Дыферэнцыяльная геаметрыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Дыферэнцыя́льная геаме́трыя - раздзел геаметрыі, які вывучае геаметрычныя вобразы (крывыя і паверхні) сродкамі матэматычнага аналізу, у першую чаргу — дыферэнцыяльнага злічэння.

Аб'екты дыферэнцыяльнай геаметрыі — крывыя і паверхні эўклідавай прасторы, іх сем'і (непарыўныя сукупнасці крывых і паверхняў). У дыферэнцыяльнай геаметрыі даследуюцца ўласцівасці, характэрныя бесканечна малой частцы геаметрычных вобразаў (дыферэнцыяльныя ўласцівасці). У адрозненне ад элементарнай і аналітычнай геаметрыі, якія вывучаюць асобныя крывыя і паверхні ці спецыяльныя класы крывых і паверхняў, дыферэнцыяльная геаметрыя разглядае крывыя і паверхні наогул.

Класічная дыферэнцыяльная геаметрыя вывучае дыферэнцыяльныя ўласцівасці геаметрычных вобразаў звычайнай трохмернай прасторы, якія не залежаць ад становішча ў прасторы.

Асноўныя паняцці дыферэнцыяльнай геаметрыі:

Асобныя паняцці дыферэнцыяльнай геаметрыі сустракаюцца ў 2-й палавіне 17 ст. ў працах англійскага вучонага І. Ньютана, нямецкага матэматыка Г. Лейбніца і інш. Асновы тэорыі паверхняў закладзены ў канцы 18 ст. працамі Л. Эйлера і французскага вучонага Г. Монжа. Значны ўклад у развіццё дыферэнцыяльнай геаметрыі зрабілі К. Гаус, рускія матэматыкі К.М. Петэрсон (пабудаваў асновы класічнай тэорыі паверхняў) і М.І. Лабачэўскі, нямецкі матэматык Б. Рыман.

Асноўныя напрамкі сучаснай дыферэнцыяльнай геаметрыі: геаметрыя аднародных прастор, у якіх дзейнічае некаторая сукупнасць (група) пераўтварэнняў (у класічнай дыферэнцыяльнай геаметрыі — група рухаў) і вывучаюцца ўласцівасці геаметрычных вобразаў, якія не мяняюцца пры пэўных пераўтварэннях; геаметрыя абагульненых прастор, якія будуюцца на аснове дыферэнцавальнай мнагастайнасці, што ўключае як асобны выпадак паняцці крывой і паверхні класічнай дыферэнцыяльнай геаметрыі.

Асобнае месца займае «геаметрыя ў цэлым», якая даследуе геаметрычныя вобразы, якія не могуць быць вырашаны сродкамі дыферэнцыяльнага злічэння.

На Беларусі сістэматычныя даследаванні па сучаснай дыферэнцыяльнай геаметрыі пачалі праводзіцца з канца 1960-х гадоў. Пабудавана глабальная тэорыя нармалізаваных і спалучаных звязнасцей у галоўных расслаеннях, праведзена даследаванне сіметрычных прастор і рада іх абагульненняў (В.І. Вядзернікаў, А.С. Фядэнка).

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Дыферэнцыяльная геаметрыя // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 6: Дадаізм — Застава / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн.: БелЭн, 1998. С. 300.
  • Погорелов А.Б. Дифференциальная геометрия. 5 изд. М., 1969.
  • Дифференциальная геометрия. Мн., 1982.
  • Феденко А.С. Пространства с симметриями. Мн., 1977.
  • История отечественной математики. Т. 3. Киев, 1968.