Абстрактная алгебра

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Перастаноўкі кубіка Рубіка ўтвараюць групу. Група — фундаментальнае паняцце абстрактнай алгебры.

Абстра́ктная а́лгебра (таксама вышэйшая алгебра, агульная алгебра) — раздзел матэматыкі, які вывучае колькасныя і якасныя адносіны ў рознага роду алгебраічных сістэмах[ru], вызначаных аксіяматычна.

Пад алгебраічнай сістэмай (структурай) тут разумеецца мноства некаторых аб'ектаў, для якіх вызначаны нейкі набор т.зв. алгебраічных аперацый, якія па сваіх уласцівасцях падобныя на складанне і множанне лікаў. Алгебраічныя сістэмы ўключаюць групы, кольцы, палі, модулі[ru], вектарныя прасторы[ru], рашоткі[ru] і алгебры[ru].

Для вывучэння структур выкарыстоўваюцца агульныя метады і падобныя паняцці: для адлюстравання (адвображання) паміж структурамі ўводзяцца паняцці гомамарфізмаў[ru], ізамарфізмаў[ru], аўтамарфізмаў[ru], для вывучэння ўнутранай будовы ўводзяцца падсістэмы (падгрупы, падкольцы[en] і іншыя) і фактарсістэмы[ru] (фактаргрупы, фактаркольцы[ru] і іншыя).

Найбольш агульныя для ўсіх гэтых алгебраічных сістэм уласцівасці фармалізуюцца і вывучаюцца спецыяльным раздзелам агульнай алгебры — універсальнай алгебрай[ru]. Тэорыя катэгорый[ru], якая лічыцца таксама раздзелам агульнай алгебры, вывучае ўласцівасці алгебраічных структур і суадносін паміж імі з выкарыстаннем такіх абстракцый, як аб'екты, марфізмы, функтары, якія абагульняюць адпаведныя паняцці не толькі ў алгебраічных структурах, але і ў тапалогіі, логіцы, тэорыі мностваў.

Сам тэрмін «абстрактная алгебра» быў уведзены ў пачатку 20 ст., каб адрозніваць гэту вобласць даследаванняў ад іншых частак алгебры.

Раздзелы[правіць | правіць зыходнік]

У абстрактнай алгебры ўмоўна выдзяляюцца наступныя раздзелы:

Да абстрактнай алгебры цесна прымыкаюць алгебраічная геаметрыя, алгебраічная тэорыя лікаў[en] і алгебраічная тапалогія[en].

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Вялікі ўплыў на развіццё алгебраічных ідэй і сімволікі зрабіла «Арыфметыка» Дыяфанта (3 ст.). Тэрмін «алгебра» паходзіць ад назвы твора Мухамеда аль-Харэзмі «Альджэбр аль-мукабала» (9 ст.), які мае агульныя метады рашэння алгебраічных ураўненняў 1-й і 2-й ступеней.

У канцы 15 ст. замест грувасткіх слоўных апісанняў алгебраічных дзеянняў у матэматычных творах з'яўляюцца знакі «+» і «-», потым знакі ступеней, каранёў, дужкі. У канцы 16 ст. Ф. Віет першы выкарыстаў літарныя абазначэнні. К сярэдзіне 17 ст. ў асноўным склалася сучасная алгебраічная сімволіка і тым самым завяршылася «перадгісторыя» алгебры.

У далейшым погляд на алгебру мяняўся. Алгебра 17—18 ст. займалася літарнымі вылічэннямі (рашэнне алгебраічных ураўненняў, тоеснае пераўтварэнне формул і іншае) у адрозненне ад арыфметыкі, у якой разглядаліся вылічэнні з канкрэтнымі лікамі. К сярэдзіне 18 ст. алгебра склалася прыблізна ў аб'ёме цяперашняй т.зв. элементарнай алгебры.

Алгебра 18—19 ст. з'яўляецца ў асноўным алгебрай мнагачленаў.

Першай гістарычнай задачай алгебры было рашэнне алгебраічных ураўненняў з адным невядомым, г.зн. ураўненняў віду:

У 16 ст. італьянскімі матэматыкамі была знойдзена формула для рашэння ўраўненняў 3-й ступені (формула Кардана[ru]), а потым і метад рашэння ўраўненняў 4-й ступені (метад Ферары[ru]).

Амаль 3 стагоддзі вёўся пошук аналагічных формул для рашэння ўраўненняў вышэйшай ступені.

У 17 ст. упершыню была выказана А. Жырарам[ru], а ў канцы 18 ст. К. Гаусам была даказана асноўная тэарэма алгебры аб існаванні камплекснага кораня для адвольных алгебраічных ураўненняў з камплекснымі каэфіцыентамі.

У 1824 Н. Абель даказаў, што ўраўненне вышэй 4-й ступені ў агульным выпадку ў радыкалах невырашальнае, а ў 1830 Э. Галуа знайшоў крытэрый вырашальнасці алгебраічнага ўраўнення ў радыкалах. Іншыя задачы адыходзяць у гэты час на другі план, і пад алгебраю разумеецца «аналіз ураўненняў», як адзначае Ж. Серрэ[ru] у сваім курсе вышэйшай алгебры (1849). Разам з тэорыяй алгебраічных ураўненняў з адным невядомым разглядаліся сістэмы алгебраічных ураўненняў з многімі невядомымі, у тым ліку сістэмы лінейных ураўненняў, у сувязі з чым узніклі паняцці матрыцы і дэтэрмінанта. У далейшым матрыцы становяцца прадметам самастойнай тэорыі — алгебры матрыц, роля якой не вычэрпваецца прымяненнем у даследаванні сістэм лінейных ураўненняў.

З сярэдзіны 19 ст. даследаванні ў алгебры паступова пераносяцца з тэорыі алгебраічных ураўненняў на вывучэнне адвольных алгебраічных аперацый. Абстрактнае паняцце алгебраічнай аперацыі ўзнікла ў сярэдзіне 19 ст. ў сувязі з даследаваннем прыроды камплексных лікаў, а таксама ў выніку з'яўлення прыкладаў алгебраічных аперацый над элементамі зусім іншай прыроды, чым лікі. Так, узнікаюць алгебра логікі Дж. Буля, знешнія алгебры[en] Г. Грасмана[ru], кватэрніёны У. Гамільтана. А. Кэлі[ru] стварае матрычнае злічэнне, К. Жардан[en] публікуе вялікі трактат пра групы падстановак[en]. Гэтыя працы падрыхтавалі ўступленне алгебры ў канцы 19 — пачатку 20 стст. у сучасны этап яе развіцця, які характарызуецца аб'яднаннем раней разрозненых алгебраічных ідэй на агульнай аксіяматычнай аснове і істотным пашырэннем вобласці прыкладанняў алгебры.

У пачатку 20 ст. алгебра стала разглядацца як агульная тэорыя алгебраічных аперацый на аснове аксіяматычнага метаду. Такі погляд на алгебру сфарміраваўся пад уплывам прац Д. Гільберта, Э. Штэйніца[ru], Э. Арціна[ru], Э. Нётэр і канчаткова зацвердзіўся з выхадам у 1930 годзе манаграфіі Б. Л. ван дэр Вардэна[ru] «Сучасная алгебра»[en] (ням.: «Moderne Algebra»).

Першыя працы па агульнай тэорыі адвольных універсальных алгебр належаць Г. Біркгафу[ru] (1930-я г.). У тыя ж гады А. І. Мальцаў[ru] і А. Тарскі[ru] заклалі асновы тэорыі мадэлей[en] — мностваў з зададзенымі на іх адносінамі.

Да сярэдзіны 1950-х гадоў сфарміравалася гамалагічная алгебра[en], карані якой ляжаць у алгебры і тапалогіі.

Сістэматычныя даследаванні па алгебры на Беларусі пачалі Дз. А. Супруненка (1945) і С. А. Чуніхін (1953). Вядуцца пераважна ў Інстытуце матэматыкі НАН Беларусі, БДУ, Гомельскім універсітэце.

Агляд[правіць | правіць зыходнік]

Нагляднае прадстаўленне групы: граф Кэлі[en] для свабоднай групы[ru] з двума ўтваральнымі элементамі a і b. Кожная вяршыня прадстаўляе элемент свабоднай групы. Дамнажэнне на a адпавядае пераходу па рабры ўправа, дамнажэнне на b — пераходу па рабры ўверх.

Сучасная алгебра вывучае мноствы адвольнай прыроды з зададзенымі на іх алгебраічнымі аперацыямі (г.зн. алгебры ці ўніверсальныя алгебры).

Доўгі час вывучаліся толькі некалькі тыпаў універсальных алгебр — групы, кольцы, лінейныя прасторы.

Адзін з найбольш важных і найбольш вывучаных тыпаў алгебр — групы, г. зн. алгебры з адной асацыятыўнай бінарнай аперацыяй, якія змяшчаюць адзінку і для кожнага элемента — адваротны элемент[ru]. Паняцце групы з'явілася гістарычна першым прыкладам універсальнай алгебры і паслужыла ў многіх адносінах узорам пры перабудове алгебры і, наогул, матэматыкі на рубяжы 19 — 20 стст. Значна пазней пачалося самастойнае вывучэнне абагульненняў паняцця групы — паўгрупы[ru], квазігрупы[ru] і лупы[ru].

Найважнейшыя тыпы алгебр з дзвюма бінарнымі аперацыямі — кольцы і палі. Аперацыі ў іх звычайна называюцца складаннем і множаннем. Кальцо вызначаецца аксіёмамі абелевай групы для складання і законамі дыстрыбутыўнасці для множання адносна складання.

Першапачаткова вывучаліся толькі кольцы з асацыятыўным множаннем, і гэта патрабаванне асацыятыўнасці часам нават ўключаюць у азначэнне кальца. У цяперашні час цалкам складзеным з'яўляецца агульны напрамак, прысвечаны вывучэнню неасацыятыўных кольцаў[ru].

Целам[ru] называецца асацыятыўнае кальцо, усе не роўныя нулю элементы якога ўтвараюць групу па множанню.

Поле — цела з камутатыўным множаннем. Лікавыя палі, г. зн. сукупнасці лікаў, замкнёныя адносна складання, множання, аднімання і дзялення на лік, не роўны нулю, няяўна фігуравалі ўжо ў пачатковых даследаваннях па алгебраічных ураўненнях.

Асацыятыўна-камутатыўныя кольцы і палі з'яўляюцца асноўным аб'ектам вывучэння камутатыўнай алгебры[en], з якой цесна звязана алгебраічная геаметрыя.

Іншы важны тып алгебры з дзвюма бінарнымі аперацыямі — рашоткі (ці структуры)[ru]. Тыповыя прыклады рашотак: сістэма падмностваў дадзенага мноства з аперацыямі аб'яднання і перасячэння, мноства дадатных цэлых лікаў з аперацыямі ўзяцця найменшага агульнага кратнага і найбольшага агульнага дзельніка.

Лінейныя (ці вектарныя) прасторы[ru] над полем можна трактаваць як універсальныя алгебры з адной бінарнай аперацыяй — складаннем і наборам унарных аперацый множання на скаляры з асноўнага поля. Разглядаюцца таксама лінейныя прасторы над целамі.

Калі за мноства скаляраў узяць кальцо, то атрымліваецца больш шырокае паняцце модуля[ru].

Лінейныя прасторы, модулі, а таксама іх лінейныя пераўтварэнні[ru] і сумежныя пытанні вывучае лінейная алгебра, часткай якой з'яўляюцца тэорыі лінейных ураўненняў і матрыц.

Да лінейнай алгебры прымыкае полілінейная алгебра[ru].

З 1930-х гадоў развіваецца агульная тэорыя адвольных універсальных алгебр і тэорыя мадэлей (мностваў з зададзенымі на іх адносінамі). На стыку тэорыі універсальных алгебр з тэорыяй мадэлей узнік новы раздзел алгебры, сумежны з алгебрай і матэматычнай логікай, — тэорыя алгебраічных сістэм, якая вывучае мноствы з зададзенымі на іх алгебраічнымі аперацыямі і адносінамі (гл. алгебра логікі).

Дысцыпліны, сумежныя з алгебрай і іншымі раздзеламі матэматыкі, вызначаюцца ўнясеннем ва ўніверсальныя алгебры дадатковых структур, узгодненых з алгебраічнымі аперацыямі і адносінамі: тапалагічная алгебра[de], у т.л. тапалагічныя групы і групы Лі, тэорыя ўнармаваных кольцаў[de], дыферэнцыяльная алгебра[ru], тэорыі розных упарадкаваных алгебр.

К сярэдзіне 1950-х г. сфарміравалася гамалагічная алгебра[en], карані якой ляжаць у алгебры і тапалогіі.

Прыкладанні[правіць | правіць зыходнік]

У сучаснай матэматыцы алгебра адыгрывае вялікую ролю, і існуе аб'ектыўная тэндэнцыя да далейшай «алгебраізацыі» матэматыкі. Тыповы спосаб вывучэння многіх матэматычных аб'ектаў, часам вельмі далёкіх ад алгебры, заключаецца ў пабудове алгебраічных сістэм, якія дастаткова добра адлюстроўваюць паводзіны вывучаемых аб'ектаў. Так, вывучэнне груп Лі шмат у чым зводзіцца да вывучэння іх алгебраічных адлюстраванняў — алгебр Лі[ru]. Аналагічны метад выкарыстоўваецца ў тапалогіі — кожнай тапалагічнай прасторы супастаўляецца некаторым стандартным спосабам бесканечная серыя груп гамалогіі, і гэтыя серыі алгебраічных адлюстраванняў дазваляюць вельмі дакладна судзіць пра ўласцівасці саміх прастор. Іменна з дапамогай алгебры зроблены апошнія значныя адкрыцця ў тапалогіі (гл. алгебраічная тапалогія[ru]). Поспех алгебраічных метадаў тлумачыцца тым, што алгебраізацыя дазваляе прымяніць для рашэння задачы не толькі чыста славесныя разважанні, але і магутны апарат фармальных алгебраічных вылічэнняў, што часам дазваляе абходзіць самыя складаныя перашкоды.

Алгебраічныя паняцці і метады шырока выкарыстоўваюцца ў тэорыі лікаў (алгебраічная тэорыя лікаў[en]), геаметрыі (тэорыя інварыянтаў[en], праектыўная геаметрыя[ru], тэнзарная алгебра[ru]), функцыянальным аналізе, тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, метадах вылічэнняў і іншых раздзелах матэматыкі.

Алгебра мае вялікае дачыненне да фізікі (прадстаўленні груп[en] у квантавай фізіцы), крышталяграфіі (дыскрэтныя групы[en]), кібернетыкі (тэорыі аўтаматаў[ru] і кадзіравання[en]) і іншых навук.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Алгебра // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 1: А — Аршын / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн.: БелЭн, 1996. С. 233—234.
  • Мерзляков Ю. И., Ширшов А. И. Алгебра // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — 576 с. — 150 000 экз. Стл. 114—118.
  • Математика, ее содержание, методы и значение. Сб. статей, т. 1—3, М., 1956.
  • Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.
  • Курош А. Г., Лекции по общей алгебре. 2-е изд. — М.: Физматлит, 1973.
  • Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962.
  • Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976.
  • Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.
  • Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970.
Гісторыя алгебры
  • История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970 — 72.
  • Мальцев А. И., К истории алгебры в СССР за первые 25 лет, «Алгебра и логика», 1971. т. 10, № 1, с. 103—18.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]