера:

$e^{i\pi }+1=0.$

Як і пастаянная π, e — ірацыянальны лік: г.зн. яго нельга запісаць у выглядзе дзелі двух цэлых лікаў. Больш таго, ён трансцэндэнтны: г.зн. не існуе ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якога лік e быў бы коранем.

Лікавае значэнне e з дакладнасцю 50 дзесятковых знакаў пасля коскі:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... (паслядоўнасць A001113 у OEIS).

Гісторыя

Першыя ўскосныя ўпамінанні Эйлерава ліку сустракаюцца ў табліцах ў дадатку Неперавай працы па лагарыфмах, апублікаванай у 1618 годзе. Праца ўтрымлівала не саму пастаянную, а проста спіс лагарыфмаў, вылічаных па аснове, прыблізна роўнай 1/e. Мяркуюць, што табліцу напісаў Уільям Оўтрэд. Адкрыццё самой пастаяннай прыпісваецца Якабу Бернуллі, які спрабаваў знайсці значэнне граніцы (якая раўняецца e):

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Першыя вядомыя прамыя ўпамінанні пастаяннай Непера былі знойдзены ў пісьмах Лейбніца да Гюйгенса ў 1690 і 1691 гг. Там Лейбніц карыстаецца пастаяннай і абазначае яе літарай b. Леанард Эйлер ужыў літару e для абазначэння асновы натуральных лагарыфмаў у пісьме да Хрысціяна Гольдбаха 25 лістапада 1731 года. Эйлер пачаў абазначаць пастаянную літарай e недзе ў 1727 ці 1728 годзе, у неапублікаванай працы па выбуховых сілах у гарматах,, а першым з'яўленнем e ў публікацыі была Эйлерава Mechanica (1736). І хоць у наступныя гады некаторыя даследчыкі абазначалі лік літарай c, абазначэнне e было больш распаўсюджаным і ў выніку стала агульнапрынятым.

Прымяненні

Складаны працэнт

Даход ад пачатковага укладу $1000 пры 20% гадавых і пры розных частотах налічэння працэнта

Якаб Бернулі адкрыў пастаянную, рашаючы задачу аб складаным працэнце:

Пачатковая сума на рахунку $1.00, працэнтная стаўка па ўкладу складае 100% гадавых. Калі працэнты налічваюцца адзін раз у канцы года, сума на рахунку ў канцы года стане $2.00. Што адбудзецца, калі на працягу года працэнты налічваюцца на рахунак больш часта? (Пры гэтым налічаны на рахунак даход таксама пускаецца ў абарот пад тыя ж працэнты).

Калі працэнты пераводзяцца на рахунак двойчы ў год, сума будзе прырастаць на 50% кожныя 6 месяцаў, і такім чынам пачатковы $1 дамнажаецца на 1.5 двойчы, даючы $1.00×1.5² = $2.25 у канцы года. Паквартальнае накапленне дае $1.00×1.25⁴ = $2.4414..., а штомесячнае накапленне дае $1.00×(1+1/12)¹² = $2.613035... Калі ёсць n прамежкаў накаплення, працэнт на кожным прамежку будзе 100%/n і сума ў канцы года складзе $1.00×(1 + 1/n)ⁿ.

Бернулі заўважыў, што гэта паслядоўнасць прыбліжаецца да граніцы з ростам n і, адпаведна, са здрабненнем прамежкаў налічэння. Штотыднёвае налічэнне (n = 52) дае $2.692597..., тады як штодзённае налічэнне (n = 365) дае $2.714567..., толькі на два цэнты больш. Граніца пры неабмежаваным нарастанні n і ёсць лік, вядомы цяпер як e; пры непарыўным налічэнні, сума на рахунку дасягне $2.7182818.... У агульным выпадку, пачатковая сума на рахунку $1 і гадавы прырост даходу R долей пасля t гадоў дадуць у выніку e^Rt долараў пры непарыўным налічэнні. (Тут R — доля, а не працэнт. Так што, для 5% гадавых, R = 5/100 = 0.05.)

Выпрабаванні Бернуллі

Лік e ўзнікае і ў тэорыі імавернасцей. Няхай гулец робіць стаўкі ў гульнявым аўтамаце. Імавернасць выйгрышу пры адном запуску аўтамата роўная 1 на n. Ігрок робіць стаўку n разоў. Тады для вялікіх n (напрыклад, мільёна) імавернасць, што гуляка прайграе ўсе стаўкі прыблізна раўняецца 1/e. Так, для n = 20 гэта ўжэ 1/2.72.

Гэта прыклад выпрабаванняў Бернуллі. Кожны раз, калі ігрок кідае манетку ў аўтамат (робіць стаўку), шанц выйграць — адзін на мільён. Запуск аўтамата мільён разоў мадэліруецца біномным размеркаваннем, якое цесна звязана з біномам Ньютана. Імавернасць k разоў выйграць пры мільёне спроб роўная:

${\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}(1-10^{-6})^{10^{6}-k}.$

У прыватнасці, імавернасць ні разу не выйграць (k = 0) роўная:

$\left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}}.$

Гэта значэнне вельмі блізкае да наступнай граніцы:

${\frac {1}{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Беспарадкі

Пастаянная e ўзнікае і ў камбінаторыцы. Прыкладам можа служыць т.зв. задача аб беспарадках, таксама вядомая як задача разбору шапак, якою займаліся Якаб Бернуллі і П'ер Раймонд дэ Мантмор (фр.: Pierre Rémond de Montmort). Вось як гучыць гэта задача:

На вечарынку запрошана n гасцей. У дзвярах кожны госць аддае сваю шапку дварэцкаму, які затым ложыць яе ў адну з n скрынь, кожная з якіх пазначана іменем аднаго з гасцей. Але дварэцкі не знае гасцей па імёнах (а мо проста чытаць не ўмее) і таму кідае шапкі ў скрыні як папала. Задача дэ Мантмора — знайсці імавернасць таго, што ні адна шапка не трапіла ў патрэбную скрыню. Адказ такі:

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

Калі лік гасцей n імкнецца да бесканечнасці, p_n прыбліжаецца к 1/e. Больш таго, колькасць спосабаў раскідаць шапкі па каробках так, каб ні адна не папала куды трэба, для любога n раўняецца ліку n!/e, акругленаму да найбліжэйшага цэлага.

Асімптотыкі

Лік e натуральным чынам узнікае ў сувязі з мноствам задач, якія закранаюць асімтотыку. Выдатным прыкладам з'яўляецца формула Сцірлінга для асімптотыкі фактарыяла, куды ўваходзяць і e, і π:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Адсюль можна атрымаць:

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$

Лік e ў аналізе

Натуральны лагарыфм у пункце e, ln(e), роўны 1

Важнасць ліку e ў аналізе тлумачыцца найперш патрэбай ажыццяўляць дыферэнцаванне і інтэграванне паказчыкавых функцый і лагарыфмаў. Паказчыкавая функцыя агульнага выгляду y = a^x мае вытворную, якая задаецца як граніца:

${\frac {d}{dx}}a^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).$

Самая правая граніца ў выразе не залежыць ад зменнай x: яна залежыць толькі ад асновы a. Калі аснова роўная e, граніца раўняецца адзінцы, і такім чынам e вызначаецца з ураўнення:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$

Адсюль відаць, што паказчыкавая функцыя з асновай e асабліва зручная пры ажыццяўленні розных аперацый у аналізе. Выбар ліку e ў якасці асновы паказчыкавай функцыі значна спрашчае разлікі, у якіх неабходна знаходзіць вытворную.

Выкарыстанне ліку e ў якасці асновы таксама спрашчае інтэграванне і дыферэнцаванне лагарыфмічных функцый. Вылічым вытворную функцыі log_a x па азначэнню, г.зн. як граніцу:

${\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}={\frac {1}{x}}\left(\lim _{u\to 0}{\frac {1}{u}}\log _{a}(1+u)\right),$

дзе на апошнім кроку зроблена падстаноўка u = h/x. Апошняя граніца ў гэтым ланцужку роўнасцей ізноў залежыць толькі ад асновы a, і калі аснова — e, граніца раўняецца адзінцы. Такім чынам,

${\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.$

У гэтым выпадку лагарыфм называецца натуральным і абазначаецца як ln. Ён зручнейшы за лагарыфмы па іншых асновах, бо пры аперацыях дыферэнцавання і інтэгравання не прыходзіцца ўсюды цягаць нязручныя множнікі выгляду ln a.

Такім чынам, лік a = e з дапамогай паняцця вытворнай можна вызначыць двума спосабамі. Першы з іх — прыняць, што вытворная паказчыкавай функцыі a^x роўная a^x, і адсюль знайсці a. Другі — сказаць, што вытворная лагарыфма з асновай a раўняецца 1/x і адтуль знайсці a. Абодва спосабы раўназначныя і даюць аднолькавы вынік.

Іншыя азначэнні

Гл. таксама: Формулы для ліку e

Плошча паміж воссю x і графікам y = 1/x ад x = 1 да x = e роўная 1.

Лік e можна вызначыць і іначай: як граніцу паслядоўнасці, ці як суму бесканечнага рада, ці праз нейкія інтэгралы. Вышэй было прыведзена толькі два раўназначныя азначэнні (уласцівасці) ліку e, а іменна:

1. Лік e — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

${\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}.$

2. Лік e — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

${\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}.$

Можна паказаць, што наступныя тры азначэнні раўназначныя дадзеным раней:

3. Лік e — гэта граніца паслядоўнасці:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Ці граніца функцыі:

$e=\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}$

4. Лік e — гэта сума бесканечнага рада

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,$

дзе n! — фактарыял ліку n.

5. Лік e — адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

$\int _{1}^{e}{\frac {dt}{t}}=1.$

Уласцівасці

Аналіз

Паказчыкавая функцыя e^x мае важнае значэнне яшчэ і таму, што гэта адзіная не роўная тоесна нулю функцыя (з дакладнасцю да пастаяннага множніка), якая супадае са сваёй вытворнай

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

і такім чынам, яе першаісная таксама роўная:

${\begin{aligned}e^{x}&=\int _{-\infty }^{x}e^{t}\,dt\\[8pt]&=\int _{-\infty }^{0}e^{t}\,dt+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt\\[8pt]&=1+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt.\end{aligned}}$

Ступенна-паказчыкавыя функцыі

Гл. таксама: Задача Штэйнера

Глабальны максімум функцыі ${\sqrt[{x}]{x}}$ дасягаецца ў пункце x = e.

Глабальны максімум функцыі

$f(x)={\sqrt[{x}]{x}}$

дасягаецца ў x = e. Гэтак жа, x = 1/e — пункт, дзе дасягаецца глабальны мінімум функцыі

$f(x)=x^{x}\,$

вызначанай для дадатных x.

Больш агульна, x = e^−1/n будзе пунктам глабальнага мінімума функцыі

$f(x)=x^{x^{n}}$

для любога n > 0.

Па тэарэме Леанарда Эйлера, бесканечная ступенная вежа

$x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ або ^∞$x$

збягаецца, калі і толькі калі e^−e ≤ x ≤ e^1/e (або прыблізна паміж 0.0660 і 1.4447).

Тэорыя лікаў

Лік e ірацыянальны. Эйлер даказаў гэта, паказаўшы, што яго раскладанне ў просты непарыўны дроб бесканечнае. (Гл. таксама доказ ірацыянальнасці ліку e, які даў Жан Фур'е.)

Больш таго, па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса e — трансцэндэнтны лік, г.зн. ён не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Гэта быў першы лік, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, і які пры гэтым не быў адмыслова пабудаваны для гэтае мэты (як напрыклад лікі Ліувіля). Трансцэндэнтнасць ліку e даказаў Шарль Эрміт у 1873 годзе.

Была выказана здагадка, што лік e нармальны, г.зн. калі запісаць лік e ў сістэме злічэння для адвольнай асновы, магчымыя лічбы будуць раўнамерна размеркаваны (сустракаюцца з аднолькавай імавернасцю ў любой паслядоўнасці дадзенай даўжыні).

Камплексныя лікі

Паказчыкавую функцыю e^x можна запісаць у выглядзе рада Тэйлара:

$e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Гэты рад дазваляе выявіць мноства важных уласцівасцей функцыі e^x, нават калі x прымае камплексныя значэнні, яго звычайна выкарыстоўваюць, каб пашырыць азначэнне e^x на ўсе камплексныя лікі. Рад для паказчыкавай функцыі разам з радамі Тэйлара для сінуса і косінуса, дазваляе вывесці формулу Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

справядлівую для ўсіх x. Асобны выпадак пры x = π — тоеснасць Эйлера:

$e^{i\pi }=-1,$

з якой вынікае, што на галоўнай галіне лагарыфма,

$\log _{e}(-1)=i\pi .$

Больш таго, карыстаючыся правіламі ступенявання, атрымліваем тоеснасць

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),$

якая называецца формулай Муаўра.

Дыферэнцыяльныя ўраўненні

Функцыя агульнага выгляду

$y(x)=Ce^{x}$

ёсць рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:

$y'=y.$

Прадстаўленні

Асноўны артыкул: Формулы для ліку e

Лік e можна задаць рознымі спосабамі: як бесканечны рад, бесканечны здабытак, непарыўны дроб, ці граніцу паслядоўнасці. Як правіла, асабліва ў курсах матэматычнага аналізу, пастаянную азначаюць як граніцу

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$

ці як суму рада

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}},$

якая атрымліваецца з вышэйзгаданага ступеннага рада для e^x у x = 1.

Менш вядома прадстаўленне ліку e непарыўным дробам (паслядоўнасць A003417 у OEIS), якое атрымаў Леанард Эйлер:

$e=[2;1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,\mathbf {6} ,1,1,...,\mathbf {2n} ,1,1,...]=[1;\mathbf {0} ,1,1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,...,\mathbf {2n} ,1,1,...],$

што ў звычайным запісе выглядае як:

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {1}{\mathbf {0} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

А гэты ланцуговы дроб e збягаецца ў тры разы хутчэй:

$e=[1;0.5,12,5,28,9,44,13,\ldots ,4(4n-1),(4n+1),\ldots ],$

або ў разгорнутым запісе:

$e=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{22+{\cfrac {1}{26+\ddots \,}}}}}}}}}}}}}}.$

Вядома таксама многа іншых прадстаўленняў ліку e ў выглядзе непарыўных дробаў, радоў, граніц паслядоўнасцей, бесканечных здабыткаў.

Стахастычныя прадстаўленні

Акрамя дакладных аналітычных выразаў для ліку e, ёсць і імавернасныя метады ацэнкі ліку e. Вось адзін з іх: няхай ёсць бесканечная паслядоўнасць незалежных выпадковых велічынь X₁, X₂..., кожная з якіх раўнамерна размеркавана на адрэзку [0, 1]. Няхай V — найменшы лік n, для якога сума першых n членаў паслядоўнасці большая за 1:

$V=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.$

Тады матэматычнае спадзяванне велічыні V раўняецца e:

$\mathbb {E} [V]=e.$

Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў

За апошнія дзесяцігоддзі колькасць вядомых лічбаў ліку e рэзка ўзрасла. Гэта стала магчыма як дзякуючы росту вылічальных магутнасцей, так і дзякуючы ўдасканаленню алгарытмаў.

Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў ліку e

Дата	Колькасць лічбаў	Аўтар разлікаў
1748	23	Леанард Эйлер
1853	137	Уільям Шэнкс (англ.: William Shanks)
1871	205	Уільям Шэнкс
1884	346	Дж. Маркус Бурмэн (англ.: J. Marcus Boorman)
1949	2,010	Джон фон Нейман (на ЭНІАКу)
1961	100,265	Daniel Shanks & John Wrench
1978	116,000	Стыў Возняк (на Apple II)
1994 (1 красавіка)	1,000,000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1999 (21 лістапада)	1,250,000,000	Xavier Gourdon
2000 (16 ліпеня)	3,221,225,472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2003 (18 верасня)	50,100,000,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2007 (27 красавіка)	100,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009 (6 траўня)	200,000,000,000	Rajesh Bohara & Steve Pagliarulo
2010 (5 ліпеня)	1,000,000,000,000	Shigeru Kondo & Alexander J. Yee

У камп'ютарнай культуры

У сучаснай інтэрнэт-культуры як асобы, так і арганізацыі часта аддаюць даніну павагі ліку e.

У IPO кампаніі Google у 2004 годзе было аб'яўлена, што кампанія мае намер павялічыць свой прыбытак на $2,718,281,828, што ўяўляе сабой першыя 10 лічбаў ліку e. Google таксама прафінансавала рэкламныя шчыты, якія з'явіліся ў цэнтры Крэмніевай даліны, а пазней у Кембрыджы (штат Масачусетс); Сіэтле (штат Вашынгтон) і Осціне (штат Тэхас). На шчытах было напісана

{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com

Па-беларуску гэта гучала б як:

{першы 10-разрадны просты лік, знойдзены ў паслядоўных лічбах ліку e}.com

Рашэнне гэтай задачы і наведванне рэкламуемага сайта (цяпер не існуе) вяло да яшчэ больш складанай задачы, рашыўшы якую можна было трапіць на сайт Google Labs, дзе наведвальніку прапаноўвалася пакінуць сваё рэзюме. Першы 10-разрадны просты лік у дзесятковым запісе e — 7427466391, і пачынаецца ён на 99-й лічбе.

Яшчэ цікавы прыклад, Дональд Кнут прысвойвае сваёй праграме Metafont нумары версій, якія прыбліжаюцца к ліку e. Паслядоўныя версіі пры гэтым выглядаюць так: 2, 2.7, 2.71, 2.718 і гэтак далей. Падобным жа чынам назначаюцца і нумары версій яго TeXа, якія пачынаючы з версіі 3.0 прыбліжаюцца к ліку π: 3.0, 3.1, 3.14, 3.141 і г.д.

Літаратура

• Eli Maor. e: The Story of a Number.. — Princeton: Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-05854-7.
• Brian J. McCartin. e: The Master of All(англ.) // The Mathematical Intelligencer. — 2006. — Т. 28. — № 2. — С. 10-21. Архівавана з першакрыніцы 12 верасня 2013.

Спасылкі

• Простыя ўводзіны ў паказчыкавыя функцыі і лік e для нематэматыкаў (англ.)
• Лік e з дакладнасцю 1, 2 і 5 мільёнаў знакаў пасля коскі (англ.)
• Найранейшыя ўжыванні сімвалаў для пастаянных, 13 студзеня 2008 (англ.)
• «Гісторыя ліку e» (англ.)
• Пошукавая прылада для ліку e (2 мільярдаў даступных для пошуку лічбаў лікаў e, π і √2) (англ.)
• 'Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W.'. "e" (нявызн.). MathWorld.

 (англ.)

• <span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-e Approximations">Weisstein, Eric W.. e Approximations (нявызн.). MathWorld.

 (англ.)